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II Gegen Unendlich ¥ Folgen(n) = 1, 2, 3,... (2 n ) = 1, 2, 4, 8,... Der Kehrwert der Folgenglieder strebt gegen Null. Der Grenzwert: potentielle Unendlichkeit.

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Präsentation zum Thema: "II Gegen Unendlich ¥ Folgen(n) = 1, 2, 3,... (2 n ) = 1, 2, 4, 8,... Der Kehrwert der Folgenglieder strebt gegen Null. Der Grenzwert: potentielle Unendlichkeit."—  Präsentation transkript:

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2 II Gegen Unendlich ¥

3 Folgen(n) = 1, 2, 3,... (2 n ) = 1, 2, 4, 8,... Der Kehrwert der Folgenglieder strebt gegen Null. Der Grenzwert: potentielle Unendlichkeit 1/n wird kleiner als jede vorgegebene Zahl  > 0 aber der Grenzwert wird nicht angenommen 1/n > 0

4 Carl Friedrich Gauß ( ) = n = n(n+1)/2 = 5050

5 Geometrische Reihe:1 + q + q 2 + q q n - (1 + q + q q n-1 + q n )q = 1 - q n q + q q n = Schach: = 2  Reiskörner Erdoberfläche: 5  cm q + q = für IqI < 1 unendlich viele Zahlen, endliche Summe:

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7 Nicole von Oresme ( ) College de Navarre in Paris: Schüler, Lehrer, Vorsteher Bischof von Lisieux Vorahnung der Analysis Gebrochene Potenzen:4 3 = 64 = 8 2  8 = 4 3/2

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9 mal das Alter des Universums.

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11 Nicht jede Reihe konvergiert absolut: halbiert und addiert Es sind aber dieselben Glieder!

12 Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) rechnet bewußt mit der harmonischen Reihe: "... so kann die Differenz zwischen zwei harmonischen Reihen, mögen sie auch unendlich sein, doch eine endliche Größe bilden."

13 Francois Viète  ) = Vieta geboren und gestorben als Katholik, zwischendurch Hugenotte 1572 Bartholomäusnacht: Hugenotten ermordet Anwalt in Fontenay-le-Comte Parlamentsrat in Rennes und Tours Entschlüsselung des spanischen Geheimcodes (500 Zeichen) größter frz. Mathematiker des 16. Jhds. Wurzelsätze des Vieta sin 2  = 2 sin  cos  und weitere derartige Formeln erste unendliche Faktorenfolge (1593)

14 Wallis' Produkt in: Arithmetica Infinitorum (1655): John Wallis ( )

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16 James Gregory ( ) konnte alle natürlichen Logarithmen positiver Zahlen berechnen, fand die Taylor-Reihe lange vor Taylor, fand 1671 die Reihe von Leibniz, 3 Jahre vor Leibniz (1674)

17 Prisma: Lichtzerlegung Haarnadelexperiment Spiegelteleskop Apfelbaum? 1/r 2 -Gesetz der Gravitation Mechanik: F = p Isaac Newton ( )

18 Trinity College in Cambridge

19 Jakob Bernoulli ( ) ax = x 2  x = a /(1+x) = 1 - x + x 2 - x 3 + x ½ = Mönch Grandi: so erfolgte die Schöpfung aus dem Nichts: ½ = = Lemniskate ¥

20 Leonhard Euler ( ) Schüler von Johann Bernoulli Größter Mathematiker des 18. Jhd. Fruchtbarster Mathematiker aller Zeiten Sein Werk füllt 70 große Bände Eulersche Winkel (starrer Körper) Eulersche Kreiselgleichung Eulersche Knickgleichung Eulersche Gleichungen (Hydrodynamik) Mondtheorie, Schiffsbau, Artillerie Bezeichnungen am Dreieck e i  = cos  + isin  ln(-1) = ip + ik2p

21 Friederike von Brandenburg-Schwedt ( ) Populäres Buch: Briefe an eine deutsche Prinzessin. In 7 Sprachen übersetzt. Berlin liegt höher als Magdeburg, weil die Spree in die Havel und diese in die Elbe fließt. - Aber weit unterhalb von Magdeburg!

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23 Zetafunktion Ausgehend von der Reihe für sin x die Reihe der inversen Quadrate summiert (Leibniz und die Bernoullis hatten es vergeblich versucht)  (2) = 1 + 1/ / / =  2 /6  (4) = 1 + 1/ / / =  4 /90... Reihenwerte für ungerade Potenzen: vergeblich gesucht bislang noch nicht gefunden  (-1) = = -1/12

24 für alle x mit |x| < 1 für x = 1

25 Die Anzahl der Primzahlen p < N ist ungefähr lnlnN Euler fand die längste Primzahlfolge: n(n+1) + 41 liefert Primzahlen für n = 0 bis n = 39 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, Euler hat, wie seine Zeitgenossen, divergente Reihen bedenkenlos eingesetzt, gibt aber erstmals ein Konvergenz- kriterium an: Der Reihenrest nach dem "unendlichsten" Glied muß unendlich klein werden. Euler schreibt immer das letzte Glied mit hin, meist i für numerus infinitus.

26 = x 0 + x 1 + x 2 + x x i = (-1) 0 + (-1) 1 + (-1) 2 + (-1) = = ½ auch Leibniz und Jakob B. kamen zu diesem Schluß = = -1 mit Wallis angenommen: 1/3 < 1/2 < 1/1 < 1/0 < 1/-1

27 ln(a/b) = lna - lnb ln2 = ln2  - ln 

28 ln(a/b) = lna - lnb ln2 = ln2  - ln  /2 - 1/ / 

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