20. Reihen. 20. Reihen Carl Friedrich Gauß ( )

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2 20. Reihen

3 Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855)
= 10100 n = n(n+1)/2 = 5050

4 Geometrische Reihe: 1 + q + q2 + q3 + ... + qn
(1 + q + q qn-1 + qn)q = qn+1 1 + q + q qn = Schach: = 2*1019 Reiskörner Erdoberfläche: 5*1018 cm2 1 + q + q = für IqI < 1 unendlich viele Zahlen, endliche Summe:

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6 1/2

7 1/2 + 1/4 = 3/4

8 1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8

9 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 15/16

10 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1 unendlich viele Zahlen
endliches Ergebnis 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/ = 1

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13 1 + 1/2 + 1/4 + 1/ = 2 1 + 1/10 + 1/ / = 10/9 1 + 2/3 + 4/9 + 8/ = 3 1 - 1/3 + 1/9 - 1/ = 3/4

14 0, = 0,123(1 + 1/ / ) = 0,123/(1 - 1/1000) = 123/999 Alle periodischen Dezimalzahlen   Alle Brüche sind periodische Dezimalzahlen  Alle irrationalen Zahlen sind nicht periodisch. 2, e, p, ln2 Sei 2 = p/q, teilerfremd  2q2 = p2  p ist gerade  q ist gerade

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16 1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) Nicole von Oresme (1323 - 1382)
Vorahnung der Analysis und des heliozentrischen Systems Gebrochene Potenzen: 43 = 64 = 82  8 = 43/2 1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + (1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13+ 1/14 + 1/15 + 1/16) + (1/17 + 1/18 + 1/19 + 1/20 + 1/ /30 + 1/31 + 1/32) + ... unendlich viele Zahlen unendliches Ergebnis

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18 100.000.000.000.000.000.000 mal das Alter des Universums.

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23 (sk)  s

24 (sk)  s

25 Nur Nullfolgen können konvergente Reihen ergeben.

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27 Übung: Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz:

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30 Nicht jede Reihe konvergiert unbedingt:
halbiert und addiert Es sind aber dieselben Glieder!

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