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Quadratische Gleichungen und Namen x² - x – 1 = 0 ist eine quadratische Gleichung in Normalform. Die allgemeine (Null)Form der quadratischen Gleichung.

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Präsentation zum Thema: "Quadratische Gleichungen und Namen x² - x – 1 = 0 ist eine quadratische Gleichung in Normalform. Die allgemeine (Null)Form der quadratischen Gleichung."—  Präsentation transkript:

1 Quadratische Gleichungen und Namen x² - x – 1 = 0 ist eine quadratische Gleichung in Normalform. Die allgemeine (Null)Form der quadratischen Gleichung lautet: ax² + bx + c = 0 mit a, b, c IR und a 0 x ist die Variable, deren Lösung gesucht wird. a, b und c sind Formvariablen (Koeffizienten), die für rationale Zahlen stehen. ax² heißt quadratisches Glied bx heißt lineares Glied c heißt konstantes Glied Eine quadratische Gleichung ohne lineares Glied heißt reinquadratische Gleichung, sonst gemischtquadratische Gleichung.

2 Quadratische Funktionen und Namen Die allgemeine Form der quadratischen Funktion lautet: y = ax² + bx + c mit a, b, c IR und a 0 Die einfachste quadratische Funktion lautet: y = x² Die Wertetabelle dieser Funktion: Der Graph dieser Funktion heißt Normalparabel. Die Nullstellen der quadratischen Funktion sind die Lösungen der entsprechenden quadratischen Gleichung. Zeichne den Graphen!

3 Wertetabellen erstellen x² - x – 1 = 0 Berechne die y-Werte der Funktion y = x² - x - 1 Zeichne den Graphen! Lies die Nullstellen ab!

4 Der Fosbury-Flop 1968 in Mexiko y = - (h-h1+h 2 ):s² · x² + ( h +h 2 )

5 Kugelstoßen Beim Kugelstoßen hängt die Wurfweite der Kugel im wesentlichen von a) der Abstoßgeschwindigkeit v b) der Abstoßhöhe h c) dem Abstoßwinkel ab. Ein relativ günstiger Abstoßwinkel ist 45. Man kann nun unter Verwendung von ein wenig Physik zeigen, dass für die Flugkurve der Kugel unter diesen Voraussetzungen die folgende Gleichung gilt:

6 Berechnung von Funktionswerten mit Excel Die folgende Tabelle zeigt einige ausgewertete Stöße von der Olympiade 1972 in München, die damals mit Hilfe einer Videokamera ausgewertet wurden: Sind die gemessenen Stoßweiten in Übereinstimmung mit der Formel? Berechne auch den Fehler (w entspricht 100%).

7 Lösung und theoretische Flugkurve

8 Übungen Mh9S158 Nr. 4, 5 5. Stelle die Gleichung auf

9 Graphisches Lösen quadratischer Gleichungen S. 161 Bsp.: 1. Umstellen 2. Als zwei Funktionen auffassen und zeichnen: y = x² und y = -0,5x+3 3. Erste Koordinate der Schnittpunkte von Parabel und Gerade ablesen: x 1 = -2; x 2 = 1,5 4. Proben: (-2)² + 0,5·(-2) –3 = 0 und (1,5)² +0,5·1,5 –3 = 0 5. Lösungsmenge: IL={-2;1,5}

10 Übungen Mh9S161Nr7 a.x² =-2xd. x² = -1,5x +1 g. x² = 0,9x – 0,5 j. x² = -5x-6,25 b.x² = 2,25e. x² = -1,5x –3 h. x² = 0,9x +3,6 k. x² = -5x -7 c.x² = -0,5xf. x² = 2x +3 i. x² = -0,5x + 3 l. x² = x +2

11 Lösungen a. x² =-2x b. x² = 2,25 c. x² = -0,5x d. x² = -1,5x +1 e. x² = -1,5x –3 f. x² = 2x +3 g. x² = 0,9x – 0,5 h. x² = 0,9x +3,6 i. x² = -0,5x + 3 j. x² = -5x-6,25 k. x² = -5x -7 l. x² = x +2 IL= {-2; 0} IL= {-1,5; +1,5} IL= {-0,5; 0} IL= {-2; 0,5} IL= {} IL= {-1; 3} IL={} IL={-1,5; 2,4} IL= {-2; 1,5} IL={-2,5} IL= {} IL= {-1; 2}

12 Anzahl der Lösungen

13 Mh9S160Nr5 Setze - soweit möglich - für eine Zahl so ein, dass die Gleichung (1)zwei Lösungen, (2) genau eine Lösung, (3) keine Lösung besitzt. a.x² = b.x² = · x c.x² = · x – 2,25 d.x² = -4 · x + zwei Lsg.eine Lsg.keine Lsg geht nicht

14 Lösung der reinquadratischen Gleichung Zeichnerische Lösungen sind weder genau noch elegant. Darum werden gesucht die Lösungen zu... a.9x² - 16 = 0 b.2x² + 20 = 34 c.

15 Mh9S162Nr2 a.x 1 =-5 und x 2 = +5 b.keine Lösung c.x = 0 d.y 1 =-0,4 und y 2 = +0,4 e. keine Lösung f. x 1 =-9 und x 2 = +9 g. x 1 =- 5und x 2 = + 5 h. z 1 =-4 und z 2 = +4

16 Verallgemeinerung Eine reinquadratische Gleichung kann man in die Form x² = r bringen (r ). Die Lösungen sind (in Abhängigkeit von r):

17 Aufgaben Mh9S163Nr8 a. x² - 20x = 144 – 20x x² = 144 x 1 = - 12; x 2 = +12 b. 9x² +9x-7x+77=86+2x x² = 1 x 1 = - 1; x 2 = +1 c. 3x² +21x+5x²-10x=11x+60,5 x² = 7,5625 x 1 = - 2,75; x 2 = +2,75 d. 14x²-56x=45-110x+9x²+54x x² = 9 x 1 = - 3; x 2 = +3 e. x²+8x+16+x²-8x+16=34 x² = 1 x 1 = - 1; x 2 = +1 f. z² - 8z +5z -40= -3z -24 z² = 16 x1= - 3; x2 = +3 g. 25x²+70x+49-49x²-70x-25=-72 x² = 4 x 1 = - 2; x 2 = +2 h. 1/3x²+5/3-1/5x²+1/5 = 4+ x² = 16 x 1 = - 4; x 2 = +4

18 Aufgaben Mh9S163Nr9+11 x²=9/4 x²=0 x²=49 x²=0,1 6 x²=8x²=- 8 6x²=3456 x² =576 x=24

19 Aufgaben Mh9S163Nr10 a. x² +16 = 41 x² = 25 x 1 = - 5; x 2 = +5 b. 4x² = 75+x² x² = 25 x 1 = - 5; x 2 = +5 c. x/2 · x/4 = 50 x² = 400 x 1 = - 20; x 2 = +20

20 Die reinquadratische Gleichung und die reinquadratische Funktion

21 Lösen einer gemischtquadratischen Gleichung der Form (x-d)²=r

22 Zum Festigen und Weiterarbeiten S164 Nr2-4 x+5 = 7 x-4 = 0 x-1 = 3 IL={} x² + 8x +16 x² -14x +49 x² + 5x +6,25 x² - 3,5x +49/16 (x+6)² (x-2,5)² (x-3,5)² (x-2/5)² 14x 2,4y 9 9/16 (x-6)² = 25 x 1 = -19; x 2 = 31 (x+9/2)² = 9/4 x 1 = -6; x 2 = -3 (y – 3)² = 11

23 Übungen Mh9S164Nr5

24 Aufgaben Mh9S165Nr6-8 6a. (1) x² - 4x +4; x² + 1,2x +0,36;... 6b. (1) (x+6)² (2) (x-9)²... 6c. (1) x² + 8/5x + 16/25 (2) z² - 2,6z +1,69...

25 Mh9S165Nr7 a. (x–3)² = 36 I x – 3 I =6 x 1 =9 oder x 2 = – 3 b. (x+4)² = 49 I x+4 I =7 x 1 =3 oder x 2 = – 11 c. (x–4)² = 0 I x–4 I =0 x 1 =4 oder x 2 = 4 d. (x–0,9)² = 0,25 I x – 0,9 I =0,5 x 1 =1,4 oder x 2 = 0,4 e. (x+5/2)² = 81/4 I x +5/2 I =9/2 x 1 =2,0 oder x 2 = – 7 f. (x–0,5)² = 1,44 I x – 0,5 I =1,2 x 1 = – 0,7 oder x 2 = 1,7 g. (z+8)² = 7 I z +8 I = 7 z 1 =–8+ 7 oder z 2 = –8– 7 h. (y–1,5)² = 5 I y –1,5 I = 5 y 1 =1,5+ 5 oder y 2 =1,5– 5 i. (y–2,5)² = 8 I y –2,5 I = 8 y 1 =2,5+ 2· 2 oder y 2 =2,5– 2· 2

26 Mh9S165Nr8 a. (x+5)² = 36 I x +5 I =6 x 1 =1 oder x 2 = – 11 b. (x–2)² = 16 I x – 2 I =4 x 1 =6 oder x 2 = – 2 c. (x+0,5)² = 0 I x +0,5 I =0 x 1 =–0,5 oder x 2 = –0,5

27 Die gemischtquadratische Gleichung und die gemischtquadratische Funktion

28 Lösung durch quadratische Ergänzung

29 Mh9S166Nr2+3 a. x² – 10x +25=49 |x–5|=7 x ½ = +5 ± 7 x 1 = –2 ; x 2 = 12 b. x² +2x +1 = 9 |x+2|= 3 x ½ = –2 ± 3 x 1 = –5 ; x 2 = +1 c. x² – 7x +3,5= 6,25 |x–3,5|=6,25 x ½ = +3,5 ± 2,5 x 1 = 1 ; x 2 = 6 d. y² +8y +16 = 25 |y+4|=5 x ½ = –4 ± 5 y 1 = –9 ; y 2 = 1 e. z² – 6z +9=1 |z–3|=1 x ½ = +3 ± 1 x 1 = 2 ; x 2 = 4 f. x² – 4x +4=3 |x–2|= 3 x ½ = +2 ± 3 x 1 = –2 – 3 ; x 2 = –2 + 3 g. x² – 5x +6,25= 0,25 |x–2,5|=0,5 x ½ = +2,5 ± 0,5 x 1 = 2 ; x 2 = 3 h. y² – 3y +2,25= 6,25 |x–1,5|=2,5 x ½ = +1,5 ± 2,5 x 1 = –1 ; x 2 = ,25

30 Mh9S166Nr4 (1) x(x+3)=0 IL={–3;0} (2) x(x–0,9)=0 IL={0; 0,9} (3) x(5x–4)=0 IL={0; 4/5} (4) z(–2z+7)=0 IL={0; 3,5}

31 Mh9S166Nr5 Erst in Normalform bringen! Ganze Gleichung durch 2 teilen b (1) x² +8x +7 =0 x² + 8x + 16=9 x ½ = –4 ± 3 x 1 = –7 ; x 2 = –1 b (2) x² + x –6 =0 x² + x +0,25=6,25 x ½ = –0,5 ± 2,5 x 1 = –3 ; x 2 = 2 b (3) x² +12x –28=0 x² +12x+36=64 x ½ = –6 ± 8 x 1 = –14 ; x 2 = 2 b (4) y² +10y +24=0 y² +10y +25=1 y ½ = –5 ± 1 y 1 = –6 ; y 2 = – 4 b (5) z² –15z +54 =0 z² –15z +56,25=2,25 z ½ =7,5 ± 1,5 z 1 = 6 ; z 2 = 9 b (6) y² –8/3y+7/9=0 y² –8/3y +64/36=1 y ½ = +4/3 ± 1 y 1 = 2 1/3 ; y 2 = 1/3

32 Lösungsformel für die Normalform der quadratischen Gleichung x² + px + q = 0| –q x² + px = –q| +x² + px+ = –q+ | T (1. bin. Formel) =–q | = x = x 1 = x 2 =, der Ausdruck unter der Wurzel, grenzt die Lösungen voneinander ab. Er heißt Diskriminante D (der Normalform)

33 Mh9S167Nr7

34 Mh9S167Nr11

35 Normalform der quadratischen Gleichung und quadratische Funktion

36 Überprüfung 1 1. Gegeben ist die folgende quadratische Gleichung in Normalform: x² + px + q = 0 a) Gib die Lösungsformel an: x ½ = b) Gib die Diskriminante D an: D = c) Gib an, wann die quadratische Gleichung keine Lösung hat: Wenn D < 0 ist d) Gib an, wann die quadratische Gleichung genau eine Lösung hat: Wenn D = 0 ist

37 Überprüfung 2 x²+p x +q= 0 x1x1 x2x2 x²+7 x +12= x²-5 x -24= x²-2 x -35= x²-7 x +10= 0 25 x²-21 x +20= x²+2 x -80= x²+4 x +3= 0 -3 x²-22 x +72= x²-6 x -27= x² x -12= 0 -34

38 Überprüfung 3 x²+p x +q= 0 x1x1 x2x2 x²0 x 0= 0 00 x²-2 x +0= 0 02 x²0 x = 0 +1 x²+3 x 0= x²0 x -4= x²0 x +1= 0 leer

39 Überprüfung 4 4. Zwei Zusatzpunkte: Der französische Mathematiker und Jurist François Viète (lat. Vieta ) entdeckte einen Zusammenhang zwischen den Lösungen x 1 und x 2 und den Koeffizienten p und q der quadratischen Gleichung in Normalform. Vermutung: x 1 + x 2 = -p; x 1 x 2 =q Voraussetzung: x 1 und x 2 sind die Lösung der quadratischen Gleichung x² + px + q = 0 Behauptung: x 1 + x 2 = -p und x 1 x 2 =q Beweis: + =

40 Die Mitternachtsformel Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung lautet: ax² + bx+ c = 0. Für a 0 (sonst wäre es keine quadratische Gleichung) lässt sich die Gleichung durch a dividieren, um die Normalform zu erhalten: Hier ist p = b/a und q = c/a. Also Der Wurzelterm lässt sich noch vereinfachen Und jetzt teilweise die Wurzel ziehen... Vergleiche die Lösungen in deiner Formelsammlung S. 4 unten!

41 Anwenden der Mitternachtsformel a. a=1; b=9; c=20 x 1 = -5 und x 2 = -4 b. a=1; b=-15; c=57 D= 15² -4·57=-3 Keine Lösung c. a=4; b=68; c=289 D= 68² -4·4 · 289=0 x=-68/8=-8,5

42 Parameter der p-q-Formel D = 9a² 9a² > 0 zwei Lösungen a² >0 9a² = 0 eine Lösung a² =0; a =0 9a² < 0 keine Lösung ( nicht möglich ) D = p²/4 -1 p²/4 -1 > 0 zwei Lösungen p² > 4 p²/4 -1 = 0 eine Lösung p² = 4; p 1 = -2; p 2 =2 p²/4 -1 < 0 keine Lösung p² < 4

43 Mh9S170Nr6 a. x 1 = –9; x 2 = 1 b. x 1 = –4; x 2 = 1 c. x 1 = 1; x 2 = 2 d. leer e. x 1 = –15; x 2 = 4,2 f. x 1 = –3,53; x 2 = 1,28 g. leer h. x 1 = 0,2; x 2 = 2 i. x 1 = 0,46; x 2 = 6,54

44 Mh9S170Nr7 a. x 1 = 1 ; x 2 = 21 b. x 1 = –6; x 2 = -2 c. leer d. x 1 = –3,5; x 2 = 0,5 e. x 1 = –0,5; x 2 = 1,5 f. x 1 = –2,2; x 2 = 2

45 Mh9S170Nr8 a. x 1 = -6,5 ; x 2 = 8 b. leer c. x 1 = -4,56 ; x 2 = -0,44 d. x 1 = –1,2; x 2 = 2,67 e. leer f. x = 2,4 g. x = -1,4 h. x 1 = -6,45 ; x 2 = -1,55 i. leer

46 Mh9S170Nr9 a. D < 0 keine Lösung b. D = 9 zwei Lösungen c. D = 0 eine Lösung d. D = 4 zwei Lösungen e. D = -104 keine Lösung f. D = 900 zwei Lösungen g. D = 0 eine Lösung h. D = 16 zwei Lösungen i. D = 169 zwei Lösungen

47 Mh9S170Nr10 a. D = 289 zwei Lösungen 12 und -5 b. D = 529 zwei Lösungen 14 und –9 c. D = -16 keine Lösung j. D= -99,8 keine Lösung d. D = -9 keine Lösung k. D = 11,6 zwei Lösungen 0,83 und –0,3 e. D = 441 zwei Lösungen 21 und 0 f. D = 74 zwei Lösungen 5 und –3,6 g. D = 0 eine Lösung 1,9 l. D= 6889 zwei Lösungen 7,5 und –0,8 h. D = 0 eine Lösung 0,15 i. D = 210 zwei Lösungen 6 und –8,5

48 Mh9S170Nr11 Gesucht werden zunächst die x Koordinaten der Schnittpunkte: -7,3x –12 = x² Lösungen: x 1 = -2,5 und x 2 = -4,8 Die dazugehörigen y Koordinaten findet man durch Einsetzen: y 1 = (-2,5)² = 6,25 und y 2 = (- 4,8)² = 23,04 Gemeinsame Punkte sind (-2,5; 6,25) und (-4,8; 23,04)

49 Mh9S170Nr12 a.D = a² -16a Eine Lösung für 0 = a² - 16a = a(a-16) Also a 1 = 0 a 2 = 16 Zwei Lösungen für a² - 16a > 0. Dies gilt für a 16 (Siehe Graph) Keine Lösung für a² - 16 < 0. Dies gilt für 00 Also a 1 D a Keine Lösung zwei Lösungen Eine Lösung

50 Mh9S170Nr13 a.(1) a=1 x² -5x = 0 x 1 = 0 x 2 = 5 (1) a=0 x² -0 = 0 x 1 = 0 x 2 = 0 (1) a=-4 x² +20x = 0 x 1 = 0 x 2 = -20 b.D = 25a² zwei Lösungen für 25a² > 0; also a² >0 Das gilt für alle a R \ {0} eine Lösung für 25a² = 0; also a² = 0 Das gilt für alle a = 0 keine Lösung für 25a² < 0; also a² < 0 Das ist nicht möglich c.x² -5ax = 0 x 1;2 = 5a/2 ± Wurzel( 25a²/4 –0); x 1 = 0 x 2 = 5a. 5a = 6 für a= 6/5

51 Mh9S170Nr14 a.Die Diskriminante für a. ist D = 4² - 4a·(-5) = a Eine Lösung für D = 0, also a = 0 a = -0,8 Zwei Lösungen für D > 0, also a > 0 a > -0,8 Keine Lösung für D < 0, also a < 0 a < -0,8 b.Die Diskriminante für b. ist D = 8² - 4·a·a = 64 –4a² Eine Lösung für D = 0, also 64 – 4a² = 0 a 1 = -4 und a 2 = +4 Zwei Lösungen für D > 0, also 64 – 4a² > 0 a² 16


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