Mechanische Oszillatoren Das Federpendel

Inhalt Modellsystem: Massenpunkt und Feder Details zu den Kräften Aufbau der Bewegungsgleichung und ihre Lösung

Details zu den Kräften 1.) Ein Massenpunkt liefert die Trägheitskraft, nach Newton und d‘Alembert 2.) Die Feder sorgt für eine „rücktreibende Kraft“, die proportional zur Auslenkung ist, „Hookesches Gesetz“ Zu diesen Schwingungen tragen mechanische und elektromagnetische Kräfte bei Die für die Elastizität der Feder verantwortlichen Kräfte sind zwischenatomare elektrische Wechselwirkungen

Feder Kenngröße Einheit Bezeichnung Federkonstante

Feder – das Hookesche Gesetz Einheit 1N Kraft zur Verformung der Feder um die Länge s 1 N/m Die Federkonstante

Feder und Massenpunkt Coulomb-Kraft Trägheits-Kraft In dieser und den folgenden Darstellungen halten zwei - z. B. zwischen zwei Wänden befestigte - Federn eine Kugel in ihrer Mitte. Bei Auslenkung der Kugel erzeugen beide Federn eine rücktreibende Kraft, die in den Rechnungen als Kraft von einer einzigen Feder behandelt wird

Kräftesumme mit Trägheitskraft Abbildung: Jean Le Rond d´Alembert, 16.11.1717-29.10.1783, Mathematiker, Philosoph und Literat Die dadurch entstehende Differentialgleichung ist die „Bewegungsgleichung“

Feder und Massenpunkt – die Bewegungsgleichung Einheit Bezeichnung 1 N Federkraft Trägheitskraft Schwingungs-gleichung d‘ Alembertsches Prinzip

Geradlinige Bewegung mit Weg-Zeitgesetz nach der Sinus-Funktion: „Harmonische Schwingung“

Lösung der Schwingungsgleichung Einheit Bezeichnung 1 m Ansatz für die Auslenkung 1 m/s2 Beschleunigung 1N Schwingungs-gleichung s Periode der Schwingung 1 /s Frequenz der Schwingung

Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung bei einer harmonischen Schwingung

Weg: s(t) = s0 · sin ωt Geschwindigkeit: v(t) = s0 · ω · cos ωt (um π/2 verschobene Sinus-Funktion) Beschleunigung: v(t) = - s0 · ω2 · sin ωt (um π verschobene Sinus-Funktion) m s m/s s m/s2 s

Eigenschaft der Sinus-Funktion bei ihrer Ableitung: Diese Funktion ist „Form-invariant“ Es ändern sich nur die Amplitude die Phase (Maß für die Verschiebung der Funktion auf der Zeit-Achse) Analoges gilt für ihre Integration

Versuche zur periodischen Bewegung Feder-Pendel „Fadenpendel“ Wagen zwischen zwei Federn

Eigenschaften von Oszillatoren und ihren Schwingungen Sinusförmige Variation des „Signals“ Die Verkleinerung der Bauteile erhöht die Frequenz Generell gilt: Je kleiner der Oszillator, desto höher ist die Frequenz

Zusammenfassung Modellsystem: Massenpunkt und Feder Details zu den Kräften: Der Massenpunkt liefert die Trägheitskraft F=m · ̈s [N] Die Feder erzeugt die „rücktreibende Kraft“, proportional zur Auslenkung: „Hookesches Gesetz“, F = k · s [N] Einzig mögliche Bewegung des Systems nach einer Auslenkung: Harmonische Schwingung Auslenkung s(t) = s0 · sinωt [m] Es folgt das Quadrat der Kreisfrequenz ω2 = k / m [1/s2] , Federkonstante k [N/m], Masse des bewegten Körpers m [kg] Kleinere Massen oder härtere Federn erhöhen die Frequenz Generell gilt: Je kleiner der Oszillator, desto höher ist die Frequenz

finis