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II. Arithmetik 4. Die natürlichen Zahlen 1 M n M (n + 1) M.

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Präsentation zum Thema: "II. Arithmetik 4. Die natürlichen Zahlen 1 M n M (n + 1) M."—  Präsentation transkript:

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3 II. Arithmetik

4 4. Die natürlichen Zahlen

5 1 M n M (n + 1) M

6 1 M n M (n + 1) M (4.1) (4.2) Erfüllt M (4.1) und (4.2), so gilt M (4.3)

7 4.1 Das Prinzip der vollständigen Induktion n = 1 = = n + (n + 1) = + (n + 1) (m - 1) + m = = =

8 Carl Friedrich Gauß ( ) = n = n(n+1)/2 = 5050

9 Er zeigte die Divergenz der harmonischen Reihe und fand 1684 die Bernoullische Ungleichung. Jakob Bernoulli b Man beweise die Bernoullische Ungleichung: (1 + x) n 1 + n x für x 0 und n durch vollständige Induktion. = = = ; q Man beweise die folgenden Formeln für alle n mit vollständiger Induktion:

10 Geometrische Reihe:1 + q + q 2 + q q n - (1 + q + q q n-1 + q n )q = 1 - q n q + q q n = Schach: = Reiskörner Erdoberfläche: cm q + q = für IqI < 1 unendlich viele Zahlen, endliche Summe:

11 4.2 Der binomische Satz Die binomische Formel: (a + b) 2 = 1a 2 + 2ab + 1b 2 n! = n 0! = 1 = = 1 = n= =

12 4.2 Der binomische Satz = = 1 = n= = = = = usw. = =

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19 denn (a + b) n liefert genau 2 n Produkte. Blaise Pascal ( )

20 4.1 Man berechne die Binomialkoeffizienten 4.2a Man beweise die Bernoullische Ungleichung: (1 + x) n 1 + n x für x 0 und n mit Hilfe des binomischen Satzes.

21 4.3 Primzahlen Eine natürliche Zahl, die sich ohne Rest nur durch 1 und durch sich selbst teilen lässt, heißt Primzahl. Ausnahme:1 Sieb des Eratosthenes Euklid ( ) Primzahlsatz des Euklid: Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen. Sei = { p 1, p 2, p 3,..., p n } P = p 1 p 2 p 3 p n (P ± 1) wird durch keine dieser Primzahlen geteilt. Also ist es selbst PZ oder enthält eine PZ p n = = = Eratosthenes ( )

22 Satz (Fundamentalsatz der Zahlentheorie) Jede natürliche Zahl besitzt eine bis auf die Reihenfolge eindeutige Primfaktorzerlegung. Ernst Zermelo ( ) Beweis (nach Zermelo). Die kleinen zusammenge- setzten natürlichen Zahlen wie 4 = 2 2 und 6 = 3 2 besitzen eindeutige Zerlegungen. Seip P = q Q mit den Primfaktoren p und q die kleinste Zahl, die mehr als eine Zerlegung besitzt. Gleiche Faktoren sind in p P und q Q nicht vorhanden, sonst könnte gekürzt und eine kleinere mehrdeutige Zerlegung erzeugt werden. OBdA sei p > q, und also Q > P. Wir bilden (p - q) P = p P - q P = q Q - q P = q (Q - P) < q Q. (p - q) enthält nicht den Faktor q, da p und q Primzahlen sind und (p - q) = n q sofort auf p = (n + 1) q führen würde. Also gibt es eine kleinere als die als kleinste angenommene mehrdeutige Zerlegung, nämlich (p - q) P = q (Q - P).

23 Ist n eine Primzahl, so sind alle inneren Binomial- koeffizienten Vielfache von n, denn im Zähler von Satz (Fermat) Ist p eine ungerade Primzahl, so ist 2 p = k p ein ganzzahliges Vielfaches von p. kann die Primzahl n nicht weggekürzt werden, bevor sie selbst im Nenner auftritt. Daraus ergibt sich eine spezielle Version des kleinen Fermatsche Satzes: Alle Binomialkoeffizienten einer ungeraden Zahl sind doppelt vorhanden, jeder innere ist durch p teilbar, d. h. 2 p = 2 k p + 2 und 2 p-1 = k p = 4 = Pierre de Fermat ( ) = 16 = = 64 =

24 4.4 Man beweise, dass 3 keine rationale Zahl ist. 4.5 Man beweise: Wenn u/v (gekürzt) keine ganze Zahl ist, so ist auch u n /v mit n keine ganze Zahl. Ist durch 11 teilbar?

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