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Plenum: Die h – Methode Mathematik Einführungsphase Vom graphischen Differenzieren f(x 0 ) = lim f(x 0 + h) – f(x 0 ) h h 0 zum rechnerischen Differenzieren.

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Präsentation zum Thema: "Plenum: Die h – Methode Mathematik Einführungsphase Vom graphischen Differenzieren f(x 0 ) = lim f(x 0 + h) – f(x 0 ) h h 0 zum rechnerischen Differenzieren."—  Präsentation transkript:

1 Plenum: Die h – Methode Mathematik Einführungsphase Vom graphischen Differenzieren f(x 0 ) = lim f(x 0 + h) – f(x 0 ) h h 0 zum rechnerischen Differenzieren

2 Plenum: Die h – Methode Mathematik Einführungsphase Die h-Methode Wir wollen die Steigung einer Funktion bestimmen Das können wir bereits! Oder nicht?

3 Plenum: Die h – Methode Mathematik Einführungsphase Können wir! m = Sind 2 Punkte einer linearen Funktion gegeben, können wir die Steigung m einfach berechnen m = 0,5

4 Plenum: Die h – Methode Mathematik Einführungsphase Das war einfach! Aber wie geht das nun bei nicht-linearen Funktionen? x0x0 x f(x 0 ) f(x) m = f(x) – f(x 0 ) x - x 0 Differenzenquotient Wir wollen die Steigung im Punkt (x 0 /f(x 0 )) berechnen. Dazu nehmen wir einen weiteren Punkt der Funktion zu Hilfe und können so die Steigung m berechnen.

5 Plenum: Die h – Methode Mathematik Einführungsphase War das schon alles? Natürlich nicht ! Wir haben zwar eine Steigung berechnet, nicht aber die Steigung der Funktion im Punkt (x 0 /f(x 0 )), sondern die der Geraden durch die beiden Punkte. Was nun?

6 Plenum: Die h – Methode Mathematik Einführungsphase Ein Trick muss her! Würden die zwei Punkte näher zusammen liegen, so wäre das Ergebnis auch genauer. x0x0 x 0 +h f(x 0 ) f(x 0 +h) Der Hilfspunkt liegt nun um h weiter als der Punkt, in dem wir die Steigung suchen. Wäre h nun sehr sehr klein, so müsste das Ergebnis auch ganz gut sein.

7 Plenum: Die h – Methode Mathematik Einführungsphase Berechnen wir m, dann sieht das nun so aus: m = f(x 0 +h) – f(x 0 ) x 0 +h - x 0 Wie soll mir das jetzt weiterhelfen???

8 Plenum: Die h – Methode Mathematik Einführungsphase Ein Beispiel muss her! Zahlen! m = (2+h) m = f(x 0 +h) – f(x 0 ) h 2 + h - 2 = 4 + 4h + h h = h 2 + 4h h = h (h + 4) h + 4 h = Wir suchen die Steigung der Funktion f(x) = x 2 an der Stelle x 0 = 2. Wir brauchen nun wieder einen Hilfspunkt, der um h weiter liegt. Die beiden Punkte lauten dann also (2/4) und (2+h/f(2+h)) Na wunderbar, mit 2 Punkten können wir arbeiten! Dann mal los...

9 Plenum: Die h – Methode Mathematik Einführungsphase Klasse! Die Steigung der Funktion im gesuchten Punkt ist also h + 4. Aber Moment mal.... Was sollen wir denn mit dem h anfangen? Wir haben doch immer noch die Steigung mit 2 Punkten berechnet? Wir sind ja auch noch nicht ganz fertig!

10 Plenum: Die h – Methode Mathematik Einführungsphase Die Überlegung war, dass die beiden Punkte sehr nah zusammen liegen sollten, damit das Ergebnis möglichst genau wird. Wenn der zweite Punkt um h entfernt liegt, machen wir h ganz einfach unendlich klein (sehr sehr klein) lim (h + 4) = h->0 4 Die Steigung der Funktion f(x) = x 2 an der Stelle x 0 =2 beträgt also 4. Das machen wir jetzt! Man bildet den Grenzwert (limes) für h gegen 0. Die beiden Punkte liegen damit sozusagen aufeinander und wir haben nicht mehr die Steigung einer Geraden, sondern die Steigung in einem Punkt berechnet.

11 Plenum: Die h – Methode Mathematik Einführungsphase Wie ging das noch mal ? 1. Ich berechne den Differen- zenquotienten m mit Hilfe eines weiteren Punktes, dessen x-Wert von der zu untersuchenden Stelle x 0 den Abstand h hat. 2. Ich bilde den Grenzwert für h gegen 0 und erhalte die Ableitung (=Steigung) an der Stelle x 0 m = f(x 0 +h) – f(x 0 ) h f(x 0 ) = lim f(x 0 +h) – f(x 0 ) h h 0

12 Plenum: Die h – Methode Mathematik Einführungsphase m = f(x) – f(x 0 ) x – x 0 Der Differenzenquotient und die Ableitung: oder m = f(x 0 + h) – f(x 0 ) x 0 + h - x 0 m = f(x 0 + h) – f(x 0 ) h Die Ableitung f(x o ) von f(x) an der Stelle x 0 ist also: f(x 0 ) = lim f(x 0 + h) – f(x 0 ) h h 0

13 Plenum: Die h – Methode Mathematik Einführungsphase Die drei Fragen: 1. Wie ist der Differenzenquotient definiert? 2. Was bedeutet die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x 0 ? 3. Wie kann die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x 0 berechnet werden?

14 Plenum: Die h – Methode Mathematik Einführungsphase Aufgaben StundenIII BasicsS. 156 Aufg. 21 S.155 Bsp. C + Aufg. 17 Tops Ermittle die Steigung von f(x) an der Stelle a mithilfe der h-Methode: f(x)=2x-x 4 für a=0 f(x)=-6/x für a=2 S. 155 Aufg. 19 Ermittle die Steigung von f(x) an der Stelle a mithilfe der h-Methode für a=4


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