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Geometrie 6. Ebene Geometrie Ein Punkt ist, was keinen Teil hat. Eukl id (325 - 275) Gerade analytisch: y = mx + c y(0) = c y(1) – y(0) = (m 1 + c)

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Präsentation zum Thema: "Geometrie 6. Ebene Geometrie Ein Punkt ist, was keinen Teil hat. Eukl id (325 - 275) Gerade analytisch: y = mx + c y(0) = c y(1) – y(0) = (m 1 + c)"—  Präsentation transkript:

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3 Geometrie

4 6. Ebene Geometrie

5 Ein Punkt ist, was keinen Teil hat. Eukl id ( ) Gerade analytisch: y = mx + c y(0) = c y(1) – y(0) = (m 1 + c) – (m 0 + c) = m

6 Parallelen

7 Lot oder Normale 2 = 360° 1° = /180

8 Thales von Milet ( ) Strahlensätze

9 Alle Winkel im Halbkreis sind rechte Winkel. Satz des Thales Thales von Milet ( )

10 Leonhard Euler ( ) Winkelsumme im Dreieck

11 Satz des Pythagoras Sehet ! c 2 = 4 * ab/2 + (a - b) 2 = a 2 + b 2 Pythagoras ( )

12 a b c a 2 + b 2 = c 2 ma 2 + mb 2 = mc 2

13 a 2 + b 2 = c 2

14 ma 2 + mb 2 = mc 2 a 2 + b 2 = c 2

15 ma 2 + mb 2 = mc 2 a 2 + b 2 = c 2

16 Girard Desargues ( ) Alle Parallelen streben zu einem Punkt der Unendlichkeitslinie. Projektive Geometrie

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18 Trinity College, Cambridge

19 Pietro Perugino: Fresco at the Sistine Chapel, 1482

20 Ordnet man den geometrischen Punkten Zahlen (Koordinaten) zu, so gelangt man zur analytischen Geometrie, begründet von Pierre de Fermat René Descartes ( ) ( ) Abszisse, Ordinate. Darstellung von Funktionen anhand ihrer Graphen.

21 7. Trigonometrie

22 Winkelfunktionen, trigonometrische Funktionen /2 = 90° Kathete Hypotenuse

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26 8. Vektoren

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29 A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) A + 0 = A = 0 + A 0 =

30 A + B = 0 B = - A = A + (-B) = A - B A - B B – A (A - B) - C A - (B - C)

31 8.2 Skalarmultiplikation A = A = A A) = ( )A = A (A ± B) = A ± B ( ± )A = A ± A | A| = |

32 /4 8.2 Schreiben Sie die Strecken als Vektoren A, B, C, D. Berechnen Sie daraus L und |L|.

33 8.3 Einheitsvektor A |A| koordinatenfreie Darstellung: X besitzt dieselbe Richtung wie Y X = Y

34 8.4 Skalarprodukt (inneres Produkt) A B C ist nicht definiert: (A B) C A (B C) kein neutrales Element 1 mit A 1 = A kein Inverses A -1 mit A A -1 = 1 A / B ist nicht definiert. Aus C = A / B würde C B = A folgen. 3 3

35 A B = B A A (B ± C) = (A B) ± (A C) |A| =

36 Zwei Vektoren schließen einen Winkel mit 0 ein. A B A - B

37 A·B = |A|·|B|·cos

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39 A B = 0 A B = |A| |B| A B = -|A| |B| B A BB

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43 8.5 a) Berechnen Sie die Vektoren A, B, C, D, die Längen der Kanten und die Winkel an der Spitze der Pyramide. Die Spitze liegt 60 Einheiten höher als die Basis A, B, C, D. b) Legen Sie den Punkt B 20 Einheiten tiefer und den Punkt D 30 Einheiten höher und berechnen Sie alles neu.

44 8.5 Kreuzprodukt (äußeres Produkt) Zyklische Vertauschung der Indizes x y z x... bzw

45 A 0 = 0 = 0 A Das Kreuzprodukt ist antikommutativ: A B = -(B A) A (B ± C) = (A B) ± (A C)

46 Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf seinen Faktoren Rechte-Hand-Regel |A B| = |A| |B| sin

47 Rechte-Hand-Regel |A B| = |A| |B| sin Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf seinen Faktoren

48 A 0 = 0 = 0 A Das Kreuzprodukt ist antikommutativ: A B = -(B A) A (B ± C) = (A B) ± (A C) Das Kreuzprodukt ist nicht assoziativ:

49 Das Spatprodukt (A B) C kombiniert Skalarprodukt und Kreuzprodukt. Volumen eines aus drei Vektoren gebildeten Spates oder Parallelepipeds. Von sechs Parallelogrammflächen begrenztes Prisma. = (B C) A = A (B C)

50 8.6 Parallelverschiebung

51 = 0

52 8.7 Polarkoordinaten

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54 9.1 Geradengleichungen Jede Gerade besitzt zwei Richtungen. G(A 0 ) = { P 3 | P = A 0 mit } Anstelle eines Einheitsvektors A 0 kann man eben so gut jeden beliebigen Vektor A 0 verwenden.

55 G = { P | P = A + B mit } Durch zwei Punkte des 3 verläuft genau eine Gerade. G' = { P | P = (A - B) + B mit }

56 P = A + B x = a x + b x y = a y + b y z = a z + b z

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58 9.3 Ebenengleichungen Eine Ebene, die den Ursprung enthält, wird durch zwei Vektoren A 0 und B 0, aufgespannt, sofern die Vektoren nicht zu ein und derselben Geraden gehören, sofern also : A B. Die Ebene ist dann gegeben durch E(A, B) = { P | P = A + B mit, } Ebene, die drei beliebige Punkte A, B, C enthält: E(A, B, C) = { P | P = (A - C) + (B - C) + C mit, }

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