Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Kapitel 2 Die rationalen und die irrationalen Zahlen.

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "Kapitel 2 Die rationalen und die irrationalen Zahlen."—  Präsentation transkript:

1 Kapitel 2 Die rationalen und die irrationalen Zahlen

2 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 2 Inhalt 2.1 Was sind die rationalen Zahlen? 2.2 Wie rechnet man mit rationalen Zahlen? 2.3 Ordnung in den rationalen Zahlen 2.4 Dezimalbrüche 2.5 Die Entdeckung der Irrationalität 2.6 Wie viele rationale Zahlen gibt es? 2.1 Was sind die rationalen Zahlen? 2.2 Wie rechnet man mit rationalen Zahlen? 2.3 Ordnung in den rationalen Zahlen 2.4 Dezimalbrüche 2.5 Die Entdeckung der Irrationalität 2.6 Wie viele rationale Zahlen gibt es?

3 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite Was sind die rationalen Zahlen? Erinnerung: Die Menge N der natürlichen Zahlen ist abgeschlossen bzgl. Addition und Multiplikation. D.h. Summe bzw. Produkt von je zwei natürlichen Zahlen ist wieder eine natürliche Zahl. Die Menge Z der ganzen Zahlen ist zusätzlich abgeschlossen bezüglich der Subtraktion. D.h. die Differenz je zweier ganzer Zahlen ist wieder eine ganze Zahl. Es gelten die bekannten Rechenregeln. Beispiele: 2 – 3 = –1, –1 – 3 = –4, 3 (–5) = –15, j (–3) (–5) = 15, usw. Erinnerung: Die Menge N der natürlichen Zahlen ist abgeschlossen bzgl. Addition und Multiplikation. D.h. Summe bzw. Produkt von je zwei natürlichen Zahlen ist wieder eine natürliche Zahl. Die Menge Z der ganzen Zahlen ist zusätzlich abgeschlossen bezüglich der Subtraktion. D.h. die Differenz je zweier ganzer Zahlen ist wieder eine ganze Zahl. Es gelten die bekannten Rechenregeln. Beispiele: 2 – 3 = –1, –1 – 3 = –4, 3 (–5) = –15, j (–3) (–5) = 15, usw.

4 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 4 Weshalb rationale Zahlen? Aber: Der Quotient zweier ganzer Zahlen ist jedoch meistens keine ganze Zahl (z.B. ist 5/3 keine ganze Zahl). Das heißt: Man kann nicht (ohne Rest) dividieren. Mathematisch ausgedrückt: Die Menge Z der ganzen Zahlen ist nicht abgeschlossen bzgl. der Division. Ziel: Einführung der Menge der rationalen Zahlen, die bezüglich der Division durch jede Zahl 0 abgeschlossen ist. Bemerkung: In Schulunterricht geht man derzeit so vor, dass man zunächst die positiven Bruchzahlen einführt und erst anschließend die gesamten rationalen Zahlen. Daher wird der Begriff rationale Zahl oft mit negativer Zahl assoziiert. Das ist aber die falsche Vorstellung. Aber: Der Quotient zweier ganzer Zahlen ist jedoch meistens keine ganze Zahl (z.B. ist 5/3 keine ganze Zahl). Das heißt: Man kann nicht (ohne Rest) dividieren. Mathematisch ausgedrückt: Die Menge Z der ganzen Zahlen ist nicht abgeschlossen bzgl. der Division. Ziel: Einführung der Menge der rationalen Zahlen, die bezüglich der Division durch jede Zahl 0 abgeschlossen ist. Bemerkung: In Schulunterricht geht man derzeit so vor, dass man zunächst die positiven Bruchzahlen einführt und erst anschließend die gesamten rationalen Zahlen. Daher wird der Begriff rationale Zahl oft mit negativer Zahl assoziiert. Das ist aber die falsche Vorstellung.

5 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 5 Rationale Zahlen als Brüche Definition. Ein Bruch ist ein Paar (p, q) ganzer Zahlen mit q 0. Wir schreiben dafür auch (manchmal auch p/q). Wir nennen p den Zähler und q den Nenner dieses Bruches. Jeder Bruch stellt eine rationale Zahl (Bruchzahl) dar. (ratio (lat.) = Verhältnis) Problem: Jede rationale Zahl kann durch unendlich viele Brüche dargestellt werden. Definition. Ein Bruch ist ein Paar (p, q) ganzer Zahlen mit q 0. Wir schreiben dafür auch (manchmal auch p/q). Wir nennen p den Zähler und q den Nenner dieses Bruches. Jeder Bruch stellt eine rationale Zahl (Bruchzahl) dar. (ratio (lat.) = Verhältnis) Problem: Jede rationale Zahl kann durch unendlich viele Brüche dargestellt werden.

6 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 6 Erweitern von Brüchen Definition. Zwei Brüche und stellen dieselbe rationale Zahl dar, falls pq' = p'q ist. Es folgt, dass für jede ganze Zahl a 0 die Brüche und dieselbe rationale Zahl darstellen. Das bedeutet: Erweitern und Kürzen mit einer ganzen Zahl 0 ändert die zugehörige Bruchzahl, also den Wert eines Bruches nicht. Jede rationale Zahl wird also durch unendlich viele Brüche dargestellt! Beispiel: Die Bruchzahl wird auch durch folgende Brüche dargestellt: Definition. Zwei Brüche und stellen dieselbe rationale Zahl dar, falls pq' = p'q ist. Es folgt, dass für jede ganze Zahl a 0 die Brüche und dieselbe rationale Zahl darstellen. Das bedeutet: Erweitern und Kürzen mit einer ganzen Zahl 0 ändert die zugehörige Bruchzahl, also den Wert eines Bruches nicht. Jede rationale Zahl wird also durch unendlich viele Brüche dargestellt! Beispiel: Die Bruchzahl wird auch durch folgende Brüche dargestellt:

7 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 7 Äquivalenz von Brüchen Definition. Wenn die Brüche und dieselbe rationale Zahl darstellen, schreiben wir auch und nennen die Brüche und gleich (vorsichtiger: äquivalent). Jede rationale Zahl wird durch unendlich viele äquivalente Brüche dargestellt. Es ist also zunächst gefährlich zu sagen, eine rationale Zahl ist ein Bruch. Besser wäre es zu sagen, dass eine rationale Zahl eine unendliche Menge (Äquivalenzklasse) von Brüchen ist. Definition. Wenn die Brüche und dieselbe rationale Zahl darstellen, schreiben wir auch und nennen die Brüche und gleich (vorsichtiger: äquivalent). Jede rationale Zahl wird durch unendlich viele äquivalente Brüche dargestellt. Es ist also zunächst gefährlich zu sagen, eine rationale Zahl ist ein Bruch. Besser wäre es zu sagen, dass eine rationale Zahl eine unendliche Menge (Äquivalenzklasse) von Brüchen ist.

8 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 8 Q als Erweiterung von Z Definition. Wir bezeichnen die Menge aller rationalen Zahlen mit Q. Beobachtung. Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl, denn für jedes z Z ist z = eine rationale Zahl. Insofern ist Q eine Erweiterung von Z. Das heißt, dass Z Q gilt. Insgesamt haben wir also N schrittweise wie folgt erweitert: N Z Q. Definition. Wir bezeichnen die Menge aller rationalen Zahlen mit Q. Beobachtung. Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl, denn für jedes z Z ist z = eine rationale Zahl. Insofern ist Q eine Erweiterung von Z. Das heißt, dass Z Q gilt. Insgesamt haben wir also N schrittweise wie folgt erweitert: N Z Q.

9 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite Wie rechnet man mit rationalen Zahlen? Wir haben die Menge der rationalen Zahlen definiert, wissen aber noch nicht, wie man mit rationalen Zahlen rechnet. Bei der Definition der Rechenoperationen + und soll gelten: 1. Die üblichen Gesetze: Assoziativgesetz, Kommutativgesetz, Distributivgesetze usw. 2. Als Summe oder Produkt soll immer die gleiche rationale Zahl herauskommen, auch wenn man mit verschiedenen äquivalenten Brüchen startet. Wir haben die Menge der rationalen Zahlen definiert, wissen aber noch nicht, wie man mit rationalen Zahlen rechnet. Bei der Definition der Rechenoperationen + und soll gelten: 1. Die üblichen Gesetze: Assoziativgesetz, Kommutativgesetz, Distributivgesetze usw. 2. Als Summe oder Produkt soll immer die gleiche rationale Zahl herauskommen, auch wenn man mit verschiedenen äquivalenten Brüchen startet.

10 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 10 Die Problemstellung Da jede rationale Zahl durch unendlich viele äquivalente Brüche dar- gestellt werden kann, stellt sich folgendes Problem: Ich wähle die Brüche und und berechne die Summe Sie wählen aber statt den dazu äquivalenten Bruch und berech- nen entsprechend die Summe Dann muss zwar nicht der gleiche Bruch, wohl aber die gleiche rationale Zahl herauskommen; denn das Ergebnis darf schließlich nicht davon abhängen, wer dies ausgerechnet hat! Entsprechendes muss beim Produkt gelten! Da jede rationale Zahl durch unendlich viele äquivalente Brüche dar- gestellt werden kann, stellt sich folgendes Problem: Ich wähle die Brüche und und berechne die Summe Sie wählen aber statt den dazu äquivalenten Bruch und berech- nen entsprechend die Summe Dann muss zwar nicht der gleiche Bruch, wohl aber die gleiche rationale Zahl herauskommen; denn das Ergebnis darf schließlich nicht davon abhängen, wer dies ausgerechnet hat! Entsprechendes muss beim Produkt gelten!

11 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 11 Wohldefiniertheit An eine sinnvolle Addition und Multiplikation stellen wir daher folgende Anforderungen: Seien und zwei rationale Zahlen, und sei äquivalent zu. Dann muss gelten + = + = Entsprechend muss man auch den zweiten Bruch durch einen äquiva- lenten ersetzen können. Wenn diese Eigenschaften gelten, nennt man die Operationen wohldefiniert. An eine sinnvolle Addition und Multiplikation stellen wir daher folgende Anforderungen: Seien und zwei rationale Zahlen, und sei äquivalent zu. Dann muss gelten + = + = Entsprechend muss man auch den zweiten Bruch durch einen äquiva- lenten ersetzen können. Wenn diese Eigenschaften gelten, nennt man die Operationen wohldefiniert.

12 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 12 Multiplikation rationaler Zahlen Definition. Seien und zwei rationale Zahlen. Wir definieren ihr Produkt durch Das bedeutet: Zwei rationale Zahlen werden multipliziert, indem man darstellende Brüche betrachtet und Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. Bemerkung. Man kann sich anschaulich Produkte wie 3 4/7 klar machen, aber 1/2 1/3 ist schwierig vorzustellen. Dafür ist die algorithmische Berechnung einfach! Definition. Seien und zwei rationale Zahlen. Wir definieren ihr Produkt durch Das bedeutet: Zwei rationale Zahlen werden multipliziert, indem man darstellende Brüche betrachtet und Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. Bemerkung. Man kann sich anschaulich Produkte wie 3 4/7 klar machen, aber 1/2 1/3 ist schwierig vorzustellen. Dafür ist die algorithmische Berechnung einfach!

13 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 13 Wohldefiniertheit der Multiplikation Satz. Die Multiplikation von rationalen Zahlen ist wohldefiniert. Beweis. Seien und zwei rationale Zahlen, und sei eine rationale Zahl, die zu äquivalent ist. Das bedeutet p 1 q 1 ' = p 1 ' q 1. Wir müssen zeigen, dass und äquivalent sind Satz. Die Multiplikation von rationalen Zahlen ist wohldefiniert. Beweis. Seien und zwei rationale Zahlen, und sei eine rationale Zahl, die zu äquivalent ist. Das bedeutet p 1 q 1 ' = p 1 ' q 1. Wir müssen zeigen, dass und äquivalent sind.

14 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 14 Beweis Dies folgt so: Nach Definition der Multiplikation gilt und Die beiden Brüche auf den rechten Seiten sind äquivalent, denn es gilt (p 1 p 2 ) (q 1 ' q 2 ) = (p 1 q 1 ') (p 2 q 2 )(Kommutativität in Z) = (p 1 ' q 1 ) (p 2 q 2 )(Voraussetzung) = (p 1 ' p 2 ) (q 1 q 2 )(Kommutativität in Z). Äquivalenter Bruch an der zweiten Stelle: Übung! Dies folgt so: Nach Definition der Multiplikation gilt und Die beiden Brüche auf den rechten Seiten sind äquivalent, denn es gilt (p 1 p 2 ) (q 1 ' q 2 ) = (p 1 q 1 ') (p 2 q 2 )(Kommutativität in Z) = (p 1 ' q 1 ) (p 2 q 2 )(Voraussetzung) = (p 1 ' p 2 ) (q 1 q 2 )(Kommutativität in Z). Äquivalenter Bruch an der zweiten Stelle: Übung!

15 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 15 Eigenschaften der Multiplikation Satz. Die Multiplikation rationaler Zahlen erfüllt folgende Gesetze: (a) Assoziativgesetz. (b) Kommutativgesetz. (c) Existenz eines neutralen Elements, nämlich der Zahl 1. (d) Existenz von inversen Elementen: Zu jeder rationalen Zahl r 0 gibt es eine rationale Zahl r' mit rr' = 1. Beweis. (a) Übungsaufgabe. (b) Seien und zwei rationale Zahlen. Zu zeigen: = Satz. Die Multiplikation rationaler Zahlen erfüllt folgende Gesetze: (a) Assoziativgesetz. (b) Kommutativgesetz. (c) Existenz eines neutralen Elements, nämlich der Zahl 1. (d) Existenz von inversen Elementen: Zu jeder rationalen Zahl r 0 gibt es eine rationale Zahl r' mit rr' = 1. Beweis. (a) Übungsaufgabe. (b) Seien und zwei rationale Zahlen. Zu zeigen: =

16 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 16 Beweis Dies folgt so: = = =. (c) Die Zahl 1 erfüllt (1 ist neutrales Element in Z). (d) Sei r = p/q 0. Dann ist nicht nur q 0, sondern auch p 0. Also ist auch q/p eine rationale Zahl, und es gilt Also ist q/p das multiplikativ inverse Element zu p/q. Dies folgt so: = = =. (c) Die Zahl 1 erfüllt (1 ist neutrales Element in Z). (d) Sei r = p/q 0. Dann ist nicht nur q 0, sondern auch p 0. Also ist auch q/p eine rationale Zahl, und es gilt Also ist q/p das multiplikativ inverse Element zu p/q.

17 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 17 Die Summe rationaler Zahlen Die Summe rationaler Zahlen ist anschaulich völlig klar: Man addiert zwei rationale Zahlen, indem man die entsprechenden Größen zusammenfügt. Die formelmäßige Berechnung bereitet jedoch Schwierigkeiten. Definition. Seien und zwei rationale Zahlen. Wir definieren ihre Summe durch + = In Worten: Wir erweitern zunächst die beiden Brüche so, dass sie den gleichen Nenner q 1 q 2 haben und addieren dann die Zähler. Die Summe rationaler Zahlen ist anschaulich völlig klar: Man addiert zwei rationale Zahlen, indem man die entsprechenden Größen zusammenfügt. Die formelmäßige Berechnung bereitet jedoch Schwierigkeiten. Definition. Seien und zwei rationale Zahlen. Wir definieren ihre Summe durch + = In Worten: Wir erweitern zunächst die beiden Brüche so, dass sie den gleichen Nenner q 1 q 2 haben und addieren dann die Zähler.

18 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 18 Beispiele (a)(b) (c) In Worten: Gleichnamige Brüche werden addiert, indem man die Zähler addiert. Problem der Wohldefiniertheit: Das Ergebnis einer Addition darf nicht von der Darstellung der einzelnen Summanden abhängen! Satz. Die Addition rationaler Zahlen ist wohldefiniert. Beweis: Übungsaufgabe. (a)(b) (c) In Worten: Gleichnamige Brüche werden addiert, indem man die Zähler addiert. Problem der Wohldefiniertheit: Das Ergebnis einer Addition darf nicht von der Darstellung der einzelnen Summanden abhängen! Satz. Die Addition rationaler Zahlen ist wohldefiniert. Beweis: Übungsaufgabe.

19 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 19 Eigenschaften der Addition Satz. Die Addition rationaler Zahlen erfüllt folgende Gesetze: (a) Assoziativgesetz, (b) Kommutativgesetz, (c) Existenz eines neutralen Elements, nämlich der Zahl 0, (d) Existenz eines inversen Elements (negativen Elements): Zu jeder rationalen Zahl r gibt es eine rationale Zahl r' mit r + r' = 0. Beweis. (a) Prinzipiell so wie (b), aber technisch komplizierter. (b) Seien und rationale Zahlen. Z.z.: Satz. Die Addition rationaler Zahlen erfüllt folgende Gesetze: (a) Assoziativgesetz, (b) Kommutativgesetz, (c) Existenz eines neutralen Elements, nämlich der Zahl 0, (d) Existenz eines inversen Elements (negativen Elements): Zu jeder rationalen Zahl r gibt es eine rationale Zahl r' mit r + r' = 0. Beweis. (a) Prinzipiell so wie (b), aber technisch komplizierter. (b) Seien und rationale Zahlen. Z.z.:

20 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 20 Be weis Dies folgt so (c) Die Zahl 0 erfüllt: (d) Sei r = p/q eine rationale Zahl. Dann ist auch –r := –p/q eine rationale Zahl. Es gilt: Dies folgt so (c) Die Zahl 0 erfüllt: (d) Sei r = p/q eine rationale Zahl. Dann ist auch –r := –p/q eine rationale Zahl. Es gilt: Kommutativität in Z

21 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 21 Das Distributivgesetz Das Distributivgesetz verbindet die Addition mit der Multiplikation Satz. Die Addition und Multiplikation in Q erfüllen das Distributivgesetz. Das heißt, für alle rationalen Zahlen r, s, t gilt r (s+t) = r s + r t. Beweis. Seien rationale Zahlen. Wir müssen zeigen, dass folgende Gleichung gilt: Das Distributivgesetz verbindet die Addition mit der Multiplikation Satz. Die Addition und Multiplikation in Q erfüllen das Distributivgesetz. Das heißt, für alle rationalen Zahlen r, s, t gilt r (s+t) = r s + r t. Beweis. Seien rationale Zahlen. Wir müssen zeigen, dass folgende Gleichung gilt:

22 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 22 Beweis des Distributivgesetzes Wir beginnen mit der linken Seite: Die rechte Seite ergibt sich als Wir müssen zeigen, dass diese beiden Brüche äquivalent sind. Dies folgt so: (p 1 p 2 q 3 +p 1 p 3 q 2 )q 1 q 2 q 1 q 3 = p 1 p 2 q 3 q 1 q 2 q 1 q 3 + p 1 p 3 q 2 q 1 q 2 q 1 q 3 = (p 1 p 2 q 1 q 3 + p 1 p 3 q 1 q 2 )q 1 q 2 q 3. Wir beginnen mit der linken Seite: Die rechte Seite ergibt sich als Wir müssen zeigen, dass diese beiden Brüche äquivalent sind. Dies folgt so: (p 1 p 2 q 3 +p 1 p 3 q 2 )q 1 q 2 q 1 q 3 = p 1 p 2 q 3 q 1 q 2 q 1 q 3 + p 1 p 3 q 2 q 1 q 2 q 1 q 3 = (p 1 p 2 q 1 q 3 + p 1 p 3 q 1 q 2 )q 1 q 2 q 3.

23 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 23 Der Körper der rationalen Zahlen Definition: Eine Menge K mit + und bildet einen Körper, wenn – die beiden Operationen assoziativ und kommutativ sind, – es ein neutrales Element 0 bzgl. der Addition und ein neutrales Element 1 0 bezüglich der Multiplikation gibt, – jedes Element ein additives Inverses und jedes von 0 verschiedene Element ein multiplikatives Inverses hat, – das Distributivgesetz gilt. Ein Körper ist eine Struktur, in der man wie gewohnt rechnen kann Satz. Die Menge Q der rationalen Zahlen bildet zusammen mit + und einen Körper. (2.2.3, 2.2.4, 2.2.5). Man spricht auch vom Körper der rationalen Zahlen. Definition: Eine Menge K mit + und bildet einen Körper, wenn – die beiden Operationen assoziativ und kommutativ sind, – es ein neutrales Element 0 bzgl. der Addition und ein neutrales Element 1 0 bezüglich der Multiplikation gibt, – jedes Element ein additives Inverses und jedes von 0 verschiedene Element ein multiplikatives Inverses hat, – das Distributivgesetz gilt. Ein Körper ist eine Struktur, in der man wie gewohnt rechnen kann Satz. Die Menge Q der rationalen Zahlen bildet zusammen mit + und einen Körper. (2.2.3, 2.2.4, 2.2.5). Man spricht auch vom Körper der rationalen Zahlen.

24 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite Dezimalbrüche Erinnerung bzw. Vorschau: Wir berechnen Dezimalbrüche aus rationalen Zahlen, indem wir dividieren: 3/8 = 3 : 8 = 0,375 3/7 = 3 : 7 = Erinnerung bzw. Vorschau: Wir berechnen Dezimalbrüche aus rationalen Zahlen, indem wir dividieren: 3/8 = 3 : 8 = 0,375 3/7 = 3 : 7 =

25 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 25 Dezimalbrüche Definition. Ein Dezimalbruch ist eine Folge z 0, z 1 z 2 z 3 …. Dabei ist z 0 eine natürliche Zahl (die 0 sein kann!), und z 1, z 2, z 3, … sind natürliche Zahlen zwischen 0 und 9 (Ziffern). Die Folge der z i kann endlich oder unendlich sein. Der Wert dieses Dezimalbruches (die Dezimalzahl) ist z 0 + z 1 /10 + z 2 /100 + z 3 / z 4 / … Definition. Ein Dezimalbruch ist eine Folge z 0, z 1 z 2 z 3 …. Dabei ist z 0 eine natürliche Zahl (die 0 sein kann!), und z 1, z 2, z 3, … sind natürliche Zahlen zwischen 0 und 9 (Ziffern). Die Folge der z i kann endlich oder unendlich sein. Der Wert dieses Dezimalbruches (die Dezimalzahl) ist z 0 + z 1 /10 + z 2 /100 + z 3 / z 4 / …

26 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 26 Endliche Dezimalbrüche Ein Dezimalbruch heißt endlich, wenn die Folge seiner Ziffern endlich ist (bzw. wenn ab einer Stelle nur noch Nullen kommen). Klar: z 0, z 1 z 2 z 3 …z k = z 0 + [z 1 10 k–1 + z 2 10 k–2 +…+ z k– z k ] /10 k. Zum Beispiel: 3,26 = /100; 72,1829 = /10000; … Das bedeutet: Ein endlicher Dezimalbruch entspricht einem gewöhnlichen Bruch, dessen Nenner (nach Kürzung) eine Zahl ist, die nur die Primfaktoren 2 und 5 enthält. Es gilt auch die Umkehrung: Ein Dezimalbruch heißt endlich, wenn die Folge seiner Ziffern endlich ist (bzw. wenn ab einer Stelle nur noch Nullen kommen). Klar: z 0, z 1 z 2 z 3 …z k = z 0 + [z 1 10 k–1 + z 2 10 k–2 +…+ z k– z k ] /10 k. Zum Beispiel: 3,26 = /100; 72,1829 = /10000; … Das bedeutet: Ein endlicher Dezimalbruch entspricht einem gewöhnlichen Bruch, dessen Nenner (nach Kürzung) eine Zahl ist, die nur die Primfaktoren 2 und 5 enthält. Es gilt auch die Umkehrung:

27 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 27 Endliche Dezimalbrüche II Satz. Sei p/q eine vollständig gekürzte Bruchzahl. (D.h. ggT(p, q) = 1.) Ohne Einschränkung sei p < q (d.h. die Bruchzahl ist < 1). Dann gilt: Genau dann entspricht p/q ein endlicher Dezimalbruch, wenn q nur Primfaktoren 2 und 5 enthält. Beweis. Die eine Richtung wurde bereits gezeigt. Umgekehrt sei p/q eine Bruchzahl, die < 1 istmöge q nur die Primfaktoren 2 und 5 enthalten. Dann kann man den Bruch so zu p/q erweitern, dass der Nenner q eine Zehnerpotenz 10 k ist. Das heißt p/q = p/q = p/10 k. Also ist p/q = p/q = 0, z 1 z 2 z 3 …z k, wobei die z i die Ziffern von q sind Satz. Sei p/q eine vollständig gekürzte Bruchzahl. (D.h. ggT(p, q) = 1.) Ohne Einschränkung sei p < q (d.h. die Bruchzahl ist < 1). Dann gilt: Genau dann entspricht p/q ein endlicher Dezimalbruch, wenn q nur Primfaktoren 2 und 5 enthält. Beweis. Die eine Richtung wurde bereits gezeigt. Umgekehrt sei p/q eine Bruchzahl, die < 1 istmöge q nur die Primfaktoren 2 und 5 enthalten. Dann kann man den Bruch so zu p/q erweitern, dass der Nenner q eine Zehnerpotenz 10 k ist. Das heißt p/q = p/q = p/10 k. Also ist p/q = p/q = 0, z 1 z 2 z 3 …z k, wobei die z i die Ziffern von q sind.

28 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 28 Periodische Dezimalbrüche Sei p/q eine ausgekürzte Bruchzahl. Man erhält den zugehörigen Dezimalbruch, indem man p durch q teilt. Dabei können zwei Fälle auftreten: 1. Fall: Irgendwann entsteht als Rest bei der Division 0. Dann entstehen ab dieser Stelle immer nur Nullen. D.h. es liegt ein endlicher Dezimalbruch vor. 2. Fall. Alle Reste sind 0. Da die Reste < q sind, müssen sie sich nach spätestens q–1 Schritten wiederholen. Es liegt ein periodischer Dezimalbruch vor. Die Periodenlänge ist q– 1. Sei p/q eine ausgekürzte Bruchzahl. Man erhält den zugehörigen Dezimalbruch, indem man p durch q teilt. Dabei können zwei Fälle auftreten: 1. Fall: Irgendwann entsteht als Rest bei der Division 0. Dann entstehen ab dieser Stelle immer nur Nullen. D.h. es liegt ein endlicher Dezimalbruch vor. 2. Fall. Alle Reste sind 0. Da die Reste < q sind, müssen sie sich nach spätestens q–1 Schritten wiederholen. Es liegt ein periodischer Dezimalbruch vor. Die Periodenlänge ist q– 1.

29 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 29 Rein periodische Dezimalbrüche Sei ein rein periodischer Dezimalbruch. Der zugehörige gewöhnliche Bruch ist Beispiele. Sei ein rein periodischer Dezimalbruch. Der zugehörige gewöhnliche Bruch ist Beispiele.

30 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 30 Nicht periodische Dezimalbrüche Ein nicht-endlicher, nichtperiodischer Dezimalbruch ist eine reelle Zahl, die nicht rational ist. Beispiele: 0, … (u.ä.) 2 = 1, … = 3, … Ein nicht-endlicher, nichtperiodischer Dezimalbruch ist eine reelle Zahl, die nicht rational ist. Beispiele: 0, … (u.ä.) 2 = 1, … = 3, …

31 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite Ordnung in den rationalen Zahlen Ziele: 1. Einführung einer Ordnungsrelation (<): Rückführung auf < in Z. 2. Untersuchung der Eigenschaften Sei eine rationale Zahl. Dann kann man den Nenner positiv wählen. (Wenn dies nicht der Fall sein sollte, erweitert man den Bruch zum Beispiel mit –1). Definition. Seien und zwei rationale Zahlen mit positiven Nennern. Wir definieren < p 1 q 2 < p 2 q 1. Zum Beispiel ist 1/3 < 2/5, da 1 5 < 2 3 ist. Ziele: 1. Einführung einer Ordnungsrelation (<): Rückführung auf < in Z. 2. Untersuchung der Eigenschaften Sei eine rationale Zahl. Dann kann man den Nenner positiv wählen. (Wenn dies nicht der Fall sein sollte, erweitert man den Bruch zum Beispiel mit –1). Definition. Seien und zwei rationale Zahlen mit positiven Nennern. Wir definieren < p 1 q 2 < p 2 q 1. Zum Beispiel ist 1/3 < 2/5, da 1 5 < 2 3 ist.

32 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 32 Erste Eigenschaften Die Operation < ist wohldefiniert. Das heißt: Wenn < ist, dann erfüllt auch jeder zu äquivalente Bruch die Beziehung <. (Dies folgt so: Aus der 0, gilt also auch p 1 q 2 q 1 ' 0. Das ist die Behauptung.) 2. Die Operation ist eine totale Ordnung auf Q. D.h.: für je zwei verschiedene rationale Zahlen r, s gilt entweder r < s oder s < r. Die Operation < ist wohldefiniert. Das heißt: Wenn < ist, dann erfüllt auch jeder zu äquivalente Bruch die Beziehung <. (Dies folgt so: Aus der 0, gilt also auch p 1 q 2 q 1 ' 0. Das ist die Behauptung.) 2. Die Operation ist eine totale Ordnung auf Q. D.h.: für je zwei verschiedene rationale Zahlen r, s gilt entweder r < s oder s < r.

33 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 33 Addition einer rationalen Zahl Satz. Wenn man zu beiden Seiten einer Ungleichung dieselbe rationale Zahl addiert, bleibt die Ungleichung erhalten. Das bedeutet: Seien und rationale Zahlen mit <, und sei eine beliebige rationale Zahl. Dann gilt + < +. Beispiel. Aus 5/6 < 9/10 folgt durch Addition von –1/4 die Ungleichung 7/12 < 13/ Satz. Wenn man zu beiden Seiten einer Ungleichung dieselbe rationale Zahl addiert, bleibt die Ungleichung erhalten. Das bedeutet: Seien und rationale Zahlen mit <, und sei eine beliebige rationale Zahl. Dann gilt + < +. Beispiel. Aus 5/6 < 9/10 folgt durch Addition von –1/4 die Ungleichung 7/12 < 13/20.

34 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 34 Beweisvorbereitung Beweis. Wir können annehmen, dass die Nenner positiv sind. Nach Voraussetzung gilt: p 1 q 2 < p 2 q 1. Wir bringen die Brüche der Behauptung auf einen Hauptnenner: < Nach Definition lautet die Behauptung jetzt: (p 1 q + p q 1 ) q 2 q < (p 2 q + p q 2 ) q 1 q. Beweis. Wir können annehmen, dass die Nenner positiv sind. Nach Voraussetzung gilt: p 1 q 2 < p 2 q 1. Wir bringen die Brüche der Behauptung auf einen Hauptnenner: < Nach Definition lautet die Behauptung jetzt: (p 1 q + p q 1 ) q 2 q < (p 2 q + p q 2 ) q 1 q.

35 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 35 Beweisdurchführung Wir formulieren dies schrittweise äquivalent um (p 1 q + p q 1 ) q 2 q < (p 2 q + p q 2 ) q 1 q p 1 q q 2 q + p q 1 q 2 q < p 2 q q 1 q + p q 2 q 1 q p 1 q q 2 q < p 2 q q 1 q (entsprechendes Gesetz in Z) p 1 q 2 0). Dies ist die Voraussetzung des Satzes. Also ist dies eine richtige Aussage. Somit gilt auch die Behauptung. Wir formulieren dies schrittweise äquivalent um (p 1 q + p q 1 ) q 2 q < (p 2 q + p q 2 ) q 1 q p 1 q q 2 q + p q 1 q 2 q < p 2 q q 1 q + p q 2 q 1 q p 1 q q 2 q < p 2 q q 1 q (entsprechendes Gesetz in Z) p 1 q 2 0). Dies ist die Voraussetzung des Satzes. Also ist dies eine richtige Aussage. Somit gilt auch die Behauptung.

36 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 36 Multiplikation mit einer positiven rationalen Zahl Satz. Wenn man eine Ungleichung mit einer beliebigen positiven rationalen Zahl multipliziert, bleibt die Ungleichung erhalten. Das bedeutet: Seien und rationale Zahlen mit <, und sei eine positive rationale Zahl. Dann gilt <. Beispiel: Aus 1/2 < 5/9 folgt durch Multiplikation mit 3/2 die Ungleichung 3/4 < 5/ Satz. Wenn man eine Ungleichung mit einer beliebigen positiven rationalen Zahl multipliziert, bleibt die Ungleichung erhalten. Das bedeutet: Seien und rationale Zahlen mit <, und sei eine positive rationale Zahl. Dann gilt <. Beispiel: Aus 1/2 < 5/9 folgt durch Multiplikation mit 3/2 die Ungleichung 3/4 < 5/6.

37 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 37 Beweis Beweis. Wir können annehmen, dass die Nenner positiv sind. Dann ist auch p positiv. Nach Voraussetzung gilt: p 1 q 2 < p 2 q 1. Wir wollen zeigen: <, das heißt p 1 p q 2 q < p 2 p q 1 q Da pq eine positive ganze Zahl ist, ist dies gleichbedeutend mit p 1 q 2 < p 2 q 1. Dies gilt aber nach Voraussetzung. Also gilt auch die Behauptung. Beweis. Wir können annehmen, dass die Nenner positiv sind. Dann ist auch p positiv. Nach Voraussetzung gilt: p 1 q 2 < p 2 q 1. Wir wollen zeigen: <, das heißt p 1 p q 2 q < p 2 p q 1 q Da pq eine positive ganze Zahl ist, ist dies gleichbedeutend mit p 1 q 2 < p 2 q 1. Dies gilt aber nach Voraussetzung. Also gilt auch die Behauptung.

38 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 38 Multiplikation mit einer negativen rationalen Zahl Satz. Wenn man eine Ungleichung mit einer beliebigen negativen rationalen Zahl multipliziert, dreht sich die Ungleichung um. Das bedeutet: Seien und rationale Zahlen mit <, und sei eine negative rationale Zahl. Dann gilt >. Beispiel: Aus 1/2 –15/ Satz. Wenn man eine Ungleichung mit einer beliebigen negativen rationalen Zahl multipliziert, dreht sich die Ungleichung um. Das bedeutet: Seien und rationale Zahlen mit <, und sei eine negative rationale Zahl. Dann gilt >. Beispiel: Aus 1/2 –15/36.

39 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 39 Beweis Beweis. Wir können annehmen, dass die Nenner positiv sind. Dann ist p negativ. Nach Voraussetzung gilt: p 1 q 2 < p 2 q 1. Wir wollen zeigen: >, das heißt p 1 p q 2 q > p 2 p q 1 q Da pq eine negative ganze Zahl ist, ist dies gleichbedeutend mit p 1 q 2 < p 2 q 1. Dies gilt aber nach Voraussetzung. Also gilt auch die Behauptung. Beweis. Wir können annehmen, dass die Nenner positiv sind. Dann ist p negativ. Nach Voraussetzung gilt: p 1 q 2 < p 2 q 1. Wir wollen zeigen: >, das heißt p 1 p q 2 q > p 2 p q 1 q Da pq eine negative ganze Zahl ist, ist dies gleichbedeutend mit p 1 q 2 < p 2 q 1. Dies gilt aber nach Voraussetzung. Also gilt auch die Behauptung.

40 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite Die Entdeckung der Irrationalität Die Entdeckung der Irrationalität bei den Pythagoräern (ca. 500 v. Chr.) war ein Schock. Denn die Pythagoräer waren davon überzeugt, dass alles Zahl ist, und das heißt rationale, und damit im wesentlichen ganze Zahl ist. Die Pythagoräer entdeckten, dass es Zahlen gibt, -- die unzweifelhaft existieren, da sie geometrische Größen sind, -- von denen man aber beweisen kann, dass man sie nicht durch einen Bruch darstellen kann. Definition. Eine Zahl heißt irrational, wenn sie keine rationale Zahl ist. Zwei Zahlen heißen inkommensurabel, wenn ihr Verhältnis keine rationale Zahl ist. Die Entdeckung der Irrationalität bei den Pythagoräern (ca. 500 v. Chr.) war ein Schock. Denn die Pythagoräer waren davon überzeugt, dass alles Zahl ist, und das heißt rationale, und damit im wesentlichen ganze Zahl ist. Die Pythagoräer entdeckten, dass es Zahlen gibt, -- die unzweifelhaft existieren, da sie geometrische Größen sind, -- von denen man aber beweisen kann, dass man sie nicht durch einen Bruch darstellen kann. Definition. Eine Zahl heißt irrational, wenn sie keine rationale Zahl ist. Zwei Zahlen heißen inkommensurabel, wenn ihr Verhältnis keine rationale Zahl ist.

41 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 41 Das reguläre Fünfeck Die Pythagoräer entdeckten die Irrationalität am regulären Fünfeck. Es gilt das folgende sensationelle Ergebnis: Satz. Das Verhältnis von Länge einer Diagonale zur Seitenlänge eines regulären Fünfecks ist keine rationale Zahl. Mit anderen Worten: Die Seitenlänge und die Diagonalenlänge eines regulären Fünfecks sind inkommensurabel. Bemerkung: Dieses Verhältnis ist der goldene Schnitt. Die Pythagoräer entdeckten die Irrationalität am regulären Fünfeck. Es gilt das folgende sensationelle Ergebnis: Satz. Das Verhältnis von Länge einer Diagonale zur Seitenlänge eines regulären Fünfecks ist keine rationale Zahl. Mit anderen Worten: Die Seitenlänge und die Diagonalenlänge eines regulären Fünfecks sind inkommensurabel. Bemerkung: Dieses Verhältnis ist der goldene Schnitt.

42 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 42 Beweisvorbereitung Beweis. Wir stellen uns ein großes reguläres Fünfeck vor. Seien D und F die Längen der Diagonalen und der Fünfecksseite. Wenn man die Diagonalen einzeichnet, ergibt sich ein kleines reguläres Fünfeck mit Seitenlänge f und Diagonalenlänge d. Da das große und das kleine reguläre Fünfeck ähnlich sind, sind entsprechende Längenverhältnisse gleich. Daher gilt D/F = d/f. Angenommen, das Verhältnis D/F wäre rational. Dann ist dieses Verhältnis ein Bruch (mit positivem Zähler und Nenner). Sei p/q (mit p > q) dieses Verhältnis als Bruch mit positivem Zähler, so dass dieser kleinstmöglich ist. Das heißt: Es gibt keine Darstel- lung von D/F als Bruch p/q mit positivem p', so dass p' < p ist. Beweis. Wir stellen uns ein großes reguläres Fünfeck vor. Seien D und F die Längen der Diagonalen und der Fünfecksseite. Wenn man die Diagonalen einzeichnet, ergibt sich ein kleines reguläres Fünfeck mit Seitenlänge f und Diagonalenlänge d. Da das große und das kleine reguläre Fünfeck ähnlich sind, sind entsprechende Längenverhältnisse gleich. Daher gilt D/F = d/f. Angenommen, das Verhältnis D/F wäre rational. Dann ist dieses Verhältnis ein Bruch (mit positivem Zähler und Nenner). Sei p/q (mit p > q) dieses Verhältnis als Bruch mit positivem Zähler, so dass dieser kleinstmöglich ist. Das heißt: Es gibt keine Darstel- lung von D/F als Bruch p/q mit positivem p', so dass p' < p ist.

43 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 43 Der Beweis Wir zeigen, dass es doch ein solches p' gibt. Aus der Zeichnung erkennen wir: D = 2d+f und F = d+f. Sei g = ggT(2d+f, d+f). Damit folgt aus (2d+f)/(d+f) = D/F = p/q, dass 2d+f = pg und d+f = qg ist. Es folgt d = (2d+f) – (d+f) = pg – qg = (p–q)g und f = qg – d = (2q–p)g. Daraus folgt d/f = (p–q)g/(2q–p)g = (p–q)/(2q–p). Dies ist eine Darstellung von d/f (= D/F) als Bruch mit positivem Zähler, der kleiner als p ist: Widerspruch. Also ist D/F tatsächlich keine rationale Zahl. Wir zeigen, dass es doch ein solches p' gibt. Aus der Zeichnung erkennen wir: D = 2d+f und F = d+f. Sei g = ggT(2d+f, d+f). Damit folgt aus (2d+f)/(d+f) = D/F = p/q, dass 2d+f = pg und d+f = qg ist. Es folgt d = (2d+f) – (d+f) = pg – qg = (p–q)g und f = qg – d = (2q–p)g. Daraus folgt d/f = (p–q)g/(2q–p)g = (p–q)/(2q–p). Dies ist eine Darstellung von d/f (= D/F) als Bruch mit positivem Zähler, der kleiner als p ist: Widerspruch. Also ist D/F tatsächlich keine rationale Zahl.

44 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite Derberühmteste Irrationalitätsbeweis ist der für Satz. Die Zahl 2 ist keine rationale Zahl. Beweis. Angenommen, 2 wäre rational. Dann gäbe es ganze Zahlen p und q mit q 0, so dass gilt 2 = p/q. Wir können p und q so wählen, dass sie teilerfremd sind, also ggT 1 haben. Insbesondere sind nicht beide Zahlen p und q gerade. Wir quadrieren obige Gleichung und multiplizieren dann mit q 2 : 2 = p 2 /q 2, also 2 q 2 = p 2. Dies ist die Schlüsselgleichung. Diese müssen wir betrachten! Derberühmteste Irrationalitätsbeweis ist der für Satz. Die Zahl 2 ist keine rationale Zahl. Beweis. Angenommen, 2 wäre rational. Dann gäbe es ganze Zahlen p und q mit q 0, so dass gilt 2 = p/q. Wir können p und q so wählen, dass sie teilerfremd sind, also ggT 1 haben. Insbesondere sind nicht beide Zahlen p und q gerade. Wir quadrieren obige Gleichung und multiplizieren dann mit q 2 : 2 = p 2 /q 2, also 2 q 2 = p 2. Dies ist die Schlüsselgleichung. Diese müssen wir betrachten!

45 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 45 Der Beweis Die linke Seite ist ein Vielfaches von 2, also eine gerade Zahl. Also muss auch die rechte Seite eine gerade Zahl sein. Daher ist p 2 gerade, also muss auch p gerade sein (Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung). Dann ist p 2 sogar durch 4 teilbar. Da die rechte Seite durch 4 teilbar ist, muss auch die linke Seite (also 2 q 2 ) durch 4 teilbar sein. Also ist q 2 durch 2 teilbar, und daraus folgt, dass auch q durch 2 teilbar ist. Somit sind p und q beide durch 2 teilbar: Widerspruch zur Wahl dieser Zahlen! Also ist 2 tatsächlich eine irrationale Zahl. Die linke Seite ist ein Vielfaches von 2, also eine gerade Zahl. Also muss auch die rechte Seite eine gerade Zahl sein. Daher ist p 2 gerade, also muss auch p gerade sein (Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung). Dann ist p 2 sogar durch 4 teilbar. Da die rechte Seite durch 4 teilbar ist, muss auch die linke Seite (also 2 q 2 ) durch 4 teilbar sein. Also ist q 2 durch 2 teilbar, und daraus folgt, dass auch q durch 2 teilbar ist. Somit sind p und q beide durch 2 teilbar: Widerspruch zur Wahl dieser Zahlen! Also ist 2 tatsächlich eine irrationale Zahl.

46 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite Wie viele rationale Zahlen gibt es? Wir wissen: Z und N sind gleichmächtig, d.h. Z ist abzählbar. Frage: Ist Q abzählbar? Klar: N ist eine echte Teilmenge von Q. Also ist die Menge der rationalen Zahlen viel größer als die Menge der natürlichen Zahlen. Wir werden beweisen, dass Q und N gleichmächtig sind, also gleich viele Elemente enthalten. Achtung! Bei unendlichen Mengen sind Dinge möglich, die wir zunächst nicht für möglich halten Satz. Die Menge Q der rationalen Zahlen ist abzählbar. Wir wissen: Z und N sind gleichmächtig, d.h. Z ist abzählbar. Frage: Ist Q abzählbar? Klar: N ist eine echte Teilmenge von Q. Also ist die Menge der rationalen Zahlen viel größer als die Menge der natürlichen Zahlen. Wir werden beweisen, dass Q und N gleichmächtig sind, also gleich viele Elemente enthalten. Achtung! Bei unendlichen Mengen sind Dinge möglich, die wir zunächst nicht für möglich halten Satz. Die Menge Q der rationalen Zahlen ist abzählbar.

47 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 47 Beweisstrategie Beweis. Z. z.: Man kann die rationalen Zahlen durchnummerieren: rationale Zahl Nr. 1, rationale Zahl Nr. 2, rationale Zahl Nr. 3,... Dabei muss jede rationale Zahl genau einmal vorkommen. Der Beweis hat zwei Teile. 1. Teil (trickreich): Man kann die positiven rationalen Zahlen durchnummerieren. 2. Teil (einfach): Man kann die Menge aller rationalen Zahlen durchnummerieren. Beweis. Z. z.: Man kann die rationalen Zahlen durchnummerieren: rationale Zahl Nr. 1, rationale Zahl Nr. 2, rationale Zahl Nr. 3,... Dabei muss jede rationale Zahl genau einmal vorkommen. Der Beweis hat zwei Teile. 1. Teil (trickreich): Man kann die positiven rationalen Zahlen durchnummerieren. 2. Teil (einfach): Man kann die Menge aller rationalen Zahlen durchnummerieren.

48 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 48 Beweis: 1. Teil Die positiven rationalen Zahlen werden so angeordnet, dass in jeder Zeile die Zahlen stehen, bei denen die Summe aus Zähler und Nenner konstant ist. Jede rationale Zahl wird nur einmal erfasst. 1/1(Zähler + Nenner = 2) 1/2 2/1(Zähler + Nenner = 3) 1/3 3/1 (Zähler + Nenner = 4) 1/4 2/3 3/2 4/1(Zähler + Nenner = 5) 1/55/1(Zähler + Nenner = 6) 1/62/5 3/4 4/3 5/2 6/1(Zähler + Nenner = 7) 1/73/5 5/3 7/1(Zähler + Nenner = 8)...(Zähler + Nenner =...) Die positiven rationalen Zahlen werden so angeordnet, dass in jeder Zeile die Zahlen stehen, bei denen die Summe aus Zähler und Nenner konstant ist. Jede rationale Zahl wird nur einmal erfasst. 1/1(Zähler + Nenner = 2) 1/2 2/1(Zähler + Nenner = 3) 1/3 3/1 (Zähler + Nenner = 4) 1/4 2/3 3/2 4/1(Zähler + Nenner = 5) 1/55/1(Zähler + Nenner = 6) 1/62/5 3/4 4/3 5/2 6/1(Zähler + Nenner = 7) 1/73/5 5/3 7/1(Zähler + Nenner = 8)...(Zähler + Nenner =...)

49 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 49 Beweis: 1. Teil, Abschluss Klar: Jede positive rationale Zahl kommt in irgend einer Zeile vor. Denn die Summe aus Zähler und Nenner ist irgendeine natürliche Zahl, und in der entsprechenden Zeile kommt diese Zahl vor. Damit ergibt sich eine Nummerierung der rationalen Zahlen: Zuerst kommen die Zahlen in der ersten Zeile, dann die in der zweiten Zeile, dann die in der dritten usw. Klar: Jede positive rationale Zahl kommt in irgend einer Zeile vor. Denn die Summe aus Zähler und Nenner ist irgendeine natürliche Zahl, und in der entsprechenden Zeile kommt diese Zahl vor. Damit ergibt sich eine Nummerierung der rationalen Zahlen: Zuerst kommen die Zahlen in der ersten Zeile, dann die in der zweiten Zeile, dann die in der dritten usw.

50 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 50 Beweis: 2. Teil Zu zeigen: Die Menge aller rationalen Zahlen ist abzählbar. Dies folgt nun einfach: Nach dem ersten Teil gibt es eine Nummerierung r 1, r 2, r 3,... der positiven reellen Zahlen. Daraus erhalten wir auf folgende Weise eine Nummerierung aller rationalen Zahlen: 0, r 1, –r 1, r 2, –r 2, r 3, –r 3,... In dieser Folge kommt jede rationale Zahl genau einmal vor: Die Null zuerst, jede positive rationale Zahl als r i und jede negative rationale Zahl als –r i. Also ist die Menge der rationalen Zahlen abzählbar! Zu zeigen: Die Menge aller rationalen Zahlen ist abzählbar. Dies folgt nun einfach: Nach dem ersten Teil gibt es eine Nummerierung r 1, r 2, r 3,... der positiven reellen Zahlen. Daraus erhalten wir auf folgende Weise eine Nummerierung aller rationalen Zahlen: 0, r 1, –r 1, r 2, –r 2, r 3, –r 3,... In dieser Folge kommt jede rationale Zahl genau einmal vor: Die Null zuerst, jede positive rationale Zahl als r i und jede negative rationale Zahl als –r i. Also ist die Menge der rationalen Zahlen abzählbar!

51 Kapitel 2. Die rationalen und die irrationalen Zahlen © Beutelspacher April 2005 Seite 51 Wie viele irrationale Zahlen gibt es? Wir werden später zeigen, dass die Menge R der reellen Zahlen überabzählbar ist. Daraus folgt dann, dass auch die Menge der irrationalen Zahlen (d.h. die reellen Zahlen, die keine rationalen Zahlen sind) auch überabzählbar ist. Also ist fast jede reelle Zahl eine irrationale Zahl! Wir werden später zeigen, dass die Menge R der reellen Zahlen überabzählbar ist. Daraus folgt dann, dass auch die Menge der irrationalen Zahlen (d.h. die reellen Zahlen, die keine rationalen Zahlen sind) auch überabzählbar ist. Also ist fast jede reelle Zahl eine irrationale Zahl!


Herunterladen ppt "Kapitel 2 Die rationalen und die irrationalen Zahlen."

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen