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Kapitel 5 Stetigkeit. Kapitel 5: Stetigkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 2 Inhalt 5.1 Funktionen 5.2 Stetigkeit: Die Definition 5.3 Stetigkeit: Die.

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1 Kapitel 5 Stetigkeit

2 Kapitel 5: Stetigkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 2 Inhalt 5.1 Funktionen 5.2 Stetigkeit: Die Definition 5.3 Stetigkeit: Die Eigenschaften 5.4 Die Exponentialfunktion 5.1 Funktionen 5.2 Stetigkeit: Die Definition 5.3 Stetigkeit: Die Eigenschaften 5.4 Die Exponentialfunktion

3 Kapitel 5: Stetigkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite Funktionen Definition. Seien a und b reelle Zahlen mit a < b. Wir nennen die Menge aller reellen Zahlen x mit a x b das abgeschlossene Intervall mit den Endpunkten a und b und bezeichnen dieses mit [a, b]. Formal ausgedrückt: [a, b] = {x R a x b}. Das offene Intervall mit den Endpunkten a und b ist die Menge (a, b) := {x R a < x < b}. Entsprechend definiert man die halboffenen Intervalle (a, b] und [a, b). Definition. Seien a und b reelle Zahlen mit a < b. Wir nennen die Menge aller reellen Zahlen x mit a x b das abgeschlossene Intervall mit den Endpunkten a und b und bezeichnen dieses mit [a, b]. Formal ausgedrückt: [a, b] = {x R a x b}. Das offene Intervall mit den Endpunkten a und b ist die Menge (a, b) := {x R a < x < b}. Entsprechend definiert man die halboffenen Intervalle (a, b] und [a, b).

4 Kapitel 5: Stetigkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 4 Unendlich große Intervalle Ferner definiert man: [a, ) := {x R a x}, (a, ) := {x R a < x}, (–, b] := {x R x b}, (–, b) := {x R x < b}. Schließlich bezeichnet man auch R (= (–, ) ) als Intervall. Beispiele. Abgesehen von R wird [0, 1] das Intervall sein, das wir am häufigsten betrachten. (0, ) sind die positiven reellen Zahlen und [0, ) sind die nichtnegativen reellen Zahlen. Ferner definiert man: [a, ) := {x R a x}, (a, ) := {x R a < x}, (–, b] := {x R x b}, (–, b) := {x R x < b}. Schließlich bezeichnet man auch R (= (–, ) ) als Intervall. Beispiele. Abgesehen von R wird [0, 1] das Intervall sein, das wir am häufigsten betrachten. (0, ) sind die positiven reellen Zahlen und [0, ) sind die nichtnegativen reellen Zahlen.

5 Kapitel 5: Stetigkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 5 Funktionen Definition. Eine Funktion ist eine Abbildung von einem Intervall nach R (Bildbereich ist R). Meist werden wir sogar nur Funktionen von R nach R betrachten. Wenn f eine Funktion ist, schreiben wir f(x) für das Bild der Zahl x. Der Graph einer Funktion f ist die Menge aller Punkte (x, f(x)) mit x R. Beispiele. f(x) = a, f(x) = x, f(x) = x 2, f(x) = 1/x 3, f(x) = x. Bemerkung: Jede senkrechte Gerade schneidet den Graph einer Funktion in höchstens einem Punkt. Jede senkrechte Gerade durch einen Punkt des Definitionsbereichs schneidet den Graph genau einmal. Definition. Eine Funktion ist eine Abbildung von einem Intervall nach R (Bildbereich ist R). Meist werden wir sogar nur Funktionen von R nach R betrachten. Wenn f eine Funktion ist, schreiben wir f(x) für das Bild der Zahl x. Der Graph einer Funktion f ist die Menge aller Punkte (x, f(x)) mit x R. Beispiele. f(x) = a, f(x) = x, f(x) = x 2, f(x) = 1/x 3, f(x) = x. Bemerkung: Jede senkrechte Gerade schneidet den Graph einer Funktion in höchstens einem Punkt. Jede senkrechte Gerade durch einen Punkt des Definitionsbereichs schneidet den Graph genau einmal.

6 Kapitel 5: Stetigkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 6 Wie kann eine Funktion gegeben sein? Möglichkeit 1: Durch eine Formel. Beispiele: f(x) = x 2. Allgemein f(x) = a n x n + a n–1 x n– a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ; dies nennt man ein Polynom (n-ten Grades). f(x) = (x 4 +7x 2 +20x+8)/(x 2 +1). Achtung! Bei gebrochen rationalen Funktionen muss der Nenner immer verschieden von Null sein! Das ist die häufigste Art, die uns begegnen wird, aber damit kann man nur einen kleinen Prozentsatz aller Funktionen beschreiben! Möglichkeit 1: Durch eine Formel. Beispiele: f(x) = x 2. Allgemein f(x) = a n x n + a n–1 x n– a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ; dies nennt man ein Polynom (n-ten Grades). f(x) = (x 4 +7x 2 +20x+8)/(x 2 +1). Achtung! Bei gebrochen rationalen Funktionen muss der Nenner immer verschieden von Null sein! Das ist die häufigste Art, die uns begegnen wird, aber damit kann man nur einen kleinen Prozentsatz aller Funktionen beschreiben!

7 Kapitel 5: Stetigkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 7 Wier kann eine Funktion gegeben sein? II Möglichkeit 1: Durch mehrere Formeln Beispiele: f(x) = x 2 – 3x + 7, falls x 0. oder: f(x) = 1, falls x rational f(x) = 0, falls x irrational. Möglichkeit 1: Durch mehrere Formeln Beispiele: f(x) = x 2 – 3x + 7, falls x 0. oder: f(x) = 1, falls x rational f(x) = 0, falls x irrational.

8 Kapitel 5: Stetigkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 8 Wie kann eine Funktion gegeben sein? III Möglichkeit 2: Durch eine Wertetabelle. Das sind endlich viele Werte (x, f(x)). Man kann damit nur die Funktionen beschreiben, die durch eine Wertetabelle eindeutig festgelegt sind (z.B. Polynome). Möglichkeit 3: Durch ein Orakel. Sie fragen x, das Orakel antwortet mit f(x). Gegenüber einer Wertetabelle hat dies den Vorteil, dass Sie die x vorgeben können, und dass Sie so viele f(x) erfragen können, wie Sie wollen. Möglichkeit 2: Durch eine Wertetabelle. Das sind endlich viele Werte (x, f(x)). Man kann damit nur die Funktionen beschreiben, die durch eine Wertetabelle eindeutig festgelegt sind (z.B. Polynome). Möglichkeit 3: Durch ein Orakel. Sie fragen x, das Orakel antwortet mit f(x). Gegenüber einer Wertetabelle hat dies den Vorteil, dass Sie die x vorgeben können, und dass Sie so viele f(x) erfragen können, wie Sie wollen.

9 Kapitel 5: Stetigkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite Stetigkeit: Die Definition Stetig bedeutet unterbrechungslos (englisch: continuous). Unterbrechungslose Vorgänge sind das Normale. (Das lateinische Sprichwort dazu heißt: Natura non facit saltus, die Natur macht keine Sprünge). Uns prägen sich aber hauptsächlich Ereignisse ein, die durch eine Unstetigkeit gekennzeichnet sind. Besonders eindrücklich sind Ereignisse, nach denen es ganz anders ist als zuvor. (Es wird nie mehr so sein wie vorher.) Beispiele: Durchbrechen eines Stockes, Zerbrechen einer Vase, Eintritt in die Schule, Geburt eines Kindes, Fall der Berliner Mauer, Tod,... Stetig bedeutet unterbrechungslos (englisch: continuous). Unterbrechungslose Vorgänge sind das Normale. (Das lateinische Sprichwort dazu heißt: Natura non facit saltus, die Natur macht keine Sprünge). Uns prägen sich aber hauptsächlich Ereignisse ein, die durch eine Unstetigkeit gekennzeichnet sind. Besonders eindrücklich sind Ereignisse, nach denen es ganz anders ist als zuvor. (Es wird nie mehr so sein wie vorher.) Beispiele: Durchbrechen eines Stockes, Zerbrechen einer Vase, Eintritt in die Schule, Geburt eines Kindes, Fall der Berliner Mauer, Tod,...

10 Kapitel 5: Stetigkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 10 Beschreibungen von Stetigkeit Sei f eine Funktion. Wir werden und der Definition der Stetigkeit schrittweise nähern. 1. Beschreibung: Eine Funktion ist stetig, wenn man sie ohne abzusetzen zeichnen kann. 2. Beschreibung: Eine Funktion ist stetig, wenn sie keine Sprünge macht. Sei f eine Funktion. Wir werden und der Definition der Stetigkeit schrittweise nähern. 1. Beschreibung: Eine Funktion ist stetig, wenn man sie ohne abzusetzen zeichnen kann. 2. Beschreibung: Eine Funktion ist stetig, wenn sie keine Sprünge macht.

11 Kapitel 5: Stetigkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 11 Motivation der Definition 3. Beschreibung: Wir definieren (zunächst) nur, was es heißt, dass eine Funktion f in einem Punkt stetig ist. Sei also x 0 eine reelle Zahl aus dem Definitionsbereich von f. Wir lassen x gegen x 0 laufen und betrachten die zugehörigen Funktionswerte f(x). Dazu betrachten wir eine beliebige Folge (x n ) reeller Zahlen, die gegen x 0 konvergiert. (Es gibt viele solche Folgen!) Dazu betrachten wir jetzt die zugehörigen Funktionswerte f(x n ), also f(x 1 ), f(x 2 ), f(x 3 ),... Das ist auch eine Folge reeller Zahlen. Wenn diese gegen f(x 0 ) konvergiert, dann ist f stetig in x Beschreibung: Wir definieren (zunächst) nur, was es heißt, dass eine Funktion f in einem Punkt stetig ist. Sei also x 0 eine reelle Zahl aus dem Definitionsbereich von f. Wir lassen x gegen x 0 laufen und betrachten die zugehörigen Funktionswerte f(x). Dazu betrachten wir eine beliebige Folge (x n ) reeller Zahlen, die gegen x 0 konvergiert. (Es gibt viele solche Folgen!) Dazu betrachten wir jetzt die zugehörigen Funktionswerte f(x n ), also f(x 1 ), f(x 2 ), f(x 3 ),... Das ist auch eine Folge reeller Zahlen. Wenn diese gegen f(x 0 ) konvergiert, dann ist f stetig in x 0.

12 Kapitel 5: Stetigkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 12 Die Definition Definition. Sei f eine Funktion, und sei x 0 ein Element des Definitionsbereichs. Wir sagen, dass die Funktion f stetig im Punkt x 0 ist, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind: (a) Für jede Folge (x n ), die gegen x 0 konvergiert (wobei die x n aus dem Definitionsbereich von f sein sollen) konvergiert auch die Folge (f(x n )). (b) Alle Grenzwerte der Folgen (f(x n )), die in (a) auftreten sind gleich f(x 0 ). Die Funktion f heißt stetig, wenn sie in jedem Punkt ihres Definitionsbereichs stetig ist. Definition. Sei f eine Funktion, und sei x 0 ein Element des Definitionsbereichs. Wir sagen, dass die Funktion f stetig im Punkt x 0 ist, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind: (a) Für jede Folge (x n ), die gegen x 0 konvergiert (wobei die x n aus dem Definitionsbereich von f sein sollen) konvergiert auch die Folge (f(x n )). (b) Alle Grenzwerte der Folgen (f(x n )), die in (a) auftreten sind gleich f(x 0 ). Die Funktion f heißt stetig, wenn sie in jedem Punkt ihres Definitionsbereichs stetig ist.

13 Kapitel 5: Stetigkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 13 Was heißt nicht stetig? Um nachzuweisen, dass f nicht stetig im Punkt x 0 ist, hat man zwei Möglichkeiten: Die Funktion f ist nicht stetig im Punkt x 0, wenn mindestens eine der beiden folgenden Bedingungen gilt: (a) es gibt mindestens eine Folge (x n ), die gegen x 0 konvergiert (wobei die x n aus dem Definitionsbereich von f sein sollen), für die die Folge (f(x n )) der Funktionswerte nicht konvergiert. (b) Es gibt eine Folge (x n ), die gegen x 0 konvergiert, so dass die zugehörige Folge (f(x n )) zwar konvergiert aber einen Grenzwert verschieden von f(x 0 ) hat. Um nachzuweisen, dass f nicht stetig im Punkt x 0 ist, hat man zwei Möglichkeiten: Die Funktion f ist nicht stetig im Punkt x 0, wenn mindestens eine der beiden folgenden Bedingungen gilt: (a) es gibt mindestens eine Folge (x n ), die gegen x 0 konvergiert (wobei die x n aus dem Definitionsbereich von f sein sollen), für die die Folge (f(x n )) der Funktionswerte nicht konvergiert. (b) Es gibt eine Folge (x n ), die gegen x 0 konvergiert, so dass die zugehörige Folge (f(x n )) zwar konvergiert aber einen Grenzwert verschieden von f(x 0 ) hat.

14 Kapitel 5: Stetigkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 14 Beispiele stetiger Funktionen (a) Konstante Funktion f(x) = a. (b) f(x) = x. (c) f(x) = x 2 ist stetig im Punkt x 0 = 0. Denn: Sei (x n ) eine Folge mit Grenzwert 0. Dann gibt es für alle > 0 eine Nummer N, so dass x n = x n –0 < ist für alle n N. Dann gilt auch f(x n ) – f(x 0 ) = x n 2 –0 = x n 2 < 2 < für alle n N. Also konvergiert auch die Folge der Funktionswerte gegen den Grenzwert 0 = f(x 0 ). Somit ist f stetig im Punkt x 0 = 0. (a) Konstante Funktion f(x) = a. (b) f(x) = x. (c) f(x) = x 2 ist stetig im Punkt x 0 = 0. Denn: Sei (x n ) eine Folge mit Grenzwert 0. Dann gibt es für alle > 0 eine Nummer N, so dass x n = x n –0 < ist für alle n N. Dann gilt auch f(x n ) – f(x 0 ) = x n 2 –0 = x n 2 < 2 < für alle n N. Also konvergiert auch die Folge der Funktionswerte gegen den Grenzwert 0 = f(x 0 ). Somit ist f stetig im Punkt x 0 = 0.

15 Kapitel 5: Stetigkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 15 Beispiele (d) Die Funktion, die definiert ist durch f(x) = 0 für x < 0 und f(x) = 1 für x 0 ist nicht stetig im Punkt x 0 = 0. (d) Die Funktion f, die definiert ist durch f(x) = x, ist auch im Punkt x 0 = 0 stetig. (d) Die Funktion, die definiert ist durch f(x) = 0 für x < 0 und f(x) = 1 für x 0 ist nicht stetig im Punkt x 0 = 0. (d) Die Funktion f, die definiert ist durch f(x) = x, ist auch im Punkt x 0 = 0 stetig.

16 Kapitel 5: Stetigkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite Stetigkeit: Die Eigenschaften Ziel: Aus einer oder zwei stetigen Funktionen entsteht eine neue stetige Funktion. Definition. Die Summe zweier Funktionen f und g ist definiert als. (f+g)(x) := f(x) + g(x) für alle x. Beispiel: Wenn f und g definiert sind durch f(x) = x 3 und g(x) = x 2 + 2, so ist f+g die Funktion, die jedes x auf x 3 +x 2 +2 abbildet Satz. Seien f und g Funktionen. Wenn f und g stetig sind, dann ist auch f+g eine stetige Funktion. Ziel: Aus einer oder zwei stetigen Funktionen entsteht eine neue stetige Funktion. Definition. Die Summe zweier Funktionen f und g ist definiert als. (f+g)(x) := f(x) + g(x) für alle x. Beispiel: Wenn f und g definiert sind durch f(x) = x 3 und g(x) = x 2 + 2, so ist f+g die Funktion, die jedes x auf x 3 +x 2 +2 abbildet Satz. Seien f und g Funktionen. Wenn f und g stetig sind, dann ist auch f+g eine stetige Funktion.

17 Kapitel 5: Stetigkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 17 Beweis Beweis. Wir müssen zeigen, dass f+g in jedem beliebigen Punkt x 0 stetig ist. Dazu betrachten wir eine beliebige Folge (x n ), die gegen x 0 konvergiert. Wir müssen zeigen, dass die Folge mit den Folgengliedern (f+g)(x n ) gegen (f+g)(x 0 ) konvergiert. Dazu sei > 0 beliebig. Trick: Setze * := /2. Da f stetig in x 0 ist, gibt es eine Nummer N, so dass f(x 0 )–f(x n ) < * ist für alle n N. Da g stetig in x 0 ist, gibt es eine Nummer M, so dass g(x 0 )–g(x n ) < * ist für alle n M. Beweis. Wir müssen zeigen, dass f+g in jedem beliebigen Punkt x 0 stetig ist. Dazu betrachten wir eine beliebige Folge (x n ), die gegen x 0 konvergiert. Wir müssen zeigen, dass die Folge mit den Folgengliedern (f+g)(x n ) gegen (f+g)(x 0 ) konvergiert. Dazu sei > 0 beliebig. Trick: Setze * := /2. Da f stetig in x 0 ist, gibt es eine Nummer N, so dass f(x 0 )–f(x n ) < * ist für alle n N. Da g stetig in x 0 ist, gibt es eine Nummer M, so dass g(x 0 )–g(x n ) < * ist für alle n M.

18 Kapitel 5: Stetigkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 18 Beweisabschluss Sei N die größere der beiden zahlen N und M. Dann gilt für alle n N: f(x 0 )–f(x n ) < * und g(x 0 )–g(x n ) < * für alle n N. Daraus folgt (f+g)(x 0 )–(f+g)(x n ) = f(x 0 )+g(x 0 ) – f(x n )–g(x n ) = f(x 0 )–f(x n ) + g(x 0 )–g(x n ) < * + * =. Also konvergiert die Folge aus den Gliedern (f+g)(x n ) gegen (f+g)(x 0 ). Somit ist f+g stetig im Punkt x 0. Sei N die größere der beiden zahlen N und M. Dann gilt für alle n N: f(x 0 )–f(x n ) < * und g(x 0 )–g(x n ) < * für alle n N. Daraus folgt (f+g)(x 0 )–(f+g)(x n ) = f(x 0 )+g(x 0 ) – f(x n )–g(x n ) = f(x 0 )–f(x n ) + g(x 0 )–g(x n ) < * + * =. Also konvergiert die Folge aus den Gliedern (f+g)(x n ) gegen (f+g)(x 0 ). Somit ist f+g stetig im Punkt x 0.

19 Kapitel 5: Stetigkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 19 Produkt mit einer reellen Zahl Definition. Sei f eine Funktion, und sei r eine reelle Zahl. Wir definieren das Produkt r f von r mit f durch (r f)(x).= r f(x) für alle x Beispiel: Wenn f definiert ist durch f(x) = x 3, so ist 7f die Funktion, die jedes x auf 7x 3 abbildet Satz. Sei f eine Funktion und r eine reelle Zahl. Wenn f stetig ist, dann ist auch r f eine stetige Funktion. Beweis. ÜA Definition. Sei f eine Funktion, und sei r eine reelle Zahl. Wir definieren das Produkt r f von r mit f durch (r f)(x).= r f(x) für alle x Beispiel: Wenn f definiert ist durch f(x) = x 3, so ist 7f die Funktion, die jedes x auf 7x 3 abbildet Satz. Sei f eine Funktion und r eine reelle Zahl. Wenn f stetig ist, dann ist auch r f eine stetige Funktion. Beweis. ÜA

20 Kapitel 5: Stetigkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 20 Produkt und Quotient von Funktionen Definition. Seien f und g Funktionen. Wir definieren das Produkt f g und den Quotienten f/g der Funktionen f und g durch (f g)(x).= f(x) g(x) und (f/g)(x) = f(x)/g(x) für alle x. Bemerkung: Um den Quotienten f/g definieren zu können, muss g(x) 0 sein für alle x. Beispiel: Wenn f und g definiert sind durch f(x) = x 3 und g(x) = x+2, so ist f g die Funktion, die jedes x auf x 3 (x +2) abbildet Satz. Seien f und g Funktionen. Wenn f und g stetig sind, dann sind auch f g und f/g eine stetige Funktionen. Definition. Seien f und g Funktionen. Wir definieren das Produkt f g und den Quotienten f/g der Funktionen f und g durch (f g)(x).= f(x) g(x) und (f/g)(x) = f(x)/g(x) für alle x. Bemerkung: Um den Quotienten f/g definieren zu können, muss g(x) 0 sein für alle x. Beispiel: Wenn f und g definiert sind durch f(x) = x 3 und g(x) = x+2, so ist f g die Funktion, die jedes x auf x 3 (x +2) abbildet Satz. Seien f und g Funktionen. Wenn f und g stetig sind, dann sind auch f g und f/g eine stetige Funktionen.

21 Kapitel 5: Stetigkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 21 Polynome sind stetig Folgerung. Jedes Polynom f(x) = a n x n +a n–1 x n– a 1 x + a 0 ist eine stetige Funktion. Beweis. Da die Funktion x x stetig ist, ist auch das n-fache Produkt dieser Funktion, also die Funktion x x n stetig. Also ist auch die Funktion x a n x n stetig. Da Summen stetiger Funktionen stetig sind, ist also auch das Polynom f stetig. Bemerkung. Die Polynome sind mit die wichtigsten stetigen Funktionen, aber es gibt auch andere, z.B. die Sinusfunktion, die Funktion x x, die Exponentialfunktion usw Folgerung. Jedes Polynom f(x) = a n x n +a n–1 x n– a 1 x + a 0 ist eine stetige Funktion. Beweis. Da die Funktion x x stetig ist, ist auch das n-fache Produkt dieser Funktion, also die Funktion x x n stetig. Also ist auch die Funktion x a n x n stetig. Da Summen stetiger Funktionen stetig sind, ist also auch das Polynom f stetig. Bemerkung. Die Polynome sind mit die wichtigsten stetigen Funktionen, aber es gibt auch andere, z.B. die Sinusfunktion, die Funktion x x, die Exponentialfunktion usw.

22 Kapitel 5: Stetigkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite Die Exponentialfunktion Definition. Für jedes x R definieren wir die Exponentialreihe Beispiel: exp(0) = Satz. Für jedes x R konvergiert die Exponentialreihe. Beweis. Wir wenden das Quotientenkriterium an. Sei x fest. Wir wählen n 2 x. Dann gilt Definition. Für jedes x R definieren wir die Exponentialreihe Beispiel: exp(0) = Satz. Für jedes x R konvergiert die Exponentialreihe. Beweis. Wir wenden das Quotientenkriterium an. Sei x fest. Wir wählen n 2 x. Dann gilt

23 Kapitel 5: Stetigkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 23 Die Zahl e Definition. Wir definieren e := exp(1). (Eulersche Zahl) Es gilt: e = 2, … e ist eine irrationale (sogar eine transzendente) Zahl. Üblicherweise schreibt man auch exp(x) = e x. Man nennt diese Funktion die Exponentialfunktion. Bemerkung: Die Zahl e kann auch als Grenzwert der Folge (1 + 1/n) n aufgefasst werden. Definition. Wir definieren e := exp(1). (Eulersche Zahl) Es gilt: e = 2, … e ist eine irrationale (sogar eine transzendente) Zahl. Üblicherweise schreibt man auch exp(x) = e x. Man nennt diese Funktion die Exponentialfunktion. Bemerkung: Die Zahl e kann auch als Grenzwert der Folge (1 + 1/n) n aufgefasst werden.

24 Kapitel 5: Stetigkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 24 Eigenschaften der Exponentialfunktion Satz. Für alle x und y gilt exp(x + y) = exp(x) exp(y). Man nennt dies die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion Folgerung. (a) exp(–x) = (exp(x)) –1. (b) exp(x) > 0 für alle x. Beweis. (a) exp(x)exp(–x) = exp(x–x) = exp(0) = 1. Daraus folgt exp(x) 0 und exp(–x) = 1 / exp(x). (b) Für x 0 ist exp(x) = 1 + x + x 2 / 2 + … 1. Für x 0, also exp(–x) > 0, also exp(x) = 1 / exp(–x) > Satz. Für alle x und y gilt exp(x + y) = exp(x) exp(y). Man nennt dies die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion Folgerung. (a) exp(–x) = (exp(x)) –1. (b) exp(x) > 0 für alle x. Beweis. (a) exp(x)exp(–x) = exp(x–x) = exp(0) = 1. Daraus folgt exp(x) 0 und exp(–x) = 1 / exp(x). (b) Für x 0 ist exp(x) = 1 + x + x 2 / 2 + … 1. Für x 0, also exp(–x) > 0, also exp(x) = 1 / exp(–x) > 0.


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