Geometrie. Geometrie 6. Ebene Geometrie Ein Punkt ist, was keinen Teil hat. Euklid ( ) Gerade analytisch: y = mx + c y(0) = c y(1)

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2 Geometrie

3 6. Ebene Geometrie

4 Ein Punkt ist, was keinen Teil hat.
Euklid ( ) Gerade analytisch: y = mx + c y(0) = c y(1) – y(0) = (m1 + c) – (m0 + c) = m

5 Parallelen

6 Lot oder Normale 2p = 360° 1° = p/180

7 Strahlensätze Thales von Milet ( )

8 Satz des Thales Thales von Milet ( ) Alle Winkel im Halbkreis sind rechte Winkel.

9 Winkelsumme im Dreieck
Leonhard Euler ( )

10 Satz des Pythagoras Pythagoras ( ) c2 = 4 * ab/2 + (a - b)2 = a2 + b2 Sehet !

11 a2 + b2 = c2 ma2 + mb2 = mc2 a b c

12 a2 + b2 = c2 ma2 + mb2 = mc2

13 a2 + b2 = c2 ma2 + mb2 = mc2

14 a2 + b2 = c2 ma2 + mb2 = mc2

15 Projektive Geometrie Girard Desargues ( ) Alle Parallelen streben zu einem Punkt der Unendlichkeitslinie.

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17 Trinity College, Cambridge

18 Pietro Perugino: Fresco at the Sistine Chapel, 1482

19 Ordnet man den geometrischen Punkten Zahlen (Koordinaten) zu, so gelangt man zur analytischen Geometrie, begründet von Pierre de Fermat René Descartes ( ) ( ) Abszisse, Ordinate. Darstellung von Funktionen anhand ihrer Graphen.

20 7. Trigonometrie

21 Winkelfunktionen, trigonometrische Funktionen
/2 = 90° Kathete Hypotenuse

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25 8. Vektoren

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28 A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) A + 0 = A = 0 + A =

29 A + B = 0 B = - A = A + (-B) = A - B A - B ≠ B – A (A - B) - C ≠ A - (B - C)

30 8.2 Skalarmultiplikation
|lA| = |l lA = Al l(mA) = (lm)A = lmA l(A ± B) = lA ± lB (l ± m)A = lA ± mA

31 = p/4 8.2 Schreiben Sie die Strecken als Vektoren A, B, C, D. Berechnen Sie daraus L und |L|.

32 koordinatenfreie Darstellung:
8.3 Einheitsvektor A |A| |A|   koordinatenfreie Darstellung: X = lY X besitzt dieselbe Richtung wie Y l > 0

33 8.4 Skalarprodukt (inneres Produkt)
3  3   A  B  C ist nicht definiert: (A  B)  C ≠ A  (B  C) kein neutrales Element 1 mit A  1 = A kein Inverses A-1 mit A  A-1 = 1 A / B ist nicht definiert. Aus C = A / B würde C  B = A folgen.

34 A  B = B  A A  (B ± C) = (A  B) ± (A  C) |A| =

35 A - B A j B Zwei Vektoren schließen einen Winkel j mit 0 ≤ j ≤ p ein.

36 A·B = |A|·|B|·cosj

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38 A  B = 0 A  B = |A||B| A  B = -|A||B| B B B A

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42 8.5 a) Berechnen Sie die Vektoren A, B, C, D, die Längen der Kanten und die Winkel an der Spitze der Pyramide. Die Spitze liegt 60 Einheiten höher als die Basis A, B, C, D. b) Legen Sie den Punkt B 20 Einheiten tiefer und den Punkt D 30 Einheiten höher und berechnen Sie alles neu.

43 Zyklische Vertauschung der Indizes x  y  z  x ...
8.5 Kreuzprodukt (äußeres Produkt) 3  3  3 Zyklische Vertauschung der Indizes x  y  z  x ... bzw. 1  2  3  1 ...

44 A  0 = 0 = 0  A Das Kreuzprodukt ist antikommutativ: A  B = -(B  A) A  (B ± C) = (A  B) ± (A  C)

45 Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf seinen Faktoren
|A  B| = |A||B|sinj Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf seinen Faktoren Rechte-Hand-Regel

46 Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf seinen Faktoren
|A  B| = |A||B|sinj Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf seinen Faktoren Rechte-Hand-Regel

47 A  0 = 0 = 0  A Das Kreuzprodukt ist antikommutativ: A  B = -(B  A) A  (B ± C) = (A  B) ± (A  C) Das Kreuzprodukt ist nicht assoziativ:

48 kombiniert Skalarprodukt und Kreuzprodukt.
Das Spatprodukt (A  B)  C kombiniert Skalarprodukt und Kreuzprodukt. Volumen eines aus drei Vektoren gebildeten Spates oder Parallelepipeds. Von sechs Parallelogrammflächen begrenztes Prisma. = (B  C)  A = A  (B  C)

49 8.6 Parallelverschiebung

50 8.6 Parallelverschiebung
= 0

51 8.7 Polarkoordinaten

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53 9.1 Geradengleichungen Jede Gerade besitzt zwei Richtungen. G(A0) = { P  3 | P = lA0 mit l   } Anstelle eines Einheitsvektors A0 kann man eben so gut jeden beliebigen Vektor A  0 verwenden.

54 G = { P | P = lA + B mit l   } Durch zwei Punkte des 3 verläuft genau eine Gerade. G' = { P | P = l(A - B) + B mit l   }

55 P = lA + B x = lax + bx y = lay + by z = laz + bz

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57 9.3 Ebenengleichungen Eine Ebene, die den Ursprung enthält, wird durch zwei Vektoren A  0 und B  0, aufgespannt, sofern die Vektoren nicht zu ein und derselben Geraden gehören, sofern also l  : A  lB. Die Ebene ist dann gegeben durch E(A, B) = { P | P = lA + mB mit l, m   } Ebene, die drei beliebige Punkte A, B, C enthält: E(A, B, C) = { P | P = l(A - C) + m(B - C) + C mit m, l   }

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