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1 Schrecken der Unendlichkeit, der zweite Teil Analysis.

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Präsentation zum Thema: "1 Schrecken der Unendlichkeit, der zweite Teil Analysis."—  Präsentation transkript:

1 1 Schrecken der Unendlichkeit, der zweite Teil Analysis

2 2 Übersicht Das erste Auftauchen: Zenon Grenzwerte von Zahlenfolgen Die Eulersche Zahl e Kann man unendlich viele Zahlen addieren? Unendliche Reihen Die geometrische Reihe Die alten Regeln gelten nicht mehr

3 3 Heraclit (etwa 535 – 475 v.Chr.) Lebte in Ephesos Der Philosoph der Bewegung Das einzig Stete ist der Wandel Alles fließt Enormer Einfluss in der Moderne

4 4 Die Geographie der Mathematik

5 5 Zenon (490 – 430 v.Chr.) Vorsokratiker Schüler des Parmenides Lebte in Elea (Italien) Berühmt durch Paradoxa

6 6 Die Geographie der Mathematik

7 7 Zenon: Achill und die Schildkröte Ein Paradoxon, das die Alten nicht lösen konnten Problem: Ein Wettlauf zwischen Achill, schnellster Läufer der Antike, und einer Schildkröte

8 8 Zenon: Achill und die Schildkröte

9 9 Der mathematische Kern: Die Gesamtzeit V achill = 10m/s V schildkröte = 1m/s Gesamtzeit =

10 10 Zenons Paradoxon Zenon: Achill kann die Schildkröte nicht einholen Begründung: Man muss unendlich viele Zeiten addieren und dabei kann nach Zenon nur unendlich herauskommen

11 11 Eine moderne Lösung

12 12 Eine andere Argumentation: Gesamtzeit =

13 13 Der Kern des Problems Wie kann man unendlich viele Zahlen addieren? (mit einem plausiblen Ergebnis) Die antiken Mathematiker fanden keine allgemeine Lösung

14 14 Die moderne Lösung Grenzwerte (von Zahlenfolgen, Funktionen,…..) Der Begriff der reellen Zahl Viele Überraschungen, auch manche Holzwege! Einige Protagonisten:

15 15 Newton (1643 – 1727) Begründer der modernen Physik Einer der Väter der Differential- und Integralrechnung

16 16 Leibniz (1646 – 1716) Letzter Universalgelehrter Einer der Väter der Differential- und Integralrechnung

17 17 Euler (1707 – 1783) Wichtigster Mathematiker seiner Zeit Erforschte unter anderem die Zahl e

18 18 Cauchy (1789 – 1857) Schuf die Grundlagen der modernen Grenz- werttheorie, mit vielen Irrungen und Wirrungen

19 19 Dedekind (1831 – 1916) Brachte den Begriff reelle Zahl zu einem vorläufigen Abschluss

20 20 Eine einfache Zahlenfolge:

21 21

22 22

23 23 Eine weitere einfache Zahlenfolge:

24 24

25 25 Der Limesbegriff

26 26 Der Knackpunkt: Es gibt keine unendlich kleinen Zahlen auf der Zahlengeraden (in R). Andere Zahlmodelle sind möglich 0-Punkt

27 27 Historisches Die Entwicklung einer allgemeinen Definition benötigte weit mehr als 100 Jahre. Die allgemeine Definition wirkt sehr abstrakt, auf den ersten Blick schwer verständlich.

28 28 Die genial einfache Idee: Einsperren der Zahlenfolge beim Grenzwert a ε

29 29 Die exakte Definition des Grenzwerts einer Folge a n

30 30 Ein berühmter Grenzwert: Die Zahl e History Fiction: Wie e hätte entdeckt werden können, aus niederen Motiven, aus Geldgier. So ist es nicht geschehen.

31 31 Die Geburt der Zahl e aus dem Geist des Kapitalismus Zinsen, immer mehr Zinsen Die Ausgangssituation: 1 wird ein Jahr lang zu 100% angelegt. Nach einem Jahr hat man K 1 = (1 + 1) Wie kann man mehr erlangen?

32 32 Unterjährliche Verzinsung Halbjährlich: K 2 = (1 + ½) (1 + ½) = (1 + ½) 2 = 2,25 Dritteljährlich: K 3 = (1 + 1/3) (1 + 1/3) (1 + 1/3) = (1 + 1/3) 3 = 2, ….

33 33 Die Entwicklung der Zinsen

34 34 Die allgemeine Situation Bei n Verzinsungsperioden pro Jahr: K n = (1+1/n) n.

35 35 Einige Werte, mit EXCEL berechnet kn = 10 k KnKn 1102, , , , , , , , , , E+112, E+122, E+132, E+142, E+153, E+161

36 36 Analyse: EXCEL rechnet falsch: K 3 = (1+1/3) 3 = (1+1/3)(1+1/3) (1+1/3) > 2 K n = (1+1/n) n = (1+1/n)(1+1/n)…(1+1/n) > 2 Was kommt wirklich heraus?

37 37 Eulers Ergebnis

38 38 Einige Eigenschaften von e e ist kein Bruch, e ist transzendent

39 39 Berechnung von e

40 40 Beispiel: n = 5

41 41 Die Bedeutung der Zahl e: f(x) = e x Anwendungen: Wachstumsprozesse Zerfallsprozesse Hintergrund: (e x )´ = e x

42 42 Eine Bemerkung zu den Zinsen So wachsen die Bäume nicht in den Himmel Aber: Geldgier macht erfinderisch. Man kann mit Zinsen mehr rausholen. Vorschüssige Zinsen

43 43 Unendliche Summationen Beispiele …… 1 – – – … ½ + 1/3 + ¼ + 1/5 + 1/6 + …. 9/10 + 9/ / … ½ + (½) 2 + (½) 3 + (½) 4 + …..

44 44 Wie kann man unendlich viele Zahlen addieren? Eigentlich gar nicht. Vorschlag: Addiere bis zur n-ten Zahl: S 1, S 2, S 3, ´… S n, … (Partialsummen) S = lim S n

45 45 Entwicklung von S = 1 + ½ + (½) 2 + (½) 3 + (½) 4 + …..

46 46 S = 1 + ½ + (½) 2 + (½) 3 + ….. S 1 = 2 – 1 < 2 S 2 = 2 – ½ < 2 S 3 = 2 – (½) 2 < 2 S n = 2 – (½) n-1 < 2 Der Unterschied zu 2 geht gegen 0! lim S n = 2

47 47 Das 0, Problem 0,99999…. = 9(1/10 + 1/ / ….) S 1 = 9/10S 1 = 1 – 1/10 S 2 = 99/100S 2 = 1 – 1/100 S n = ….S n = 1 – 1/10 n 0,999… = lim S n = 1

48 48 Die berühmte Leibnizreihe Die Reihe: S = 1 – ½ + 1/3 – ¼ + 1/5 – 1/6 + 1/7 - + … Die Reihe hat einen Wert (konvergiert):

49 49 Die Entwicklung der Summe

50 50 Welchen Wert hat die Reihe? Eulers Ergebnis: S = 1 – ½ + 1/3 – ¼ + 1/5 – 1/6 + 1/7 - + … = ln 2 = 0,6931……..

51 51 Schrecken der Unendlichkeit

52 52 Ein unmögliches Ergebnis

53 53 Wo liegt der Trugschluss? Die Reihenfolge der Summanden ist relevant! Es gilt nicht die Verallgemeinerung von a +b + c = b + c + a = b + a + c = …..

54 54 Es kommt noch schlimmer: Der Satz von Riemann Man kann durch geschicktes Umsortieren jedes Ergebnis erzeugen. Dies geht allerdings nicht bei allen unendlichen Summen.

55 55 Bernhard Riemann (1826 – 1866) Nachfolger von Gauß in Göttingen Mathematisches Genie Ohne ihn keine allgemeine Relativitäts- theorie

56 56 Die Idee von Riemann

57 57 Die Idee von Riemann

58 58 Die Idee von Riemann

59 59 Die Entwicklung der Summe

60 60 Die Entwicklung der Summe

61 61 Warum nicht 42 als Beispiel? Man muss im ersten Schritt zwischen und Summanden addieren!

62 62 Mehr Mathe in Tholey: Es geht weiter im März Entschlüsselte Geheimnisse


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