Kapitel 1 Die natürlichen und die ganze Zahlen. Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner April 2005 Seite 2 Inhalt.

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1 Kapitel 1 Die natürlichen und die ganze Zahlen

2 Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner April 2005 Seite 2 Inhalt 1.1 Vollständige Induktion z.B. 1+ 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2 1.2 Die Peano-Axiome Ein Axiomensystem für die natürlichen Zahlen 1.3 Die ganzen Zahlen Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... }, Abzählbarkeit 1.4 Eigenschaften der ganzen Zahlen Teiler, Division mit Rest, ggT,...

3 Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner April 2005 Seite 3 1.1 Vollständige Induktion Prinzip der vollständigen Induktion. Sei A eine Aussage oder eine Eigenschaft, die von einer natürlichen Zahl n abhängt. Wir schreiben auch A(n). Wenn wir wissen, daß folgendes gilt: (1) Induktionsbasis (Induktionsverankerung): Die Aussage A gilt im Fall n = 1 (das heißt, es gilt A(1)), (2) Induktionsschritt: Für jede natürliche Zahl n 1 folgt aus A(n) die Aussage A(n+1), dann gilt die Aussage A für alle natürlichen Zahlen 1. Prinzip der vollständigen Induktion. Sei A eine Aussage oder eine Eigenschaft, die von einer natürlichen Zahl n abhängt. Wir schreiben auch A(n). Wenn wir wissen, daß folgendes gilt: (1) Induktionsbasis (Induktionsverankerung): Die Aussage A gilt im Fall n = 1 (das heißt, es gilt A(1)), (2) Induktionsschritt: Für jede natürliche Zahl n 1 folgt aus A(n) die Aussage A(n+1), dann gilt die Aussage A für alle natürlichen Zahlen 1.

4 Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner April 2005 Seite 4 Erläuterung Bedeutung der vollständigen Induktion: Um eine Aussage für alle natürlichen Zahlen (also über unendlich viele Objekte!) nachzuweisen, muss man nur zwei Aussagen beweisen: Induktionsbasis: A(1) Induktionsschritt: A(n) A(n+1) Man nennt A(n) auch die Induktionsvoraussetzung. Die hinter diesem Prinzip stehende Philosophie ist die, dass man in objektiv kontrollierbarer Weise über eine Unendlichkeit (alle natürlichen Zahlen) sprechen kann. Die Bedeutung dieses Prinzips, wurde zwischen 1860 und 1920 u.a. von Moritz Pasch (Professor in Gießen) und Giuseppe Peano (Professor in Turin) entdeckt. Bedeutung der vollständigen Induktion: Um eine Aussage für alle natürlichen Zahlen (also über unendlich viele Objekte!) nachzuweisen, muss man nur zwei Aussagen beweisen: Induktionsbasis: A(1) Induktionsschritt: A(n) A(n+1) Man nennt A(n) auch die Induktionsvoraussetzung. Die hinter diesem Prinzip stehende Philosophie ist die, dass man in objektiv kontrollierbarer Weise über eine Unendlichkeit (alle natürlichen Zahlen) sprechen kann. Die Bedeutung dieses Prinzips, wurde zwischen 1860 und 1920 u.a. von Moritz Pasch (Professor in Gießen) und Giuseppe Peano (Professor in Turin) entdeckt.

5 Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner April 2005 Seite 5 1. Anwendung: Summe der ersten n Zahlen Problem (C.F. Gauß): 1+2+3 +...+ 100 = ??? 1.1.1 Satz. Für jede natürliche Zahl n 1 gilt: 1+2+... + n = n(n+1)/2. In Worten: Die Summe der ersten n positiven ganzen Zahlen ist gleich (n+1)n/2. Konsequenz: Man kann die Summe 1+2+3+...+n ganz einfach ausrechnen, und es passieren kaum Rechenfehler. Problem (C.F. Gauß): 1+2+3 +...+ 100 = ??? 1.1.1 Satz. Für jede natürliche Zahl n 1 gilt: 1+2+... + n = n(n+1)/2. In Worten: Die Summe der ersten n positiven ganzen Zahlen ist gleich (n+1)n/2. Konsequenz: Man kann die Summe 1+2+3+...+n ganz einfach ausrechnen, und es passieren kaum Rechenfehler.

6 Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner April 2005 Seite 6 Beweis durch vollständige Induktion Beweis durch Induktion nach n. Die Aussage A(n) sei die Aussage des Satzes, also: A(n): 1+2+3 +...+ n = n(n+1)/2. Sowohl bei der Induktionsbasis als auch beim Induktionsschritt zeigen wir, dass in der entsprechenden Gleichung links und rechts das Gleiche steht. Induktionsbasis: Sei n = 1. Dann steht auf der linken Seite nur der Summand 1, und auf der rechten Seite steht 2 1/2, also ebenfalls 1. Also gilt A(1) Beweis durch Induktion nach n. Die Aussage A(n) sei die Aussage des Satzes, also: A(n): 1+2+3 +...+ n = n(n+1)/2. Sowohl bei der Induktionsbasis als auch beim Induktionsschritt zeigen wir, dass in der entsprechenden Gleichung links und rechts das Gleiche steht. Induktionsbasis: Sei n = 1. Dann steht auf der linken Seite nur der Summand 1, und auf der rechten Seite steht 2 1/2, also ebenfalls 1. Also gilt A(1)

7 Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner April 2005 Seite 7 Induktionsschritt Induktionsschritt: Sei n eine natürliche Zahl 1, und sei die Aussage richtig für n. Wir müssen A(n+1) beweisen, das heißt, die Summe 1+2+3+... +(n–1) + n + (n+1) berechnen. Wir spalten wir diese Summe auf: 1+2+3+... +(n–1) + n + (n+1) = [1+2+3+... +(n–1) + n] + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1)(nach Induktion) = [n(n+1) + 2(n+1)]/2 = (n+2)(n+1)/2. Insgesamt haben wir die Aussage A(n+1) bewiesen. Somit gilt der Satz. Induktionsschritt: Sei n eine natürliche Zahl 1, und sei die Aussage richtig für n. Wir müssen A(n+1) beweisen, das heißt, die Summe 1+2+3+... +(n–1) + n + (n+1) berechnen. Wir spalten wir diese Summe auf: 1+2+3+... +(n–1) + n + (n+1) = [1+2+3+... +(n–1) + n] + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1)(nach Induktion) = [n(n+1) + 2(n+1)]/2 = (n+2)(n+1)/2. Insgesamt haben wir die Aussage A(n+1) bewiesen. Somit gilt der Satz.

8 Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner April 2005 Seite 8 2. Anwendung: Summe der ungeraden Zahlen 1.1.2 Satz. Für jede natürliche Zahl n 1 gilt: 1+3+5 +... + (2n–1) = n 2. In Worten: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist gleich der n-ten Quadratzahl. Beispiele: (a) 1 + 3 + 5 = 9 (b) 1 + 3 + 5 +... + 1999 = 1.000.000 1.1.2 Satz. Für jede natürliche Zahl n 1 gilt: 1+3+5 +... + (2n–1) = n 2. In Worten: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist gleich der n-ten Quadratzahl. Beispiele: (a) 1 + 3 + 5 = 9 (b) 1 + 3 + 5 +... + 1999 = 1.000.000

9 Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner April 2005 Seite 9 Beweis mit vollständiger Induktion Beweis durch Induktion nach n. Induktionsbasis: Sei n = 1. Dann steht auf der linken Seite nur der Summand 1, und auf der rechten Seite steht 1 2 = 1. Somit gilt A(1). Induktionsschritt: Sei n eine natürliche Zahl mit n 1, und es gelte A(n). Wir müssen A(n+1) nachweisen. Wir beginnen mit der linken Seite von A(n+1) und formen diese so lange um, bis wir die rechte Seite von A(n+1) erhalten: 1+3+5+... + (2n–1) + (2n+1) = [1+3+5+... + (2n–1)] + (2n+1) = n 2 + (2n+1) (nach Induktion) = n 2 + 2n + 1 = (n+1) 2. Somit gilt A(n+1), und damit ist die Aussage bewiesen. Beweis durch Induktion nach n. Induktionsbasis: Sei n = 1. Dann steht auf der linken Seite nur der Summand 1, und auf der rechten Seite steht 1 2 = 1. Somit gilt A(1). Induktionsschritt: Sei n eine natürliche Zahl mit n 1, und es gelte A(n). Wir müssen A(n+1) nachweisen. Wir beginnen mit der linken Seite von A(n+1) und formen diese so lange um, bis wir die rechte Seite von A(n+1) erhalten: 1+3+5+... + (2n–1) + (2n+1) = [1+3+5+... + (2n–1)] + (2n+1) = n 2 + (2n+1) (nach Induktion) = n 2 + 2n + 1 = (n+1) 2. Somit gilt A(n+1), und damit ist die Aussage bewiesen.

10 Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner April 2005 Seite 10 1.2 Die Peano-Axiome Erinnerung: Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen 0, 1, 2,...; die Menge der natürlichen Zahlen wird mit N bezeichnet. Zur Bedeutung der natürlichen Zahlen schreibt L. Kronecker (1823 - 1891): Die ganzen Zahlen (in unserem Sprachgebrauch: die natürlichen Zahlen) hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk. Giuseppe Peano (1858 - 1939) hat die natürlichen Zahlen zum erstem Mal mathematisch präzise beschrieben. Er hat ein System von fünf Axiomen (Grundsätzen) aufgestellt, um die natürlichen Zahlen zu charakterisieren. Erinnerung: Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen 0, 1, 2,...; die Menge der natürlichen Zahlen wird mit N bezeichnet. Zur Bedeutung der natürlichen Zahlen schreibt L. Kronecker (1823 - 1891): Die ganzen Zahlen (in unserem Sprachgebrauch: die natürlichen Zahlen) hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk. Giuseppe Peano (1858 - 1939) hat die natürlichen Zahlen zum erstem Mal mathematisch präzise beschrieben. Er hat ein System von fünf Axiomen (Grundsätzen) aufgestellt, um die natürlichen Zahlen zu charakterisieren.

11 Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner April 2005 Seite 11 Das Axiomensystem von Peano Die Peano-Axiome für die natürlichen Zahlen lauten: (P1) 0 ist eine natürliche Zahl. (P2) Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es einen eindeutig bestimmten Nachfolger n. (P3) 0 ist kein Nachfolger. (P4) Verschiedene natürliche Zahlen haben verschiedene Nachfolger. (P5) Induktionsaxiom: Wenn M eine Teilmenge der natürlichen Zahlen ist, die 0 enthält und mit jeder natürlichen Zahl n auch ihren Nachfolger n enthält, dann ist M = N. Die Peano-Axiome für die natürlichen Zahlen lauten: (P1) 0 ist eine natürliche Zahl. (P2) Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es einen eindeutig bestimmten Nachfolger n. (P3) 0 ist kein Nachfolger. (P4) Verschiedene natürliche Zahlen haben verschiedene Nachfolger. (P5) Induktionsaxiom: Wenn M eine Teilmenge der natürlichen Zahlen ist, die 0 enthält und mit jeder natürlichen Zahl n auch ihren Nachfolger n enthält, dann ist M = N.

12 Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner April 2005 Seite 12 Definition der natürlichen Zahlen Mit den Peano-Axiomen kann man die natürlichen Zahlen definieren: 1 := 0 (= Nachfolger von 0) 2 := 1 (= 0) 3 := 2 (= 1 = 0)... Auch die Operation + kann man definieren, z.B.: n + 1 := n n + 2 := n... Mit den Peano-Axiomen kann man die natürlichen Zahlen definieren: 1 := 0 (= Nachfolger von 0) 2 := 1 (= 0) 3 := 2 (= 1 = 0)... Auch die Operation + kann man definieren, z.B.: n + 1 := n n + 2 := n...

13 Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner April 2005 Seite 13 1.3 Die ganzen Zahlen Die natürlichen Zahlen N sind abgeschlossen bzgl. Summenbildung. D.h. für je zwei natürliche Zahlen n, m ist auch die Summe n + m immer eine natürliche Zahl. Die Differenz zweier natürlicher Zahlen muß jedoch keine natürliche Zahl sein (z.B. 3 - 5 N). Um eine Menge zu erhalten, die auch bzgl. Differenzbildung abgeschlossen ist, müssen wir N erweitern. Wir definieren die Menge der ganzen Zahlen wie folgt: Z := N { -n | n N }. Dabei ist -n das bzgl. der Addition inverse Element (negatives Element) von n, d.h. es gilt -n + n = 0. Die natürlichen Zahlen N sind abgeschlossen bzgl. Summenbildung. D.h. für je zwei natürliche Zahlen n, m ist auch die Summe n + m immer eine natürliche Zahl. Die Differenz zweier natürlicher Zahlen muß jedoch keine natürliche Zahl sein (z.B. 3 - 5 N). Um eine Menge zu erhalten, die auch bzgl. Differenzbildung abgeschlossen ist, müssen wir N erweitern. Wir definieren die Menge der ganzen Zahlen wie folgt: Z := N { -n | n N }. Dabei ist -n das bzgl. der Addition inverse Element (negatives Element) von n, d.h. es gilt -n + n = 0.

14 Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner April 2005 Seite 14 Rechengesetze in Z Um mit den ganzen Zahlen rechnen zu können, müssen wir auf der Menge Z noch Rechenregeln definieren. Wir definieren (wie üblich) für n, m N: (-n) + (-m) = - (n + m) (-n) (-m) = n m usw. Warum definieren wir die Rechenregeln gerade so? Mit diesen Regeln gelten die üblichen Gesetze (Beweis als Übung): Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz,... Um mit den ganzen Zahlen rechnen zu können, müssen wir auf der Menge Z noch Rechenregeln definieren. Wir definieren (wie üblich) für n, m N: (-n) + (-m) = - (n + m) (-n) (-m) = n m usw. Warum definieren wir die Rechenregeln gerade so? Mit diesen Regeln gelten die üblichen Gesetze (Beweis als Übung): Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz,...

15 Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner April 2005 Seite 15 Wie viele ganze Zahlen gibt es? Klar: Es gibt unendlich viele ganze Zahlen. Denn schon N enthält unendliche viele Zahlen. Nicht ganz so klar: Gibt es mehr ganze als natürliche Zahlen? 1. Antwort: Ja, denn N ist eine echte Teilmenge von Z. 2. Antwort: Nein, denn die Mengen N und Z sind gleichmächtig. Definition. Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung von A nach B gibt. Wie könnte diese bijektive Abbildung von N nach Z aussehen? Klar: Es gibt unendlich viele ganze Zahlen. Denn schon N enthält unendliche viele Zahlen. Nicht ganz so klar: Gibt es mehr ganze als natürliche Zahlen? 1. Antwort: Ja, denn N ist eine echte Teilmenge von Z. 2. Antwort: Nein, denn die Mengen N und Z sind gleichmächtig. Definition. Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung von A nach B gibt. Wie könnte diese bijektive Abbildung von N nach Z aussehen?

16 Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner April 2005 Seite 16 N und Z sind gleichmächtig 1.3.1 Satz. Die Mengen N und Z sind gleichmächtig. Beweis. Wir definieren eine Abbildung f von N nach Z wie folgt: f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = -1, f(3) = 2, f(4) = -2, f(5) = 3, f(6) = -3,... Damit wir jeder natürlichen Zahl genau eine ganze Zahl zugeordnet. Umgekehrt wird auch jeder ganzen Zahl z genau eine natürliche zugeordnet: Der ganzen Zahl z>0 wird 2z-1 N zugeordnet, z<0 wird -2z N zugeordnet, und z = 0 wird 0 zugeordnet. Also ist f surjektiv. Da aus f(n) = f(m) offensichtlich n = m folgt, ist f auch injektiv. Also ist f bijektiv, also sind N und Z gleichmächtig. 1.3.1 Satz. Die Mengen N und Z sind gleichmächtig. Beweis. Wir definieren eine Abbildung f von N nach Z wie folgt: f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = -1, f(3) = 2, f(4) = -2, f(5) = 3, f(6) = -3,... Damit wir jeder natürlichen Zahl genau eine ganze Zahl zugeordnet. Umgekehrt wird auch jeder ganzen Zahl z genau eine natürliche zugeordnet: Der ganzen Zahl z>0 wird 2z-1 N zugeordnet, z<0 wird -2z N zugeordnet, und z = 0 wird 0 zugeordnet. Also ist f surjektiv. Da aus f(n) = f(m) offensichtlich n = m folgt, ist f auch injektiv. Also ist f bijektiv, also sind N und Z gleichmächtig.

17 Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner April 2005 Seite 17 Abzählbarkeit Definition. Eine Menge, die gleichmächtig zu N ist, heißt abzählbar. Mit anderen Worten: Abzählbare Mengen kann man mit den natürlichen Zahlen numerieren. Satz 1.3.1 kann man dann auch wie folgt ausdrücken: 1.3.2 Folgerung. Die Menge Z der ganzen Zahlen ist abzählbar. Definition. Eine Menge, die gleichmächtig zu N ist, heißt abzählbar. Mit anderen Worten: Abzählbare Mengen kann man mit den natürlichen Zahlen numerieren. Satz 1.3.1 kann man dann auch wie folgt ausdrücken: 1.3.2 Folgerung. Die Menge Z der ganzen Zahlen ist abzählbar.

18 Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner April 2005 Seite 18 1.4 Eigenschaften der ganzen Zahlen Wir wiederholen einige Eigenschaften der ganzen Zahlen. Seien a und b ganze Zahlen. Wir sagen a teilt b (geschrieben a b), falls es eine ganze Zahl z gibt mit b = z a. Man nennt a einen Teiler von b, und b ein Vielfaches von a. Beispiele. Es gelten die folgenden Aussagen: 2 10, –3 21, 8 –16, –15 –135, 2000 0. Wir wiederholen einige Eigenschaften der ganzen Zahlen. Seien a und b ganze Zahlen. Wir sagen a teilt b (geschrieben a b), falls es eine ganze Zahl z gibt mit b = z a. Man nennt a einen Teiler von b, und b ein Vielfaches von a. Beispiele. Es gelten die folgenden Aussagen: 2 10, –3 21, 8 –16, –15 –135, 2000 0.

19 Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner April 2005 Seite 19 Division mit Rest 1.4.1 Division mit Rest. Seien a und b ganze Zahlen (b 0). Dann gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen q und r mit a = bq + r und 0 r b –1. Beispiele. a = 13, b = 4 13 = 4 3 + 1 (q = 3, r = 1) a = –13, b = 4 –13 = 4 –4 + 3 (q = –4, r = 3) a = 13, b = –4 13 = –4 –3 + 1 (q = –3, r = 1) a = –13, b = –4 –13 = –4 4 + 3 (q = 4, r = 3). Bemerkung: Die Eindeutigkeit kommt erst durch beide Eigenschaften (a = bq + r und 0 r b–1) zustande. 1.4.1 Division mit Rest. Seien a und b ganze Zahlen (b 0). Dann gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen q und r mit a = bq + r und 0 r b –1. Beispiele. a = 13, b = 4 13 = 4 3 + 1 (q = 3, r = 1) a = –13, b = 4 –13 = 4 –4 + 3 (q = –4, r = 3) a = 13, b = –4 13 = –4 –3 + 1 (q = –3, r = 1) a = –13, b = –4 –13 = –4 4 + 3 (q = 4, r = 3). Bemerkung: Die Eindeutigkeit kommt erst durch beide Eigenschaften (a = bq + r und 0 r b–1) zustande.

20 Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner April 2005 Seite 20 Gemeinsame Teiler Seien a und b ganze Zahlen. Eine natürliche Zahl d heißt gemeinsamer Teiler von a und b, falls sowohl d a als auch d b gilt. Beispiele: (a) Gemeinsame Teiler von 6 und 10: 1 und 2. (b) Gemeinsame Teiler von –24 und 42: 1, 2, 3 und 6. (c) Gemeinsame Teiler von 0 und 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20. Bemerkungen. (a) Gemeinsame Teiler sind immer positiv. (b) Im allgemeinen gibt es mehr als einen gemeinsamen Teiler. Seien a und b ganze Zahlen. Eine natürliche Zahl d heißt gemeinsamer Teiler von a und b, falls sowohl d a als auch d b gilt. Beispiele: (a) Gemeinsame Teiler von 6 und 10: 1 und 2. (b) Gemeinsame Teiler von –24 und 42: 1, 2, 3 und 6. (c) Gemeinsame Teiler von 0 und 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20. Bemerkungen. (a) Gemeinsame Teiler sind immer positiv. (b) Im allgemeinen gibt es mehr als einen gemeinsamen Teiler.

21 Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner April 2005 Seite 21 Teilerfremde Zahlen Beobachtung: Je zwei ganze Zahlen haben mindestens einen gemeinsamen Teiler, nämlich die Zahl 1. Wir nennen zwei ganze Zahlen teilerfremd, wenn sie nur einen gemeinsamen Teiler haben. M.a.W.: Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr einziger gemein- samer Teiler die Zahl 1 ist. Achtung: Teilerfremd bedeutet nicht, dass die Zahlen keinen gemeinsamen Teiler haben! Beispiele: 11 und 13, 5000 und 333, 1999 und 2000 sind teilerfremd. Beobachtung: Je zwei ganze Zahlen haben mindestens einen gemeinsamen Teiler, nämlich die Zahl 1. Wir nennen zwei ganze Zahlen teilerfremd, wenn sie nur einen gemeinsamen Teiler haben. M.a.W.: Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr einziger gemein- samer Teiler die Zahl 1 ist. Achtung: Teilerfremd bedeutet nicht, dass die Zahlen keinen gemeinsamen Teiler haben! Beispiele: 11 und 13, 5000 und 333, 1999 und 2000 sind teilerfremd.

22 Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner April 2005 Seite 22 Größter gemeinsamer Teiler Seien a und b ganze Zahlen, die nicht beide gleich Null sind. Der größte gemeinsame Teiler von a und b ist die größte ganze Zahl unter den gemeinsamen Teilern von a und b. Beispiele. (a) 6 ist größter gemeinsamer Teiler von 12 und 18, denn die gemeinsamen Teiler sind 1, 2, 3, 6; unter diesen ist 6 ist größte Zahl. (b) Zwei Zahlen a und b sind teilerfremd, falls ihr größter gemeinsamer Teiler gleich 1 ist. Seien a und b ganze Zahlen, die nicht beide gleich Null sind. Der größte gemeinsame Teiler von a und b ist die größte ganze Zahl unter den gemeinsamen Teilern von a und b. Beispiele. (a) 6 ist größter gemeinsamer Teiler von 12 und 18, denn die gemeinsamen Teiler sind 1, 2, 3, 6; unter diesen ist 6 ist größte Zahl. (b) Zwei Zahlen a und b sind teilerfremd, falls ihr größter gemeinsamer Teiler gleich 1 ist.

23 Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner April 2005 Seite 23 Der ggT Tatsache/Definition: Zu je zwei ganzen Zahlen a und b, die nicht beide gleich Null sind, existiert stets ein größter gemeinsamer Teiler; dieser ist eindeutig bestimmt. Er wird mit ggT(a, b) bezeichnet. Beispiele. (a) ggT(12, 18) = 6. (b) ggT(1001, 2001) = 1. (Denn: Jeder gemeinsame Teiler t von 1001 und 2001 teilt auch 2001 – 1001 = 1000. Also teilt t auch 1001 – 1000 = 1.) (c) ggT(–15, –21) = 3. (d) Für jede natürliche Zahl a gilt: ggT(a, 0) = a. (Klar: a ist der größte Teiler von a. Da a auch die Zahl 0 teilt, ist a = ggT(a, 0).) Tatsache/Definition: Zu je zwei ganzen Zahlen a und b, die nicht beide gleich Null sind, existiert stets ein größter gemeinsamer Teiler; dieser ist eindeutig bestimmt. Er wird mit ggT(a, b) bezeichnet. Beispiele. (a) ggT(12, 18) = 6. (b) ggT(1001, 2001) = 1. (Denn: Jeder gemeinsame Teiler t von 1001 und 2001 teilt auch 2001 – 1001 = 1000. Also teilt t auch 1001 – 1000 = 1.) (c) ggT(–15, –21) = 3. (d) Für jede natürliche Zahl a gilt: ggT(a, 0) = a. (Klar: a ist der größte Teiler von a. Da a auch die Zahl 0 teilt, ist a = ggT(a, 0).)

24 Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner April 2005 Seite 24 Berechnung des ggT 1.4.2 Satz. Seien a und b ganze Zahlen mit 0 < b < a. Seien q und r diejenigen ganzen Zahlen mit a = q b + r und 0 r < b. Dann gilt ggT(a, b) = ggT(b, r). Ist dies ein guter Satz? Ja, denn er führt die Berechnung des ggT großer Zahlen (a, b) auf die Berechnung des ggT kleinerer Zahlen (b, r) zurück. Eventuell muss man den Prozess wiederholen. Beispiel: ggT(2001, 1001) = ? 2001 = 1 1001 + 1000, 1001 = 1 1000 + 1; also ggT(2001, 1001) = ggT(1001, 1000) = ggT(1000, 1) = 1. 1.4.2 Satz. Seien a und b ganze Zahlen mit 0 < b < a. Seien q und r diejenigen ganzen Zahlen mit a = q b + r und 0 r < b. Dann gilt ggT(a, b) = ggT(b, r). Ist dies ein guter Satz? Ja, denn er führt die Berechnung des ggT großer Zahlen (a, b) auf die Berechnung des ggT kleinerer Zahlen (b, r) zurück. Eventuell muss man den Prozess wiederholen. Beispiel: ggT(2001, 1001) = ? 2001 = 1 1001 + 1000, 1001 = 1 1000 + 1; also ggT(2001, 1001) = ggT(1001, 1000) = ggT(1000, 1) = 1.

25 Kapitel 1: Die natürlichen und die ganzen Zahlen © Beutelspacher/Zschiegner April 2005 Seite 25 Beispiel ggT(4711, 1024) = ? 4711 = 4 1024 + 615ggT(4711, 1024) = ggT(1024, 615) 1024 = 1 615 + 409... = ggT(1024, 615) = ggT(615, 409) 615 = 1 409 + 206... ggT(615, 409) = ggT(409, 206) 409 = 1 206 + 203... ggT(409, 206) = ggT(206, 203) 206 = 1 203 + 3... ggT(206, 203) = ggT(203, 3) 203 = 67 3 + 2... ggT(203, 3) = ggT(3, 2) 3 = 1 2 + 1... ggT(3, 2) = ggT(2, 1) = 1. ggT(4711, 1024) = ? 4711 = 4 1024 + 615ggT(4711, 1024) = ggT(1024, 615) 1024 = 1 615 + 409... = ggT(1024, 615) = ggT(615, 409) 615 = 1 409 + 206... ggT(615, 409) = ggT(409, 206) 409 = 1 206 + 203... ggT(409, 206) = ggT(206, 203) 206 = 1 203 + 3... ggT(206, 203) = ggT(203, 3) 203 = 67 3 + 2... ggT(203, 3) = ggT(3, 2) 3 = 1 2 + 1... ggT(3, 2) = ggT(2, 1) = 1.