Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Kapitel 3 Die reellen Zahlen. Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 2 Inhalt 3.1 Was sind reelle Zahlen? 3.2 Wie viele reelle Zahlen.

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "Kapitel 3 Die reellen Zahlen. Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 2 Inhalt 3.1 Was sind reelle Zahlen? 3.2 Wie viele reelle Zahlen."—  Präsentation transkript:

1 Kapitel 3 Die reellen Zahlen

2 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 2 Inhalt 3.1 Was sind reelle Zahlen? 3.2 Wie viele reelle Zahlen gibt es? 3.3 Folgen 3.4 Was sind reelle Zahlen? – Teil II 3.5 Ungleichungen und Betrag 3.6 Summen 3.1 Was sind reelle Zahlen? 3.2 Wie viele reelle Zahlen gibt es? 3.3 Folgen 3.4 Was sind reelle Zahlen? – Teil II 3.5 Ungleichungen und Betrag 3.6 Summen

3 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite Was sind reelle Zahlen? Eine ausgesprochen schwierige Frage! Wir bezeichnen die Menge der reellen Zahlen (von der wir noch nicht wissen, was sie ist) mit R. Wir können natürlich Beispiele von reellen Zahlen angeben: alle natürlichen, ganzen, rationalen Zahlen sind auch reelle Zahlen (d.h. R ist eine Erweiterung von Q) 2, 5,... sind reelle Zahlen, ist eine reelle Zahl,... Aber: Wie kann man alle reellen Zahlen beschreiben??? Eine ausgesprochen schwierige Frage! Wir bezeichnen die Menge der reellen Zahlen (von der wir noch nicht wissen, was sie ist) mit R. Wir können natürlich Beispiele von reellen Zahlen angeben: alle natürlichen, ganzen, rationalen Zahlen sind auch reelle Zahlen (d.h. R ist eine Erweiterung von Q) 2, 5,... sind reelle Zahlen, ist eine reelle Zahl,... Aber: Wie kann man alle reellen Zahlen beschreiben???

4 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 4 1. Beschreibung der reellen Zahlen Wir werden die reellen Zahlen nicht explizit konstruieren, sondern verschiedene Beschreibungen angeben. 1. Beschreibung: Die reellen Zahlen füllen die Zahlengerade lückenlos aus. Dies ist die elementarste, aber wichtigste Vorstellung. Wir stellen, dass sich an jeder Stelle der Zahlengeraden eine Zahl befindet. Wenn wir mit einem unendlich dünnen Messer die Zahlengerade anschneiden, haben wir eine reelle Zahl getroffen. Mit anderen Worten: Die reelle Zahlengerade hat keine Lücke. Wir werden die reellen Zahlen nicht explizit konstruieren, sondern verschiedene Beschreibungen angeben. 1. Beschreibung: Die reellen Zahlen füllen die Zahlengerade lückenlos aus. Dies ist die elementarste, aber wichtigste Vorstellung. Wir stellen, dass sich an jeder Stelle der Zahlengeraden eine Zahl befindet. Wenn wir mit einem unendlich dünnen Messer die Zahlengerade anschneiden, haben wir eine reelle Zahl getroffen. Mit anderen Worten: Die reelle Zahlengerade hat keine Lücke.

5 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 5 2. Beschreibung durch Dezimalbrüche Die reellen Zahlen sind genau die Dezimalbrüche. Dezimalbrüche können endlich, periodisch oder nichtperiodisch sein. Endliche (abbrechende) Dezimalbrüche sind zum Beispiel 3,14; ; ,35. Bei periodischen Dezimalbrüchen wiederholt sich ab einer gewissen Stelle eine gewisse Ziffernfolge ständig. Beispiel: 24, Wir notieren dies wie üblich auch so: 24, Ein nichtperiodischer Dezimalbruch ist einer, der keine Periode hat. Zum Beispiel sind 2 und keine periodischen Dezimalbrüche. Die reellen Zahlen sind genau die Dezimalbrüche. Dezimalbrüche können endlich, periodisch oder nichtperiodisch sein. Endliche (abbrechende) Dezimalbrüche sind zum Beispiel 3,14; ; ,35. Bei periodischen Dezimalbrüchen wiederholt sich ab einer gewissen Stelle eine gewisse Ziffernfolge ständig. Beispiel: 24, Wir notieren dies wie üblich auch so: 24, Ein nichtperiodischer Dezimalbruch ist einer, der keine Periode hat. Zum Beispiel sind 2 und keine periodischen Dezimalbrüche.

6 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 6 Weitere Beschreibungen Wir werden weitere Beschreibungen der reellen Zahlen angeben: als Grenzwerte von Folgen, durch Dedekindsche Schnitte und durch die Supremumseigenschaft. Dazu brauchen wir aber noch einige Vorbereitungen. Bereits jetzt könne wir aber beweisen, dass es überabzählbar viele reelle Zahlen gibt! Wir werden weitere Beschreibungen der reellen Zahlen angeben: als Grenzwerte von Folgen, durch Dedekindsche Schnitte und durch die Supremumseigenschaft. Dazu brauchen wir aber noch einige Vorbereitungen. Bereits jetzt könne wir aber beweisen, dass es überabzählbar viele reelle Zahlen gibt!

7 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite Wie viele reelle Zahlen gibt es? Wir wissen: die Mengen Z und Q sind gleichmächtig zu N sind. Ist auch R gleichmächtig zu N? Oder besitzt R wesentlich mehr Elemente als N? Es ist eine der großen Leistungen von Georg Cantor ( ), des Erfinders der Mengentheorie, bewiesen zu haben, dass R wesentlich mehr Elemente wie N enthält: Es gibt keine Möglichkeit, die reellen Zahlen zu nummerieren! Wir bezeichnen die Menge der reellen Zahlen zwischen 0 (einschließlich) und 1 (ausschließlich) mit dem Symbol [0, 1). Man nennt dies ein haboffenes Intervall; dazu später. Wir wissen: die Mengen Z und Q sind gleichmächtig zu N sind. Ist auch R gleichmächtig zu N? Oder besitzt R wesentlich mehr Elemente als N? Es ist eine der großen Leistungen von Georg Cantor ( ), des Erfinders der Mengentheorie, bewiesen zu haben, dass R wesentlich mehr Elemente wie N enthält: Es gibt keine Möglichkeit, die reellen Zahlen zu nummerieren! Wir bezeichnen die Menge der reellen Zahlen zwischen 0 (einschließlich) und 1 (ausschließlich) mit dem Symbol [0, 1). Man nennt dies ein haboffenes Intervall; dazu später.

8 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 8 Überabzählbarkeit von R Satz (Cantor). Es gibt keine bijektive Abbildung von N auf [0,1). Das heißt: Die reellen Zahlen zwischen 0 und 1 sind nicht abzählbar. Erst recht ist die Menge aller reellen Zahlen nicht abzählbar! Beweis. (Cantorsches Diagonalverfahren) Der Beweis erfolgt durch Widerspruch. Wir nehmen an, dass sich die reellen Zahlen zwischen 0 und 1 abzählen lassen. Es gibt also eine erste reelle Zahl r 1, eine zweite r 2, eine dritte r 3, usw Satz (Cantor). Es gibt keine bijektive Abbildung von N auf [0,1). Das heißt: Die reellen Zahlen zwischen 0 und 1 sind nicht abzählbar. Erst recht ist die Menge aller reellen Zahlen nicht abzählbar! Beweis. (Cantorsches Diagonalverfahren) Der Beweis erfolgt durch Widerspruch. Wir nehmen an, dass sich die reellen Zahlen zwischen 0 und 1 abzählen lassen. Es gibt also eine erste reelle Zahl r 1, eine zweite r 2, eine dritte r 3, usw.

9 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 9 Erster Trick Erster Trick: Wir schreiben die Zahlen zwischen 0 und 1 in dieser Reihenfolge als Dezimalbrüche auf! r 1 = 0, a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a r 2 = 0, a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a r 3 = 0, a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 a r 4 = 0, a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 a r 5 = 0, a 51 a 52 a 53 a 54 a 55 a Beispiel: Wenn r 1 = 0, ist, so ist a 11 = 0, a 12 = 9, a 13 = 2 usw. Die vierte Nachkommastelle von r 7 wird mit a 74 bezeichnet. Erster Trick: Wir schreiben die Zahlen zwischen 0 und 1 in dieser Reihenfolge als Dezimalbrüche auf! r 1 = 0, a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a r 2 = 0, a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a r 3 = 0, a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 a r 4 = 0, a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 a r 5 = 0, a 51 a 52 a 53 a 54 a 55 a Beispiel: Wenn r 1 = 0, ist, so ist a 11 = 0, a 12 = 9, a 13 = 2 usw. Die vierte Nachkommastelle von r 7 wird mit a 74 bezeichnet.

10 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 10 Zweiter Trick Zweiter Trick (genial!): Wir konstruieren eine reelle Zahl t zwischen 0 und 1, die nicht in dieser Liste vorkommt! Dies ist ein Widerspruch, denn die obige Liste soll ja alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1 enthalten. Konstruktion von t: Die Zahl t hat eine Null vor dem Komma und nach dem Komma die Stellen b 1, b 2, b 3,... Für die Ziffer b 1 ist nur verboten, dass sie gleich a 11 ist. Also unterscheidet sich t wenigstens an der ersten Nachkommastelle von r 1. Somit ist sicher t r 1. Die Ziffer b 2 darf nicht gleich a 22 sein. Daher unterscheidet sich t jedenfalls an der zweiten Nachkommastelle von r 2 ; somit ist t r 2. Zweiter Trick (genial!): Wir konstruieren eine reelle Zahl t zwischen 0 und 1, die nicht in dieser Liste vorkommt! Dies ist ein Widerspruch, denn die obige Liste soll ja alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1 enthalten. Konstruktion von t: Die Zahl t hat eine Null vor dem Komma und nach dem Komma die Stellen b 1, b 2, b 3,... Für die Ziffer b 1 ist nur verboten, dass sie gleich a 11 ist. Also unterscheidet sich t wenigstens an der ersten Nachkommastelle von r 1. Somit ist sicher t r 1. Die Ziffer b 2 darf nicht gleich a 22 sein. Daher unterscheidet sich t jedenfalls an der zweiten Nachkommastelle von r 2 ; somit ist t r 2.

11 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 11 Der Widerspruch Und so weiter: Die Ziffer b i wird so gewählt, dass b i a ii ist. Dann unterscheidet sich t an der i-ten Stelle von r i, also ist t r i. So erhalten wir eine reelle Zahl t = 0, b 1 b 2 b 3... zwischen 0 und 1. Behauptung: Die Zahl t steht nicht in obiger Liste! Warum? Wenn t auf der Liste wäre, müsste t gleich einer Zahl r i sein. Wir haben aber schon gesehen, dass dies (wegen b i a ii ) nicht der Fall sein kann. Widerspruch! Dieser Widerspruch kommt von der Annahme her. Also ist die Annahme falsch. Daher ist die Menge [0, 1) nicht abzählbar. Und so weiter: Die Ziffer b i wird so gewählt, dass b i a ii ist. Dann unterscheidet sich t an der i-ten Stelle von r i, also ist t r i. So erhalten wir eine reelle Zahl t = 0, b 1 b 2 b 3... zwischen 0 und 1. Behauptung: Die Zahl t steht nicht in obiger Liste! Warum? Wenn t auf der Liste wäre, müsste t gleich einer Zahl r i sein. Wir haben aber schon gesehen, dass dies (wegen b i a ii ) nicht der Fall sein kann. Widerspruch! Dieser Widerspruch kommt von der Annahme her. Also ist die Annahme falsch. Daher ist die Menge [0, 1) nicht abzählbar.

12 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 12 Folgerungen Definition: Eine unendliche Menge heißt überabzählbar, wenn sie nicht abzählbar ist. Wenn eine Menge überabzählbar ist, hat sie also eine höhere Stufe der Unendlichkeit als eine abzählbare Menge Folgerung. Die Menge R der reellen Zahlen ist überabzählbar Folgerung. Es gibt unendlich viele, sogar überabzählbar viele irrationale Zahlen! Beweis. Wenn die Menge der irrationalen Zahlen abzählbar wäre, dann wäre auch R abzählbar, denn die Vereinigung von zwei abzählbaren Mengen ist wieder abzählbar: Widerspruch! Also muss die Menge der irrationalen Zahlen überabzählbar sein. Definition: Eine unendliche Menge heißt überabzählbar, wenn sie nicht abzählbar ist. Wenn eine Menge überabzählbar ist, hat sie also eine höhere Stufe der Unendlichkeit als eine abzählbare Menge Folgerung. Die Menge R der reellen Zahlen ist überabzählbar Folgerung. Es gibt unendlich viele, sogar überabzählbar viele irrationale Zahlen! Beweis. Wenn die Menge der irrationalen Zahlen abzählbar wäre, dann wäre auch R abzählbar, denn die Vereinigung von zwei abzählbaren Mengen ist wieder abzählbar: Widerspruch! Also muss die Menge der irrationalen Zahlen überabzählbar sein.

13 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite Folgen Definition: Eine Folge reeller Zahlen ist eine (unendliche) Folge a 1, a 2, a 3,... von reellen Zahlen a i. Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,... 1, 1, 1, 1, 1, 1,... 1 –1, 1, –1, 1, –1, 1,... 1, 1/2, 1/3, 1/4,... 3, 1, 4, 1, 5, 9,... Definition: Eine Folge reeller Zahlen ist eine (unendliche) Folge a 1, a 2, a 3,... von reellen Zahlen a i. Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,... 1, 1, 1, 1, 1, 1,... 1 –1, 1, –1, 1, –1, 1,... 1, 1/2, 1/3, 1/4,... 3, 1, 4, 1, 5, 9,...

14 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 14 Schreibweisen für Folgen Für die Folge a 1, a 2, a 3,... schreiben wir auch (a n ) oder (a n ) n N. Beispiele: (n) n N, (1) n N, ((–1) n+1 ) n N (1/ n ) n N. Eine Folge muss nicht mit der Nummer 1 beginnen; auch (a n ) n 5 ist eine Folge. Für die Folge a 1, a 2, a 3,... schreiben wir auch (a n ) oder (a n ) n N. Beispiele: (n) n N, (1) n N, ((–1) n+1 ) n N (1/ n ) n N. Eine Folge muss nicht mit der Nummer 1 beginnen; auch (a n ) n 5 ist eine Folge.

15 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 15 Schreibweise Die einzige Regel: Für jedes n muss klar sein, was a n ist! Eine Folge kann durch eine Formel angegeben werden. Man kann aber auch zwei (oder mehrere) Formeln verwenden: a n = 1, falls n ungerade ist a n = –n, falls n gerade ist. Man kann eine Folge aber auch verbal beschreiben: a n ist n 2, falls n eine Primzahl ist; sonst ist a n = 1, es sei denn n = 2005; in diesem Fall ist a n gleich der Anzahl der Hörer der WGMS IV. Die einzige Regel: Für jedes n muss klar sein, was a n ist! Eine Folge kann durch eine Formel angegeben werden. Man kann aber auch zwei (oder mehrere) Formeln verwenden: a n = 1, falls n ungerade ist a n = –n, falls n gerade ist. Man kann eine Folge aber auch verbal beschreiben: a n ist n 2, falls n eine Primzahl ist; sonst ist a n = 1, es sei denn n = 2005; in diesem Fall ist a n gleich der Anzahl der Hörer der WGMS IV.

16 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 16 Konvergente Folgen: Die Vorstellung Wichtig und zentral für die Analysis ist der Konvergenzbegriff. Vorstellung: Eine Folge konvergiert, wenn die Folgenglieder einer gewissen Zahl (dem Grenzwert) beliebig nahe kommen. Diese intuitive Vorstellung wollen wir präzisieren. Beispiele: 1, 1/2, 1/3, 1/4,...konvergent 1, –1, 1, –1, 1, –1, 1,...nicht konvergent 1000, , , 1, 1/2, 1/3, 1/4,...konvergent 1, 1/2, 1, 1/3, 1, 1/4, 1, 1/5, 1, 1/6, 1, 1/7,...nicht konvergent 1, –1/2, 1/4, –1/8, 1/16, –1/32,...konvergent Wichtig und zentral für die Analysis ist der Konvergenzbegriff. Vorstellung: Eine Folge konvergiert, wenn die Folgenglieder einer gewissen Zahl (dem Grenzwert) beliebig nahe kommen. Diese intuitive Vorstellung wollen wir präzisieren. Beispiele: 1, 1/2, 1/3, 1/4,...konvergent 1, –1, 1, –1, 1, –1, 1,...nicht konvergent 1000, , , 1, 1/2, 1/3, 1/4,...konvergent 1, 1/2, 1, 1/3, 1, 1/4, 1, 1/5, 1, 1/6, 1, 1/7,...nicht konvergent 1, –1/2, 1/4, –1/8, 1/16, –1/32,...konvergent

17 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 17 Konvergente Folgen: Beschreibungen Was bedeutet konvergent? Wir beschreiben dieses Phänomen in sechs Schritten mit zunehmender mathematischer Präzision. Sei (a n ) eine Folge und a eine reelle Zahl. 0. Beschreibung. Eine Folge von Punkten der Zahlengerade nähert sich immer mehr einem Punkt. 1. Beschreibung. Eine Folge konvergiert, wenn sie einen Grenzwert hat. 2. Beschreibung. Die Folge (a n ) konvergiert gegen den Grenzwert a, wenn die Folgenglieder a n mit wachsendem n der Zahl a immer näher kommen. Was bedeutet konvergent? Wir beschreiben dieses Phänomen in sechs Schritten mit zunehmender mathematischer Präzision. Sei (a n ) eine Folge und a eine reelle Zahl. 0. Beschreibung. Eine Folge von Punkten der Zahlengerade nähert sich immer mehr einem Punkt. 1. Beschreibung. Eine Folge konvergiert, wenn sie einen Grenzwert hat. 2. Beschreibung. Die Folge (a n ) konvergiert gegen den Grenzwert a, wenn die Folgenglieder a n mit wachsendem n der Zahl a immer näher kommen.

18 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 18 Definition 3. Beschreibung. Die Folge (a n ) konvergiert gegen den Grenzwert a, wenn in jeder noch so kleinen Umgebung von a fast alle Folgenglieder a n liegen. 4. Beschreibung (und schon fast die formale Definition): Die Folge (a n ) konvergiert gegen den Grenzwert a, wenn für jedes (noch so kleine) > 0 ab einer gewissen Nummer N alle Folgenglieder höchsten den Abstand von a haben. 5. Beschreibung (die formale Definition): Die Folge (a n ) konvergiert gegen eine reelle Zahl a (ihren Grenzwert), wenn es für jede reelle Zahl > 0 eine Nummer N gibt, so dass für alle Folgenglieder a n mit n N die Ungleichung a n –a < gilt. 3. Beschreibung. Die Folge (a n ) konvergiert gegen den Grenzwert a, wenn in jeder noch so kleinen Umgebung von a fast alle Folgenglieder a n liegen. 4. Beschreibung (und schon fast die formale Definition): Die Folge (a n ) konvergiert gegen den Grenzwert a, wenn für jedes (noch so kleine) > 0 ab einer gewissen Nummer N alle Folgenglieder höchsten den Abstand von a haben. 5. Beschreibung (die formale Definition): Die Folge (a n ) konvergiert gegen eine reelle Zahl a (ihren Grenzwert), wenn es für jede reelle Zahl > 0 eine Nummer N gibt, so dass für alle Folgenglieder a n mit n N die Ungleichung a n –a < gilt.

19 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 19 Beispiele (a) Die Folge (1/n) konvergiert und hat den Grenzwert a = 0. Denn für alle > 0 existiert ein N mit 1/N <. Dann gilt 1/N – 0 = 1/N – 0 = 1/N < Erst recht gilt dann für alle n N: 1/n – 0 = 1/n – 0 = 1/n < 1/N <. (b) Die Folge ((n–1)/n) konvergiert und hat den Grenzwert 1. Denn sei > 0 beliebig. Dann existiert ein N mit 1/N <. Also ist (N–1)/N – 1 = –1/N = 1/N = 1/N <. Dann gilt auch für alle n N: (n–1)/n – 1 = –1/n = 1/n = 1/n 1/N <. (a) Die Folge (1/n) konvergiert und hat den Grenzwert a = 0. Denn für alle > 0 existiert ein N mit 1/N <. Dann gilt 1/N – 0 = 1/N – 0 = 1/N < Erst recht gilt dann für alle n N: 1/n – 0 = 1/n – 0 = 1/n < 1/N <. (b) Die Folge ((n–1)/n) konvergiert und hat den Grenzwert 1. Denn sei > 0 beliebig. Dann existiert ein N mit 1/N <. Also ist (N–1)/N – 1 = –1/N = 1/N = 1/N <. Dann gilt auch für alle n N: (n–1)/n – 1 = –1/n = 1/n = 1/n 1/N <.

20 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 20 Wann konvergiert eine Folge nicht? Auch das werden wir auf verschiedenen Sprachebenen beschreiben. 1. Beschreibung: Eine Folge konvergiert nicht, wenn sie keinen Grenzwert hat. 2. Beschreibung: Die Folge (a n ) konvergiert nicht, wenn es keine reelle Zahl gibt, der die Folgenglieder an mit wachsendem n immer näher kommen. 3. Beschreibung: Die Folge (a n ) konvergiert nicht, wenn es für jede Zahl a eine kleine Umgebung von a gibt, so dass außerhalb unendlich viele Folgenglieder an liegen. Auch das werden wir auf verschiedenen Sprachebenen beschreiben. 1. Beschreibung: Eine Folge konvergiert nicht, wenn sie keinen Grenzwert hat. 2. Beschreibung: Die Folge (a n ) konvergiert nicht, wenn es keine reelle Zahl gibt, der die Folgenglieder an mit wachsendem n immer näher kommen. 3. Beschreibung: Die Folge (a n ) konvergiert nicht, wenn es für jede Zahl a eine kleine Umgebung von a gibt, so dass außerhalb unendlich viele Folgenglieder an liegen.

21 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 21 Formale Beschreibung 4. Beschreibung: Die Folge (a n ) konvergiert nicht, wenn es für jede reelle Zahl a ein > 0 gibt, so dass unendlich viele Folgenglieder a n außerhalb der -Umgebung von a liegen. 5. Beschreibung (formal): Die Folge (a n ) konvergiert nicht, wenn es für alle reellen Zahlen a ein > 0 gibt, so dass für jede Nummer N gilt: Es gibt ein Folgenglied a n mit n N, für das die Ungleichung a n –a > gilt. Wenn eine Folge nicht konvergiert, sagt man auch, sie divergiert. 4. Beschreibung: Die Folge (a n ) konvergiert nicht, wenn es für jede reelle Zahl a ein > 0 gibt, so dass unendlich viele Folgenglieder a n außerhalb der -Umgebung von a liegen. 5. Beschreibung (formal): Die Folge (a n ) konvergiert nicht, wenn es für alle reellen Zahlen a ein > 0 gibt, so dass für jede Nummer N gilt: Es gibt ein Folgenglied a n mit n N, für das die Ungleichung a n –a > gilt. Wenn eine Folge nicht konvergiert, sagt man auch, sie divergiert.

22 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 22 Beispiele (a) Die Folge 1, 2, 3, 4, 5,... divergiert (konvergiert nicht). Denn wir wählen = 1. Dann haben für jede reelle Zahl a unendlich viele Folgenglieder einen Abstand größer als (= 1) von a. Dies sind alle Folgenglieder, die größer als a+1 oder kleiner als a–1 sind. (b) Die Folge 1, –1, 1, –1, 1,... konvergiert nicht. Denn wir wählen = 1/4. Dann haben für jede reelle Zahl a die Folgenglieder 1 oder die Folgenglieder –1 einen Abstand > 1/4. Also kann keine Zahl a ein Grenzwert dieser Folge sein. (a) Die Folge 1, 2, 3, 4, 5,... divergiert (konvergiert nicht). Denn wir wählen = 1. Dann haben für jede reelle Zahl a unendlich viele Folgenglieder einen Abstand größer als (= 1) von a. Dies sind alle Folgenglieder, die größer als a+1 oder kleiner als a–1 sind. (b) Die Folge 1, –1, 1, –1, 1,... konvergiert nicht. Denn wir wählen = 1/4. Dann haben für jede reelle Zahl a die Folgenglieder 1 oder die Folgenglieder –1 einen Abstand > 1/4. Also kann keine Zahl a ein Grenzwert dieser Folge sein.

23 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 23 Cauchy-Folge Frage: Kann man die Konvergenz einer Folge auch erkennen, wenn man den Grenzwert nicht kennt? Definition. Sei (a n ) eine Folge. Man sagt, dass (a n ) eine Cauchy- Folge ist bzw. dass die Verdichtungseigenschaft gilt, wenn es für jedes (noch so kleine) > 0 eine Nummer N so gibt, dass für alle Folgenglieder an und am mit n, m N die Ungleichung a n –a n < gilt. (A.-L. Cauchy, franz.Mathematiker, 1789 – 1857) Vorstellung: Späte Glieder der Folge kommen sich immer näher. Frage: Kann man die Konvergenz einer Folge auch erkennen, wenn man den Grenzwert nicht kennt? Definition. Sei (a n ) eine Folge. Man sagt, dass (a n ) eine Cauchy- Folge ist bzw. dass die Verdichtungseigenschaft gilt, wenn es für jedes (noch so kleine) > 0 eine Nummer N so gibt, dass für alle Folgenglieder an und am mit n, m N die Ungleichung a n –a n < gilt. (A.-L. Cauchy, franz.Mathematiker, 1789 – 1857) Vorstellung: Späte Glieder der Folge kommen sich immer näher.

24 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 24 Konvergente Folgen sind Cauchy-Folgen Satz. Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge. Beweis. Sei (a n ) eine konvergente Folge mit Grenzwert a. Idee: Da sich späte Glieder der Folge immer weniger vom Grenzwert unterscheiden, können sich diese Glieder auch untereinander nicht stark unterscheiden. Genauer gesagt: Der Abstand zweier Folgenglieder a n, a m kann höchstens doppelt so groß sein wie der Abstand von a n bzw. a m von a Satz. Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge. Beweis. Sei (a n ) eine konvergente Folge mit Grenzwert a. Idee: Da sich späte Glieder der Folge immer weniger vom Grenzwert unterscheiden, können sich diese Glieder auch untereinander nicht stark unterscheiden. Genauer gesagt: Der Abstand zweier Folgenglieder a n, a m kann höchstens doppelt so groß sein wie der Abstand von a n bzw. a m von a.

25 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 25 Beweis Dies beschreiben wir nun genauer: Sei eine beliebige reelle Zahl > 0. Wir wenden die Definition der Konvergenz von (a n ) auf /2 an. Dann gibt es eine Nummer N, so dass für alle Folgenglieder a n mit n N die Ungleichung a n –a < /2 gilt. Seien nun n,m N. Dann gilt: a n –a m a n –a + a–a m < /2 + /2 =. Also gilt die Verdichtungseigenschaft. Somit ist (a n ) eine Cauchy- Folge. Dies beschreiben wir nun genauer: Sei eine beliebige reelle Zahl > 0. Wir wenden die Definition der Konvergenz von (a n ) auf /2 an. Dann gibt es eine Nummer N, so dass für alle Folgenglieder a n mit n N die Ungleichung a n –a < /2 gilt. Seien nun n,m N. Dann gilt: a n –a m a n –a + a–a m < /2 + /2 =. Also gilt die Verdichtungseigenschaft. Somit ist (a n ) eine Cauchy- Folge.

26 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 26 Vollständigkeit von R Mit Cauchy-Folgen kann man nicht nur konvergente Folgen beschreiben, deren Grenzwert man nicht kennt, sondern auch solche, von denen es den Grenzwert – bislang – gar nicht gibt. Man kann die reellen Zahlen auch so einführen, dass man fordert, dass jede Cauchy-Folge konvergiert. Man spricht von der Vollständigkeit der reellen Zahlen. Dies soll im folgenden geschehen. Mit Cauchy-Folgen kann man nicht nur konvergente Folgen beschreiben, deren Grenzwert man nicht kennt, sondern auch solche, von denen es den Grenzwert – bislang – gar nicht gibt. Man kann die reellen Zahlen auch so einführen, dass man fordert, dass jede Cauchy-Folge konvergiert. Man spricht von der Vollständigkeit der reellen Zahlen. Dies soll im folgenden geschehen.

27 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite Was sind reelle Zahlen II Wir werden jetzt noch drei mathematische Beschreibungen der entscheidenden Eigenschaften der reellen Zahlen angeben. Alle drei Beschreibungen sind mathematisch gleichwertig, aber aus begrifflicher sicht unterschiedlich schwierig zu verstehen. Wir fordern drei verschiedene Dinge von den reellen Zahlen: Man soll wie gewohnt mit ihnen rechnen können, sie sollen sinnvoll bezüglich < geordnet sein und sie sollen lückenlos sein. Grundforderung: Die reellen Zahlen sollen mit + und einen Körper bilden. Das heißt: Man kann mit + und wie üblich rechnen. Wir werden jetzt noch drei mathematische Beschreibungen der entscheidenden Eigenschaften der reellen Zahlen angeben. Alle drei Beschreibungen sind mathematisch gleichwertig, aber aus begrifflicher sicht unterschiedlich schwierig zu verstehen. Wir fordern drei verschiedene Dinge von den reellen Zahlen: Man soll wie gewohnt mit ihnen rechnen können, sie sollen sinnvoll bezüglich < geordnet sein und sie sollen lückenlos sein. Grundforderung: Die reellen Zahlen sollen mit + und einen Körper bilden. Das heißt: Man kann mit + und wie üblich rechnen.

28 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 28 Vollständigkeit 3. Beschreibung: Die Menge der reellen Zahlen ist vollständig. Das bedeutet, dass jede Cauchy-Folge in R konvergiert. Die Bedeutung dieses Axioms ist für uns im Augenblick noch kaum abschätzbar. Tatsache ist, dass die Analysis ohne dieses (oder ein äquivalentes) Axiom nicht funktionieren würde. Damit sind nicht nur die Grenzwerte der konvergenten Folgen reelle Zahlen, sondern umgekehrt: Wir fordern, dass jede Folge, die konvergieren könnte (Cauchy-Folge) auch tatsächlich konvergiert! Mit anderen Worten: Die meisten reellen Zahlen existieren (zunächst) nur als Grenzwerte von Cauchy-Folgen. 3. Beschreibung: Die Menge der reellen Zahlen ist vollständig. Das bedeutet, dass jede Cauchy-Folge in R konvergiert. Die Bedeutung dieses Axioms ist für uns im Augenblick noch kaum abschätzbar. Tatsache ist, dass die Analysis ohne dieses (oder ein äquivalentes) Axiom nicht funktionieren würde. Damit sind nicht nur die Grenzwerte der konvergenten Folgen reelle Zahlen, sondern umgekehrt: Wir fordern, dass jede Folge, die konvergieren könnte (Cauchy-Folge) auch tatsächlich konvergiert! Mit anderen Worten: Die meisten reellen Zahlen existieren (zunächst) nur als Grenzwerte von Cauchy-Folgen.

29 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 29 Anordnung Auf R gibt es eine Relation < mit folgenden Eigenschaften: –Für je zwei reelle Zahlen a und b gilt a b. –Wenn für drei reelle Zahlen a, b und c gilt a < b und b < c, so gilt auch a < c. (Transitivität von <.) –Seien a und b reelle Zahlen mit a < b. Dann gilt für jede reelle Zahl r: a + r < b + r – Ferner gilt für jede positive reelle Zahl r: a r < b r. – Für jede negative reelle Zahl r gilt: a r > b r. (Monotoniegesetze für Addition und Multiplikation) Auf R gibt es eine Relation < mit folgenden Eigenschaften: –Für je zwei reelle Zahlen a und b gilt a b. –Wenn für drei reelle Zahlen a, b und c gilt a < b und b < c, so gilt auch a < c. (Transitivität von <.) –Seien a und b reelle Zahlen mit a < b. Dann gilt für jede reelle Zahl r: a + r < b + r – Ferner gilt für jede positive reelle Zahl r: a r < b r. – Für jede negative reelle Zahl r gilt: a r > b r. (Monotoniegesetze für Addition und Multiplikation)

30 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 30 Dedekindscher Schnitt Durch jede reelle Zahl s kann man die Menge R in zwei Hälften A und B zerschneiden. Dazu definieren wir A = {r R r < s} und B = {r R r s}. Dann haben die Mengen A und B folgende Eigenschaften: A und B sind nicht leer. A B = R. Für alle a A und alle b B gilt a < b. Jedes Paar A, B von Mengen reeller Zahlen mit diesen Eigenschaften heißt ein Schnitt (auch: Dedekindscher Schnitt); Richard Dedekind ( ). Durch jede reelle Zahl s kann man die Menge R in zwei Hälften A und B zerschneiden. Dazu definieren wir A = {r R r < s} und B = {r R r s}. Dann haben die Mengen A und B folgende Eigenschaften: A und B sind nicht leer. A B = R. Für alle a A und alle b B gilt a < b. Jedes Paar A, B von Mengen reeller Zahlen mit diesen Eigenschaften heißt ein Schnitt (auch: Dedekindscher Schnitt); Richard Dedekind ( ).

31 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 31 Beispiel Bei einem Schnitt, der so konstruiert ist, heißt s die Trennungszahl. Beispiel: Im Falle s = 2 geben wir einige Elemente von A und B an: –10; 1; 1,3; 1,4; 1,41 A, 1,42; 1,415 B. Ein Schnitt hat praktische Konsequenzen: Jede Zahl, die in A oder B liegt, ist eine untere bzw. obere Abschätzung der Zahl s. Bei einem Schnitt, der so konstruiert ist, heißt s die Trennungszahl. Beispiel: Im Falle s = 2 geben wir einige Elemente von A und B an: –10; 1; 1,3; 1,4; 1,41 A, 1,42; 1,415 B. Ein Schnitt hat praktische Konsequenzen: Jede Zahl, die in A oder B liegt, ist eine untere bzw. obere Abschätzung der Zahl s.

32 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 32 Schnittaxiom 4. Beschreibung: Jeder Schnitt besitzt genau eine Trennungszahl. Das heißt: Wenn immer wir nichtleere Mengen A und B finden, die zusammen alle reellen Zahlen enthalten und die Eigenschaft haben, dass jedes Element aus A kleiner ist als jedes Element aus B, dann gibt es eine reelle Zahl s, so dass A und B durch Trennung der Menge der reellen Zahlen an der Schnittzahl s entstehen! Das Schnittaxiom ist die mathematisch präzise Formulierung der anschaulichen Vorstellung, dass an jeder Stelle (wo immer man durchschneidet) der Zahlengerade eine reelle Zahl liegt. 4. Beschreibung: Jeder Schnitt besitzt genau eine Trennungszahl. Das heißt: Wenn immer wir nichtleere Mengen A und B finden, die zusammen alle reellen Zahlen enthalten und die Eigenschaft haben, dass jedes Element aus A kleiner ist als jedes Element aus B, dann gibt es eine reelle Zahl s, so dass A und B durch Trennung der Menge der reellen Zahlen an der Schnittzahl s entstehen! Das Schnittaxiom ist die mathematisch präzise Formulierung der anschaulichen Vorstellung, dass an jeder Stelle (wo immer man durchschneidet) der Zahlengerade eine reelle Zahl liegt.

33 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 33 Obere Schranke Definition. Sei M eine Menge reeller Zahlen. Eine reelle Zahl a heißt eine obere Schranke von M, falls gilt a m für alle m M. M heißt nach oben beschränkt, falls M eine obere Schranke hat. Beispiele: (a) Die Menge M = {1, 1/2, 1/3,...} ist nach oben beschränkt; obere Schranken sind z.B. 1, 5, usw. (b) Die Menge N = {0, 1, 2, 3,...} ist nicht nach oben beschränkt. Ebenso sind Z, R, Q nicht nach oben beschränkt. (c) Jede endliche Menge M ist nach oben beschränkt: Das größte Element (Maximum) von M ist eine obere Schranke. (Achtung: unendliche Mengen haben meist kein größtes Element!) Definition. Sei M eine Menge reeller Zahlen. Eine reelle Zahl a heißt eine obere Schranke von M, falls gilt a m für alle m M. M heißt nach oben beschränkt, falls M eine obere Schranke hat. Beispiele: (a) Die Menge M = {1, 1/2, 1/3,...} ist nach oben beschränkt; obere Schranken sind z.B. 1, 5, usw. (b) Die Menge N = {0, 1, 2, 3,...} ist nicht nach oben beschränkt. Ebenso sind Z, R, Q nicht nach oben beschränkt. (c) Jede endliche Menge M ist nach oben beschränkt: Das größte Element (Maximum) von M ist eine obere Schranke. (Achtung: unendliche Mengen haben meist kein größtes Element!)

34 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 34 Untere Schranke Definition. Eine reelle Zahl a heißt eine untere Schranke von M, falls gilt a m für alle m M. Die Menge M heißt nach unten beschränkt, falls M eine untere Schranke besitzt. Beispiele: (a) Die Menge M = {1, 1/2, 1/3,...} ist nach unten beschränkt; untere Schranken sind zum Beispiel 0, –1, –1000 usw. (b) Die Menge N = {0, 1, 2, 3,...} ist nicht nach unten beschränkt. Aber Z, R, Q sind nicht nach unten beschränkt. (c) Jede endliche Menge ist nach unten beschränkt: Das kleinste Element (Minimum) von M ist eine untere Schranke. Definition. Eine reelle Zahl a heißt eine untere Schranke von M, falls gilt a m für alle m M. Die Menge M heißt nach unten beschränkt, falls M eine untere Schranke besitzt. Beispiele: (a) Die Menge M = {1, 1/2, 1/3,...} ist nach unten beschränkt; untere Schranken sind zum Beispiel 0, –1, –1000 usw. (b) Die Menge N = {0, 1, 2, 3,...} ist nicht nach unten beschränkt. Aber Z, R, Q sind nicht nach unten beschränkt. (c) Jede endliche Menge ist nach unten beschränkt: Das kleinste Element (Minimum) von M ist eine untere Schranke.

35 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 35 Supremum Es ist keine Kunst, große obere Schranken zu finden; die Kunst ist, möglichst kleine obere Schranken zu finden. Definition. Eine reelle Zahl s heißt kleinste obere Schranke (Supremum) von M, falls (1) s eine obere Schranke von M ist, und (2)s die kleinste obere Schranke von M ist. Die Bedingung (2) heißt, dass keine Zahl s' < s eine obere Schranke von M ist. Technisch ausgedrückt: Für jede reelle Zahl s' < s gibt es ein m M mit s' < m. (Das Element m ist ein Zeuge dafür, dass s' keine obere Schranke ist.) Wir schreiben auch s = sup(M). Es ist keine Kunst, große obere Schranken zu finden; die Kunst ist, möglichst kleine obere Schranken zu finden. Definition. Eine reelle Zahl s heißt kleinste obere Schranke (Supremum) von M, falls (1) s eine obere Schranke von M ist, und (2)s die kleinste obere Schranke von M ist. Die Bedingung (2) heißt, dass keine Zahl s' < s eine obere Schranke von M ist. Technisch ausgedrückt: Für jede reelle Zahl s' < s gibt es ein m M mit s' < m. (Das Element m ist ein Zeuge dafür, dass s' keine obere Schranke ist.) Wir schreiben auch s = sup(M).

36 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 36 Beispiel Das Supremum der Menge M = {9/10, 99/100, 999/1000,...} ist 1. Denn (1) ist 1 eine obere Schranke von M. Zum Nachweis der Bedingung (2) betrachten wir eine beliebige reelle Zahl s' < 1. Dann gibt es immer ein Element m der Menge M mit s' < m. Bemerkung. sup(M) muss nicht in der Menge M liegen. Wenn s = sup(M) in M liegt, nennt man das Element s auch das Maximum von M. Das Supremum der Menge M = {9/10, 99/100, 999/1000,...} ist 1. Denn (1) ist 1 eine obere Schranke von M. Zum Nachweis der Bedingung (2) betrachten wir eine beliebige reelle Zahl s' < 1. Dann gibt es immer ein Element m der Menge M mit s' < m. Bemerkung. sup(M) muss nicht in der Menge M liegen. Wenn s = sup(M) in M liegt, nennt man das Element s auch das Maximum von M.

37 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 37 Infimum Definition. Wir nennen eine reelle Zahl s größte untere Schranke (Infimum) von M, falls (1) s eine untere Schranke von M ist, und (2) s die größte untere Schranke von M ist. Die Bedingung (2) bedeutet, dass keine Zahl s' > s eine untere Schranke von M ist. Das heißt : Für jede reelle Zahl s' > s gibt es ein m M mit s' > m. (Das Element m ist ein Zeuge dafür, dass s' keine untere Schranke ist.) Wir schreiben auch s = inf(M). Definition. Wir nennen eine reelle Zahl s größte untere Schranke (Infimum) von M, falls (1) s eine untere Schranke von M ist, und (2) s die größte untere Schranke von M ist. Die Bedingung (2) bedeutet, dass keine Zahl s' > s eine untere Schranke von M ist. Das heißt : Für jede reelle Zahl s' > s gibt es ein m M mit s' > m. (Das Element m ist ein Zeuge dafür, dass s' keine untere Schranke ist.) Wir schreiben auch s = inf(M).

38 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 38 Supremumsprinzip Klar: Eine nach oben unbeschränkte Menge hat kein Supremum. (Denn eine solche Menge hat keine obere Schranke, erst recht keine kleinste obere Schranke.) Das Supremumsprinzip sagt, dass ansonsten jede Menge ein Supremum hat. 5. Beschreibung. Jede nichtleere, nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen hat ein eindeutig bestimmtes Supremum. Entsprechend gilt auch Infimumsprinzip. Jede nichtleere, nach unten beschränkte Menge reeller Zahlen hat ein Infimum. Klar: Eine nach oben unbeschränkte Menge hat kein Supremum. (Denn eine solche Menge hat keine obere Schranke, erst recht keine kleinste obere Schranke.) Das Supremumsprinzip sagt, dass ansonsten jede Menge ein Supremum hat. 5. Beschreibung. Jede nichtleere, nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen hat ein eindeutig bestimmtes Supremum. Entsprechend gilt auch Infimumsprinzip. Jede nichtleere, nach unten beschränkte Menge reeller Zahlen hat ein Infimum.

39 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 39 Satz des Archimedes Satz des Archimedes. Zu jeder reellen Zahl r gibt es eine natürliche Zahl n mit n > r. Mit anderen Worten: Die Menge der natürlichen Zahlen ist unbeschränkt. Beweis. Angenommen, N wäre beschränkt. Dann gäbe es nach dem Supremumsprinzip sup(N); dieses nennen wir s. Dann ist s–1 keine obere Schranke von N. Also muss es eine natürliche Zahl n geben mit n > s–1. (Sonst wäre s–1 eine obere Schranke für N.) Also ist s < n+1. Also wäre s kleiner als die natürliche Zahl n+1, und somit wäre s keine obere Schranke von N. Archimedes (287 v. Chr v. Chr.) Satz des Archimedes. Zu jeder reellen Zahl r gibt es eine natürliche Zahl n mit n > r. Mit anderen Worten: Die Menge der natürlichen Zahlen ist unbeschränkt. Beweis. Angenommen, N wäre beschränkt. Dann gäbe es nach dem Supremumsprinzip sup(N); dieses nennen wir s. Dann ist s–1 keine obere Schranke von N. Also muss es eine natürliche Zahl n geben mit n > s–1. (Sonst wäre s–1 eine obere Schranke für N.) Also ist s < n+1. Also wäre s kleiner als die natürliche Zahl n+1, und somit wäre s keine obere Schranke von N. Archimedes (287 v. Chr v. Chr.)

40 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 40 Satz des Eudoxos Satz des Eudoxos. Zu jedem > 0 gibt es ein n N mit 1/n <. Beweis. Nach dem Satz des Archimedes gibt es ein n N mit n > 1/. Dann ist > 1/n. Eudoxos (400 v. Chr v. Chr.) Satz des Eudoxos. Zu jedem > 0 gibt es ein n N mit 1/n <. Beweis. Nach dem Satz des Archimedes gibt es ein n N mit n > 1/. Dann ist > 1/n. Eudoxos (400 v. Chr v. Chr.)

41 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite Betrag und Ungleichungen Definition. Für eine reelle Zahl a definieren wir a = a, falls a 0 a = –a, falls a < 0. Wir nennen a den Betrag der reellen Zahl a. Beispiele: 1000 = 1000, –35 = 35, 0 = 0, –0,1 = 0,1. Definition. Für eine reelle Zahl a definieren wir a = a, falls a 0 a = –a, falls a < 0. Wir nennen a den Betrag der reellen Zahl a. Beispiele: 1000 = 1000, –35 = 35, 0 = 0, –0,1 = 0,1.

42 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 42 Eigenschaften der Betragsfunktion Satz. Die Betragsfunktion hat folgende Eigenschaften: a 0 mit a = 0 genau dann, wenn a = 0 ist. ab = a b. a+b a + b. Beweis. (a) Nach Definition ist a nie negativ. Klar: 0 = 0. Wenn a = 0 ist, ist nach Definition a 0. Also ist a = a ; da a = 0 ist, muss also a = 0 sein Satz. Die Betragsfunktion hat folgende Eigenschaften: a 0 mit a = 0 genau dann, wenn a = 0 ist. ab = a b. a+b a + b. Beweis. (a) Nach Definition ist a nie negativ. Klar: 0 = 0. Wenn a = 0 ist, ist nach Definition a 0. Also ist a = a ; da a = 0 ist, muss also a = 0 sein.

43 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 43 Beweis (b) (b) Wenn eine der Zahlen a, b Null ist, sind beide Seiten gleich Null. Seien also a 0 und b 0. Wir unterscheiden vier Fälle. 1. Fall: a, b > 0. Dann ist auch ab > 0, also ab = ab = a b. 2. Fall: a > 0, b < 0. Dann ist auch ab < 0, also ab = –ab = a (–b) = a b. 3. Fall: a 0. Analog zu Fall Fall: a, b 0, also ab = ab = (–a)(–b) = a b. (b) Wenn eine der Zahlen a, b Null ist, sind beide Seiten gleich Null. Seien also a 0 und b 0. Wir unterscheiden vier Fälle. 1. Fall: a, b > 0. Dann ist auch ab > 0, also ab = ab = a b. 2. Fall: a > 0, b < 0. Dann ist auch ab < 0, also ab = –ab = a (–b) = a b. 3. Fall: a 0. Analog zu Fall Fall: a, b 0, also ab = ab = (–a)(–b) = a b.

44 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 44 Beweis (c) (c) Wenn a und b beide positiv oder beide negativ sind, dann gilt a+b = a + b. Sei also eine der beiden Zahlen, sagen wir a, positiv, die andere (also b) negativ. Dann ist a+b a (falls b a ) oder a+b b (falls a b ). In jedem Fall ist a+b a + b. Bemerkung: Für jede reelle Zahl gilt a = –a. Insbesondere gilt für je zwei reelle Zahlen a und b: a–b = b–a. (c) Wenn a und b beide positiv oder beide negativ sind, dann gilt a+b = a + b. Sei also eine der beiden Zahlen, sagen wir a, positiv, die andere (also b) negativ. Dann ist a+b a (falls b a ) oder a+b b (falls a b ). In jedem Fall ist a+b a + b. Bemerkung: Für jede reelle Zahl gilt a = –a. Insbesondere gilt für je zwei reelle Zahlen a und b: a–b = b–a.

45 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 45 Ungleichung vom Mittelwert Satz (Ungleichung vom arithmetischen Mittel). Seien a und b reelle Zahlen mit a b. Dann gilt: a (a+b)/2 b. Beweis. Wir zeigen 2a a+b und a+b 2b. Zunächst folgt 2a = a+a a+b, da a b. Entsprechend ergibt sich a+b b+b = 2b, da a b ist. Durch Multiplikation mit ½ ergibt sich daraus die Behauptung Satz (Ungleichung vom arithmetischen Mittel). Seien a und b reelle Zahlen mit a b. Dann gilt: a (a+b)/2 b. Beweis. Wir zeigen 2a a+b und a+b 2b. Zunächst folgt 2a = a+a a+b, da a b. Entsprechend ergibt sich a+b b+b = 2b, da a b ist. Durch Multiplikation mit ½ ergibt sich daraus die Behauptung.

46 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 46 Das arithmetische Mittel Allgemein gilt: Satz. Seien a 1, a 2,..., a n reelle Zahlen, wobei a 1 die kleinste dieser Zahlen (das Minimum) und a n die größte (das Maximum) ist. Dann gilt: a 1 a n. Beweis: Übungsaufgabe. Bemerkung: Man nennt das arithmetische Mittel der Zahlen a 1, a 2,..., a n. Allgemein gilt: Satz. Seien a 1, a 2,..., a n reelle Zahlen, wobei a 1 die kleinste dieser Zahlen (das Minimum) und a n die größte (das Maximum) ist. Dann gilt: a 1 a n. Beweis: Übungsaufgabe. Bemerkung: Man nennt das arithmetische Mittel der Zahlen a 1, a 2,..., a n.

47 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 47 Das geometrische Mittel Man nennt die Zahl das geometrische Mittel der positiven reellen Zahlen a und b. Zum Beispiel ist das geometrische Mittel der Zahlen 2 und 8 gleich Satz (Ungleichung zwischen arithmetischem und geometri- schem Mittel). Seien a und b nichtnegative reelle Zahlen. Dann gilt: (a+b)/2. Kurz: Das geometrische Mittel ist nie größer als das arithmetische. Man nennt die Zahl das geometrische Mittel der positiven reellen Zahlen a und b. Zum Beispiel ist das geometrische Mittel der Zahlen 2 und 8 gleich Satz (Ungleichung zwischen arithmetischem und geometri- schem Mittel). Seien a und b nichtnegative reelle Zahlen. Dann gilt: (a+b)/2. Kurz: Das geometrische Mittel ist nie größer als das arithmetische.

48 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 48 Beweis der Ungleichung (I) Beweis. Wir können a 0 und b 0 voraussetzen. Wir formen die Behauptung schrittweise äquivalent um: (a+b)/2 ab ((a+b)/2) 2 ab (a+b) 2 / 4 4ab (a+b) 2 4ab a 2 + 2ab + b 2 0 a 2 –2ab + b 2 0 (a–b) 2.

49 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 49 Beweis der Ungleichung (II) Diese letzte Ungleichung 0 (a–b) 2 ist aber richtig, da das Quadrat jeder reellen Zahl positiv oder Null ist; also ist das Quadrat von a–b auch nichtnegativ. Da die letzte Ungleichung gilt, gilt auch die erste, also gilt die Behauptung. Achtung: Bei dieser Art der Beweisführung muß man darauf achten, daß wirklich alle Umformungen Äquivalenzumformungen sind. Das heißt: Aus der oberen folgt die untere und aus der unteren folgt die obere. Diese letzte Ungleichung 0 (a–b) 2 ist aber richtig, da das Quadrat jeder reellen Zahl positiv oder Null ist; also ist das Quadrat von a–b auch nichtnegativ. Da die letzte Ungleichung gilt, gilt auch die erste, also gilt die Behauptung. Achtung: Bei dieser Art der Beweisführung muß man darauf achten, daß wirklich alle Umformungen Äquivalenzumformungen sind. Das heißt: Aus der oberen folgt die untere und aus der unteren folgt die obere.

50 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite Summen Wir werden oft viele reelle Zahlen addieren. Zum Beispiel: n, n, a 1 + a a n. Diese Summen kann man auf zwei Arten darstellen: 1. Drei-Pünktchen-Schreibweise. Diese Schreibweise ist suggestiv und oft unmittelbar verständlich. Nachteil: das Muster der einzelnen Terme ist nicht explizit klar. Zum Beispiel ist nicht klar, ob n eine Summe aus n+1 oder aus 2 n Gliedern ist. Wir werden oft viele reelle Zahlen addieren. Zum Beispiel: n, n, a 1 + a a n. Diese Summen kann man auf zwei Arten darstellen: 1. Drei-Pünktchen-Schreibweise. Diese Schreibweise ist suggestiv und oft unmittelbar verständlich. Nachteil: das Muster der einzelnen Terme ist nicht explizit klar. Zum Beispiel ist nicht klar, ob n eine Summe aus n+1 oder aus 2 n Gliedern ist.

51 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 51 Die -Notation 2. Die - Notation (sigma). Diese ist eine Abkürzung für eine Summe. Wir definieren = a 1 + a a n. Vorteil: Man kann den allgemeinen Term durch eine Formal angeben. Zum Beispiel können wir ohne weiteres zwischen den Summen und unterscheiden. 2. Die - Notation (sigma). Diese ist eine Abkürzung für eine Summe. Wir definieren = a 1 + a a n. Vorteil: Man kann den allgemeinen Term durch eine Formal angeben. Zum Beispiel können wir ohne weiteres zwischen den Summen und unterscheiden.

52 Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 52 Der Summationsindex Die Variable k wird als Summationsindex bezeichnet. Statt k wird oft auch i oder n geschrieben. Der Summationsindex muss nicht bei 1 anfangen – und nicht bei n aufhören. Auch Ausdrücke der Form, oder haben ihren Sinn. Häufig gibt man den Summationsindex nicht direkt, sondern durch eine Bedingung unter den -Zeichen an. Beispiel: Der Vorteil dieser Schreibweise liegt in einer sehr hohen Flexibilität. Die Variable k wird als Summationsindex bezeichnet. Statt k wird oft auch i oder n geschrieben. Der Summationsindex muss nicht bei 1 anfangen – und nicht bei n aufhören. Auch Ausdrücke der Form, oder haben ihren Sinn. Häufig gibt man den Summationsindex nicht direkt, sondern durch eine Bedingung unter den -Zeichen an. Beispiel: Der Vorteil dieser Schreibweise liegt in einer sehr hohen Flexibilität.


Herunterladen ppt "Kapitel 3 Die reellen Zahlen. Kapitel 3: Die reellen Zahlen © Beutelspacher Mai 2005 Seite 2 Inhalt 3.1 Was sind reelle Zahlen? 3.2 Wie viele reelle Zahlen."

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen