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Gruppenwettbewerb Aufgabe G1 (8 Punkte) Ein Würfel hat 13 Achsen, die von 3 verschiedenen Arten sind:

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Präsentation zum Thema: "Gruppenwettbewerb Aufgabe G1 (8 Punkte) Ein Würfel hat 13 Achsen, die von 3 verschiedenen Arten sind:"—  Präsentation transkript:

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2 Gruppenwettbewerb

3 Aufgabe G1 (8 Punkte)

4 Ein Würfel hat 13 Achsen, die von 3 verschiedenen Arten sind:

5 Jeweils durch die Mitten gegenüberliegender Flächen: 3 Achsen Drehwinkel: 90° 180° 270°

6 Drehwinkel: 120° 240° Jeweils durch gegenüberliegende Ecken (längs der 4 Raumdiagonalen) 4 Achsen

7 Drehwinkel: 180° Jeweils durch die Mitte gegenüberliegender Kanten. 6 Achsen

8 Aufgabe G2 (8 Punkte) Frage: Wie muss der Punkt P gewählt werden, damit der Abstand zwischen den Punkten A und B minimal wird?

9 Gegeben war folgende Konstellation: Aufgabe G2 (8 Punkte) Frage: Wie muss der Punkt P gewählt werden, damit der Abstand zwischen den Punkten A und B minimal wird?

10 Lösung: (1)Gleichung der Tangenten aufstellen (2)Achsenschnittpunkte bestimmen (3)Länge der Strecke AB in Abhängigkeit von Punkt P als Funktion darstellen (4)Minimum der Funktion suchen

11 (1) Gleichung der Tangenten aufstellen: y=mx+b Funktionsgleichung der Parabel: f(x) = 9 - x² Punkt P (a / 9-a²) a)Die Tangente hat im Punkt P(a / 9-a²) die Steigung f(a): f(a) = -2a Tangentengleichung: y = -2ax + b b)Setzt man nun den Punkt P in diese ein, erhält man: -a²+9 = -2aa+b b = a²+9 Insgesamt erhält man für so für die Gleichung der Tangenten: y = -2ax + (a²+9)

12 a)Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0 b)Schnittpunkt mit der x-Achse: y=0 (2) Achsenschnittpunkte

13 (3) Bestimmen der Streckenlänge AB Satz des Pythagoras: Folgende Funktion stellt also den Abstand zwischen A und B in Abhängigkeit von der Lage von P dar:

14 (4) Minimum der Funktion suchen Bestimmen der Ableitung g(a) mit Hilfe der Produktregel:

15 a) Notwendiges Kriterium: g(a)=0 b) Vorzeichenwechselkriterium Damit ist ein Minimum gefunden Also ist P(1/8)

16 Aufgabe G3 (8 Punkte)

17 Glücksspiel (2 faire Würfel) mit Einsatz 2,- Pasch: 5,- Differenz von 5:10,- Differenz von 1: 2,- (= Einsatz) Aufgabe G3 (8 Punkte)

18 Ereignis (Symbol) Pasch O 1 5 sonst günstig 11, 22, 33 44, 55, 66 12, 21, 23, 32, 34, 43, 45, 56, 61, 16 16, 61 Rest Wahrsch.(p) Gewinn in

19 EreignisPasch15sonst günstig 11, 22, 33 44, 55, 66 12, 21, 23, 32, 34, 43, 45, 56, 61, 16 16, 61 Rest Wahrsch.(p) Gewinn in a) Wie groß ist der durchschnittliche Gewinn? Berechnung des durchschnittlichen Gewinns E(X): Das heißt man macht bei diesem Spiel durchschnittlich 6 Cent Verlust!

20 b) Bei welchem Einsatz wäre das Spiel fair, also E(X)=0? Der durchschnittliche Gewinn wird durch folgende Gleichung berechnet: Der Einsatz müsste als ungefähr 1,92 betragen, damit das Spiel fair ist. EreignisPasch15sonst günstig 11, 22, 33 44, 55, 66 12, 21, 23, 32, 34, 43, 45, 56, 61, 16 16, 61 Rest Wahrsch.(p) Gewinn in 5-xx-x10-x0-x

21 Aufgabe G4 (8 Punkte)

22 Definiert wurde folgende Multiplikation: Aufgabe G4 (8 Punkte)

23 Wie muss (x,y) gewählt werden, damit für alle (a,b) mit a²b² gilt, dass:

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25 Einzelwettbewerb

26 Aufgabe E1 (8 Punkte) Wie groß sind Länge und Breite des Rechtecks?

27 1) Berechnung der Länge des Rechtecks: Die Länge des Rechtecks entspricht 4 mal dem Radius

28 2) Berechnung der Breite des Rechtecks: Wir fügen 2 Dreiecke ein:

29 2) Berechnung der Breite des Rechtecks: Wir fügen 2 Dreiecke ein: Diese sind nach SsW kongruent. Also gilt:

30 2) Berechnung der Breite des Rechtecks: Analog folgt:

31 2) Berechnung der Breite des Rechtecks: Mit Hilfe des Satz des Pythagoras gilt: Für die Breite des Rechtecks ergibt sich damit 3r

32 Im Jahre 2010 sind beide Töchter so alt, wie die Quersumme ihrer Geburtsjahre! Wie alt sind die beiden Töchter? Aufgabe E2 (8 Punkte)

33 1)Geburtsjahr der jüngeren Tochter Das Geburtsjahr der jüngeren Schwester sei angenommen 200a: Somit ist die jüngere Schwester 2004 geboren!

34 2)Geburtsjahr der älteren Tochter Für das Geburtsjahr der älteren Schwester kommen nur die 80er oder 90er Jahre in Frage: Also muss das Geburtsjahr der älteren Tochter 19ab sein!

35 2)Geburtsjahr der älteren Tochter Das Geburtsjahr der älteren Schwester sei angenommen 19ab: Wir verwenden nun:

36 Lösung Aufgabe: GeburtsjahrAlter 2010 Quersumme Ältere Tochter Jüngere Tochter

37 Für jede reelle Zahl z sei [z] die größte ganze Zahl kleiner oder gleich z. Aufgabe E3 (8 Punkte) Zeichnen Sie im KOS alle Punkte (x/y), für die [x]² + [y]² = 4 gilt!

38 Zeichnen Sie im KOS alle Punkte (x/y), für die [x]² + [y]² = 4 gilt (i) [2]² + [0]² = 4 (ii) [-2]² + [0]² = 4 (iii) [0]² + [2]² = 4 (iv) [0]² + [-2]² = 4

39 Schnelligkeitswettbewerb

40 Wie lang ist der Weg des Lichtstrahls? Aufgabe H1 (3 Punkte)

41 Lösung: Reflexionsgesetz:Einfallswinkel =Reflexionswinkel Weg des Lichts = Strecke PQ Rechung:

42 Aufgabe H2 (3 Punkte)

43 Lösung: Mitist

44 Lösung: Mitist

45 Lösung: Mitist

46 Lösung: Mitist

47 Lösung: Mitist

48 Lösung: Mitist

49 Lösung: Mitist

50 Aufgabe H3 (3 Punkte)

51 Lösung: Damit f(g(x)) = x gilt, muss g(x)=y die Umkehrfunktion von f(x) sein.

52 Berechnen Sie die schraffierte Fläche in Abhängigkeit von a und b! Aufgabe H4 (3 Punkte)

53 Lösung:

54 Aufgabe H5 (3 Punkte)

55 Lösung:

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57 Die Seitenflächen eines Quadrats sind 18cm 2, 40cm 2 und 80cm 2. Wie groß ist sein Volumen? Aufgabe H6 (3 Punkte)

58 Lösung:

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