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Methoden der Psychologie Multivariate Analysemethoden Günter Meinhardt Johannes Gutenberg Universität Mainz Multivariate Distanz – Multivariate Normalverteilung.

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Präsentation zum Thema: "Methoden der Psychologie Multivariate Analysemethoden Günter Meinhardt Johannes Gutenberg Universität Mainz Multivariate Distanz – Multivariate Normalverteilung."—  Präsentation transkript:

1 Methoden der Psychologie Multivariate Analysemethoden Günter Meinhardt Johannes Gutenberg Universität Mainz Multivariate Distanz – Multivariate Normalverteilung

2 Methoden der Psychologie Kreis Iso-Distanz-Konturen in 2D Kreis mit Radius c: Alle Punkte auf dem Kreisbogen haben euklidischen Abstand c zum Kreismittelpunkt Iso-Distanz Konturen in 2D x y c Der Kreis ist die Grundform der Iso-Distanz Kontur im zweidimen- sionalen Raum (p = 2). Er entspricht im Variablenraum einer Iso-Distanz-Kontur für 2 unkorrelierte (orthogonale) Variablen mit derselben Skalierung.

3 Methoden der Psychologie Ellipse: Skalierung Ellipse mit Ellipsenradius c: Alle Punkte auf dem Ellipsenbogen haben, auf Standardskala normiert, denselben Abstand c zum Mittelpunkt x y Standardskala: u v Iso-Distanz Konturen in 2D

4 Methoden der Psychologie Ellipse Translation Translation zum Punkt (x 0,y 0 ) ändert an dieser Eigenschaft nichts: u v Standard- Transformation Standardskala: Iso-Distanz Konturen in 2D

5 Methoden der Psychologie Standard- Ellipse Neigung Korrelation Die Invarianz der Distanz im neuen Koordinatensystem mit geneigten Achsen (Korrelation der Variablen) ist über eine Rotation der Koordinaten (anticlock) erklärt: Mit der Transformation erfüllen alle Ellipsenpunkte: Koordinaten Korrelierte Achsen u v [Tafel: cos ] Iso-Distanz Konturen in 2D

6 Methoden der Psychologie Standard- Ellipse: Zeichen- Routine Ellipsen sind in kartesischen Koordinaten unpraktisch zu zeichnen. Man geht über zur Darstellung in Polarkoordinaten. Es gelten die Transformationen: Zum Zeichnen muß die Ellipsengleichung als Gleichung in Polarkoordinaten (Vektorlänge in Abhängigkeit des Winkels ) umgeschrieben werden kartesisch polar kartesisch polar kartesisch polar Iso-Distanz Konturen in 2D

7 Methoden der Psychologie Standard- Ellipse: Zeichen- Routine Von der Darstellung in Polarkoordinaten kann einfach in kartesische Koordinaten zurückgerechnet werden (Setzen der Ellipsenpunkte) Setze damit 1. Variiere von – bis (= ein Kreisumlauf). 2. Für jeden Winkel berechne q = tan -1 ( ). 3. Berechne dann 4. Berechne damit r. 5. Berechne dann x,y: Verfahren [Excel-Sheet] Iso-Distanz Konturen in 2D

8 Methoden der Psychologie 1 D-Normal Verteilung Die Funktion Multivariate Normalverteilung hat Fläche Die auf die Fläche 1 normierte Funktion heißt Normalverteilung (Gauss-Verteilung). Mit ihr sind Wahrscheinlichkeiten als Flächen- Anteile für z - Standardvariablen definierbar. (Standard-NV) [Kurzübung]

9 Methoden der Psychologie p-variater Fall Man bemerke daß Mahalanobisdistanz Man habe nun nicht eine, sondern p Variablen: (jeder Messpunkt ist ein p- dimensionaler Vektor und der Zentroid ist ein p- dimensionaler Vektor) ist. mit Zentroid Dann definiert mit die Inverse der Varianz- Kovarianz Matrix. die verallgemeinerte quadrierte Distanz im multivariaten Raum. Sie heißt quadrierte Mahalanobis-Distanz. [Excel-Beispiel 2D] Mahalanobis- Distanz

10 Methoden der Psychologie p D-Normal Verteilung Die Funktion Multivariate Normalverteilung hat Volumen Die auf Volumen 1 normierte Funktion heißt multivariate Normalverteilung (multivariate Gauss-Verteilung). Mit ihr sind Wahrscheinlichkeiten als Anteile des Gesamtvolumens eines p-dimensionalen Ellipsoids definiert. Die in ihrem Argument auftretende Mahalanobis-Distanz erfüllt die Bedingung: mit einem zu setzenden alpha-Fehler Niveau. Alle Mahalanobisdistanzen, die diese Bedingung erfüllen, erzeugen Konturen gleicher Wahrscheinlichkeit (iso-probability contours) mit P = 1- in der multivariaten Normalverteilung.

11 Methoden der Psychologie 2 D-Normal Verteilung Multivariate Normalverteilung Die multivariate Normalverteilung mit p = 2 Variablen (bivariate Normalverteilung) hat die Form Die im Argument auftretende Mahalanobis-Distanz definiert eine Ellipse im zweidimensionalen Raum für jede Konstante c: [Tafelbetrachtung] Diese ist eine Iso-Probability-Contour im obigen Sinne (s. multivariate NV, vorherige Folie)

12 Methoden der Psychologie 2 D-Normal Verteilung Multivariate Normalverteilung Bivariate Normalverteilung mit p = 2 Variablen und Korrelation r = 0.6 [Excel-Übung] Ellipsen gleicher Wahrscheinlichkeit und zugehöriges Distanzmaß (quadrierte Mahalanobis-Distanz) x1x1 x2x2 Density-Plot Contour-Plot x1x1 x2x2 P=0.25 P=0.5 P=0.75 P=0.95

13 Methoden der Psychologie NV-2D- Ellipse: Zeichen- Routine Iso-Distanz Konturen in 2D Und es gilt: a) läuft von – bis (= ein Kreisumlauf) 3. Berechne dann Verfahren [Excel-Sheet] (NV-Ellipse) Setze und temporär b) c)

14 Methoden der Psychologie p D-Normal Verteilung Multivariate Normalverteilung Die Ellipsen der Form Eine Eigenwertzerlegung der Varianz-Kovarianz Matrix liefert somit die Hauptachsen des p- variaten Ellipsoids der multivariaten Normalverteilung sind zentriert inund haben Hauptachsen mit Eigenwertbedingung Länge = Beispiel 2D


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