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VII. Differentialrechnung 23. Der Differentialquotient.

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Präsentation zum Thema: "VII. Differentialrechnung 23. Der Differentialquotient."—  Präsentation transkript:

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3 VII. Differentialrechnung

4 23. Der Differentialquotient

5 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716)

6 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716)

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11 Isaac Newton (1643 – 1727) Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) ff Differentialoperator

12 23.1 Ableitungen einfacher Funktionen lineare Funktion f(x) = m x + c mit = : insbesondere gilt für f(x) = c, d.h. m = 0: f´(x) = 0 quadratische Funktion f(x) = x 2 mit = : Zeige (f + g)´ = f´ + g´ (f m)´ = f´ m

13 f(x) = x = x 1/2 mit x 0: f(x) = x -1 mit x 0:

14 quadratische Funktion f(x) = x 2 mit = : f(x) = x r mit r, r 0:

15 f(x) = x 0 f(x) 0x -1 da 0/0 für x = 0 undefiniert wäre. Insbesondere für n : Polynome: jeder Summand wird einzeln abgeleitet.

16 Satz: Ist f an der Stelle x differenzierbar, so ist f dort stetig. Ist f an der Stelle x nicht stetig, so ist f dort nicht diffbar. Stetigkeit ist eine notwendige aber nicht hinreichende Voraussetzung für Differenzierbarkeit. Bsp. f(x) = |x| in x = 0. Satz (Kettenregel): Seien g(y) und f(x) auf diffbare Funktionen mit y = f(x), dann gilt: Beweis: g(f(x + x)) = g(y + y) y = f = f(x + x) - f(x) g(y) = y 2 y = f(x) = 3x + 2 g(f(x)) = (3x + 2) 2 (wie in der Bruchrechnung) Man berechne mit Hilfe der Kettenregel:

17 Satz: Sei f(x) = y auf streng monoton und diffbar. Dann existiert die Umkehrfunktion g(y) = f -1 (y) = x und es gilt: Beweis: Der Satz folgt mit = = 1 aus der Kettenregel. Merkregel:(wie in der Bruchrechnung) y = f(x) = 3x + 2 g(y) = f -1 (y) = x = (y - 2)/3 g(f(x)) = ((3x + 2) - 2)/3 = x

18 Satz (Produktregel): Seien f(x) und g(x) auf diffbar, dann gilt [f(x). g(x)]´ = f´(x). g(x) + f(x). g´(x) Merkregel: (f. g)´ = f´g + fg´

19 Man zeige mit der Produktregel: (mf)´ = mf´ für m = const. (x 3 )´ = (x 2. x)´ = 2x. x + x 2. 1 = 3x 2 Man zeige mit der Produktregel: dx 3 /dx = 3x 2

20 Mittelwertsatz: Sei f:[a, b] auf dem offenen Intervall (a, b) differenzierbar und auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig. Dann gibt es ein x 0 (a, b) mit = f´(x 0 ) Verallgemeinerung: Seien f und g auf [a, b] differenzierbar und sei g´ 0 für x :[a, b]. Dann gibt es ein x 0 (a, b) mit =

21 Satz (l´Hospitalsche Regel): Seien f(x) und g(x) auf dem abge- schlossenen Intervall [a, b] differenzierbar, sei g´ 0 für x [a, b]. Ist und existiert dann ist f(x) = x g(x) = x 2 + x/5 Guillaume Marquis de L'Hôpital (1661 – 1704)

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23 2x 7 + 5x 4 + 3x x x -5 x 7/6 + 2 x -3/4 + 3x 0 3x -4/3 + 5x -

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