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Fast Fourier Transformation Dimitri Litke. 2 1.Einleitung 2.Grundlagen 2.1 Komplexe Zahlen 2.2 Einheitswurzel 3.Fourier Transformation 3.1 Diskrete Fourier.

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1 Fast Fourier Transformation Dimitri Litke

2 2 1.Einleitung 2.Grundlagen 2.1 Komplexe Zahlen 2.2 Einheitswurzel 3.Fourier Transformation 3.1 Diskrete Fourier Transformation 3.2 Inverse Fourier Transformation 4.Schnelle Fourier Transformation 4.1 FFT 4.2 Parallele Implementierung 5.Fazit Gliederung

3 3 Anwendungsgebiete –Signalverarbeitung –Bildverarbeitung –Grundlegende mathematische Berechnungen, wie z.B. Polynommultiplikation 1. Einleitung

4 4 Koeffizienten - darstellung Stützstellen - darstellung Transformation direkte Multiplikation Multiplikation Polynommultiplikation

5 5 1.Einleitung 2.Grundlagen 2.1 Komplexe Zahlen 2.2 Einheitswurzel 3.Fourier Transformation 3.1 Diskrete Fourier Transformation 3.2 Inverse Fourier Transformation 4.Schnelle Fourier Transformation 4.1 FFT 4.2 Parallele Implementierung 5.Fazit Gliederung

6 6 Im Bereich der reellen Zahlen gibt es keine Lösung für x²=-1 => Erweiterung des Zahlenbereiches um die imaginären Zahlen Die wichtigste von diesen ist i: die Lösung der Gleichung x²=-1 Die reellen und die imaginären Zahlen vereinigt nennt man komplexe Zahlen Eine Komplexe Zahl z: z = a + i*b, wobei a und b reell sind 2.1 Komplexe Zahlen

7 7 Darstellung von z = a + i*b im Koordinatensystem 2.1 Komplexe Zahlen Imaginäre Achse Reelle Achse Imaginärteil i*b Reallteil a z r Andere Darstellungsform:

8 8 Sei C der Körper der komplexen Zahlen. Ein Element ω C heißt n-te Einheitswurzel, wenn Für jedes n gibt genau n solche Einheitswurzeln, die die Bedingung erfüllen. Haupteinheitswurzel: Alle anderen: 2.2 Einheitswurzel

9 9 Imaginäre Achse Reelle Achse Einheitskreis: 2.2 Einheitswurzel i 1

10 10 Einheitskreis: 2.2 Einheitswurzel Imaginäre Achse Reelle Achse i 1

11 11 1.Einleitung 2.Grundlagen 2.1 Komplexe Zahlen 2.2 Einheitswurzel 3.Fourier Transformation 3.1 Diskrete Fourier Transformation 3.2 Inverse Fourier Transformation 4.Schnelle Fourier Transformation 4.1 FFT 4.2 Parallele Implementierung 5.Fazit Gliederung

12 12 Sei n N und primitive n-te Einheitswurzel in C Die Fouriermatrix: für alle i, j {0,…,n-1} Für n=4: 3.1 Diskrete Fourier Transformation

13 13 Die DFT eines Vektors x = (x 0,…x n-1 ): d.h. die j-te Komponente des Ergebnisvektors f(x): Für n=4: 3.1 Diskrete Fourier Transformation

14 14 Beispiel: Multiplikation von zwei Polynomen: und Hier und Eingabevektor von p(x):von q(x): 3.1 Diskrete Fourier Transformation

15 15 Die DFT des Eingabevektors von p(x): 3.1 Diskrete Fourier Transformation

16 16 Multiplikation von transformierten Vektoren 3.1 Diskrete Fourier Transformation

17 17 Einträge der inversen Fouriermatrix: für alle i, j {0, …, n-1}. z.B. für n=4: 3.2 Inverse Fourier Transformation

18 18 Beispiel (fortgesetzt): 3.2 Inverse Fourier Transformation

19 19 Dieser Vektor beinhaltet nun die Koeffizienten des Ergebnispolynoms: 3.2 Inverse Fourier Transformation

20 20 Koeffizienten - darstellung Stützstellen - darstellung Transformation direkte Multiplikation Multiplikation Komplexität Transformation

21 21 1.Einleitung 2.Grundlagen 2.1 Komplexe Zahlen 2.2 Einheitswurzel 3.Fourier Transformation 3.1 Diskrete Fourier Transformation 3.2 Inverse Fourier Transformation 4.Schnelle Fourier Transformation 4.1 FFT 4.2 Parallele Implementierung 5.Fazit Gliederung

22 22 Die Idee: Die Matrix-Vektor-Multiplikation soll so ausgeführt werden, dass auf die schon vorhandenen Zwischenergebnisse zurückgegriffen werden kann Hier werden folgende Eigenschaften der primitiven Einheitswurzeln genutzt und 4.1 Fast Fourier Transformation

23 23 Das Ziel ist hier die FT des Vektors a zu berechnen: Aufteilung des Polynoms in und 4.1 Fast Fourier Transformation

24 24 Die schnelle Fourier Transformation: Aufteilung der Polynome und solange bis nur noch Paare von Polynomen mit jeweils einem Koeffizienten vorhanden 4.1 Fast Fourier Transformation

25 Fast Fourier Transformation Rekursive Aufteilung des Inputvektors

26 26 Aufgabe: Berechnung der FT von einem Vektor mit n Elementen auf einem Rechner mit p Prozessoren Drei Phasen 1.Austausch von Inputelementen zwischen den Prozessoren 2.Die ersten log(n)-log(p) Iterationsschritte der FFT (parallele Ausführung) 3.Die letzten log(p) Schritte der FFT (Kommunikation zwischen den Prozessoren erforderlich) 4.2 Parallele Implementierung

27 27 Folgende zwei Operationen werden wiederholt: und Graphische Darstellung als Butterfly-Operation: 4.2 Parallele Implementierung

28 Parallele Implementierung P0 P1

29 Parallele Implementierung P0 P i i 7 5+2i 3 5-2i ,12+0,95i 3+3i -3,12+8,95i -12 1,12-0,95i -3,12-8,95i 3-3i

30 30 Koeffizienten - darstellung Stützstellen - darstellung direkte Multiplikation Multiplikation Komplexität Transformation 4.2 Parallele Implementierung

31 31 1.Einleitung 2.Grundlagen 2.1 Komplexe Zahlen 2.2 Einheitswurzel 3.Fourier Transformation 3.1 Diskrete Fourier Transformation 3.2 Inverse Fourier Transformation 4.Schnelle Fourier Transformation 4.1 FFT 4.2 Parallele Implementierung 5.Fazit Gliederung

32 32 Die Anwendungsmöglichkeiten sind weit größer als hier beschrieben wurde. Aber die prinzipielle Vorgehensweise bleibt die gleiche Fourier Transformation ist ein sehr wichtiges Werkzeug, das auf vielen Gebieten für die Berechnung verschiedener Operationen auf großen Datensätzen eingesetzt wird Deswegen ist es wichtig einen effizienten Algorithmus verwenden zu können. Die FFT kann den Aufwand erheblich reduzieren Die FFT eignet sich sehr gut zur Implementierung auf Rechnern mit mehreren Prozessoren 5. Fazit


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