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20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101 + 101 +...+ 101= 10100 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2.

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3 20. Reihen

4 Carl Friedrich Gauß ( ) = n = n(n+1)/2 = 5050

5 Geometrische Reihe:1 + q + q 2 + q q n - (1 + q + q q n-1 + q n )q = 1 - q n q + q q n = Schach: = Reiskörner Erdoberfläche: cm q + q = für IqI < 1 unendlich viele Zahlen, endliche Summe:

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7 1/2

8 1/2 + 1/4 = 3/4

9 1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8

10 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 15/16

11 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/ = 1 unendlich viele Zahlen endliches Ergebnis

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14 1 + 1/2 + 1/4 + 1/ = /10 + 1/ / = 10/ /3 + 4/9 + 8/ = /3 + 1/9 - 1/ = 3/4

15 0, = 0,123(1 + 1/ / ) = 0,123/(1 - 1/1000) = 123/999 Alle periodischen Dezimalzahlen Alle Brüche sind periodische Dezimalzahlen Alle irrationalen Zahlen sind nicht periodisch. 2, e,, ln2 Sei 2 = p/q, teilerfremd 2q 2 = p 2 p ist gerade q ist gerade

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17 Nicole von Oresme ( ) Vorahnung der Analysis und des heliozentrischen Systems Gebrochene Potenzen: 4 3 = 64 = = 4 3/ /2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + (1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13+ 1/14 + 1/15 + 1/16) + (1/17 + 1/18 + 1/19 + 1/20 + 1/ /30 + 1/31 + 1/32) +... unendlich viele Zahlen unendliches Ergebnis

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19 mal das Alter des Universums.

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24 (s k ) s

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26 Nur Nullfolgen können konvergente Reihen ergeben.

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28 Übung: Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz:

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31 Nicht jede Reihe konvergiert unbedingt: halbiert und addiert Es sind aber dieselben Glieder!

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