Allgemeine stetige Verteilungen und konkrete Anwendungen Universität Potsdam Seminar: Ausgewählte Kapitel der Wahrscheinlichkeitstheorie Dozentin: Prof. Dr. Roelly Referentin: Madlen Weps

Gliederung Theorie zu stetigen Verteilungen Konkrete Beispiele Zufallsvariable Verteilungsfunktion Dichtefunktion Erwartungswert Varianz Konkrete Beispiele Gleichverteilung Exponentialverteilung Normalverteilung Zusammenfassung

Definition: Zufallsvariable Es sei (Ω,𝒜,𝑃) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Eine (reelle) Zufallsvariable ist eine Abbildung 𝑋: Ω→ℝ mit der sogenannten Messbarkeitseigenschaft {𝜔∈Ω:𝑋(𝜔)≤𝑥}∈𝒜 für jedes 𝑥∈ℝ.

Definition: Verteilungsfunktion Ist X eine Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlich-keitsraum (Ω,𝒜,𝑃), so heißt die durch 𝐹(𝑥)≔𝑃(𝑋≤𝑥), 𝑥∈ℝ definierte Funktion 𝐹:ℝ→(0,1) die Verteilungs-funktion von X.

Definition: Stetige Zufallsvariable Eine Zufallsvariable X heißt stetig (verteilt), wenn es eine nichtnegative integrierbare Funktion 𝑓:ℝ→ℝ mit der Eigenschaft gibt, so dass die Verteilungsfunktion 𝐹 von 𝑋 die folgende Darstellung besitzt: 𝐹(𝑥)=𝑃(𝑋≤𝑥)= 𝑓(t)𝑑𝑡, 𝑥∈ℝ. 𝑓(𝑡)𝑑𝑡=1

Bemerkung Für reelle Zahlen a<b gilt: 𝑃(𝑋≤𝑏)=𝐹(𝑏)= 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑃(𝑋≤𝑏)=𝐹(𝑏)= 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑃(𝑎<𝑋<𝑏)=𝐹(𝑏)−𝐹(𝑎)= 𝑓(x)𝑑𝑥 𝑃(𝑋>𝑎)=1−𝐹(𝑎)= 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Definition: Erwartungswert Sei 𝐹:ℝ→(0,1) eine Verteilungsfunktion mit einer zugehörigen Dichte 𝑓. Falls 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 existiert, heißt 𝜇≔𝐸(𝐹)≔ 𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 der Erwartungswert der Verteilungsfunktion F mit Dichte f.

Definition: Varianz Sei 𝐹:ℝ→(0,1) eine Verteilungsfunktion mit einer zugehörigen Dichtefunktion 𝑓. Die Zahl 𝜎²≔𝑉𝑎𝑟(𝐹)≔ (𝑡−𝐸(𝑋))²𝑓(𝑡)𝑑𝑡 heißt Varianz der Verteilungsfunktion mit Dichte f, falls 𝜇 existiert und das Integral existiert.

Die Zahl heißt Standardabweichung der Verteilungsfunktion F mit der Dichte f.

Die Gleichverteilung Die Zufallsvariable 𝑋 hat eine stetige Gleich-verteilung auf dem Intervall (𝑎,𝑏), kurz 𝑋~𝒰(𝑎,𝑏), falls 𝑋 die Dichte besitzt.

Die Gleichverteilung Die Verteilungsfunktion von 𝑋 hat die Darstellung

Satz: Die Gleichverteilung 𝒰(𝑎,𝑏) hat den Erwartungswert 𝜇=𝐸(𝒰(𝑎,𝑏))= und die Varianz 𝜎²=𝑉𝑎𝑟(𝒰(𝑎,𝑏))=

Beispiel Die S-Bahnen einer bestimmten Linie fahren tagsüber alle 15 Minuten an einer Haltestelle ab. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man an der Haltestelle eine maximale Wartezeit von x Minuten hat, bis die nächste S-Bahn kommt?

Die Exponentialverteilung Die Zufallsvariable 𝑋 hat eine Exponentialverteilung mit dem Parameter 𝜆>0, 𝜆∈ℝ, kurz 𝑋~𝐸𝑥𝑝(𝜆), falls 𝑋 die Dichte

Die Exponentialverteilung Die Verteilungsfunktion von 𝑋 hat die Darstellung

Satz: Die Exponentialverteilung 𝐸𝑥𝑝(𝜆) hat den Erwartungswert 𝜇=𝐸(𝐸𝑥𝑝(𝜆))= und die Varianz 𝜎²=𝑉𝑎𝑟(𝐸𝑥𝑝(𝜆))=

Beispiel Lebenserwartung einer Glühbirne Die Glühbirnen einer bestimmten Sorte haben eine Lebenserwartung von 2000 Stunden. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass die gekaufte Glühbirne. eine Brenndauer von mind. 3000 Stunden hat? eine Brenndauer von mehr als 5000 Stunden hat? eine Brenndauer zw.1800 und 2800 Stunden hat? Nach welchem Zeitraum ist von einer Glühbirnen-Menge dieser Sorte die Hälfte intakt? (unter Voraussetzung, dass alle dieser Birnen gleich beansprucht werden?

Die Normalverteilung

Die Normalverteilung Die Zufallsvariable 𝑋 hat eine Normalverteilung mit den Parametern 𝜇 und 𝜎², 𝜇∈ℝ, 𝜎>0, kurz 𝑋~𝒩(𝜇,𝜎²), falls 𝑋 die Dichte , 𝑥∈ℝ besitzt.

Die Standardnormalverteilung Die Standardnormalverteilung 𝒩(0,1) mit 𝜇=0 und 𝜎²=1 besitzt die Verteilungsfunktion , 𝑦∈ℝ mit der Dichtefunktion

Die Normalverteilung Die Verteilungsfunktion der Normalverteilung hat die Darstellung , 𝑥∈ℝ

Satz: Die Normalverteilung 𝒩(𝜇,𝜎²) hat den Erwartungswert 𝐸(𝒩(𝜇,𝜎²)=𝜇 und die Varianz 𝑉𝑎𝑟(𝒩(𝜇,𝜎²)=𝜎²

Aufgabe: Die Zufallsgröße X sei normalverteilt mit E(X)=0 und Var(X)=1. Berechne

Beispiel Der Intelligenzquotient (IQ) einer bestimmten Bevölkerungsschicht sein 𝒩(100,15²)-verteilt. Man bestimme die Konstante c so, dass eine aus dieser Bevölkerungsschicht zufällig ausgewählte Person mit Wahrscheinlich- keit 0,3 einen IQ von mindestens c besitzt.

Aufgabe Es sei X eine stetige Zufallsvariable mit der Dichte Bestimme k so, dass f(x) eine Dichte wird. Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung von X. Bestimme die Verteilung F(x) dieser Zufallsvariablen. Berechne die Wahrscheinlichkeit .

Zusammenfassung Allgemeine stetige Verteilungen mit Dichten Wichtige Beispiele: Gleichverteilung Exponentialverteilung Normalverteilung

Quellen Bosch, K. (2003). Elementare Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung. 8.Auflage. Wiesbaden: Vieweg Verlag. Dehling, H., Haupt, B. (2004). Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Berlin: Springer Verlag. Fischer, G. (2005). Stochastik einmal anders. Wiesbaden: Vieweg Verlag. Henze, N. (2010). Stochastik für Einsteiger. 8.Auflage. Wiesbaden: Vieweg + Teubner. Hübner, G. (2009). Stochastik. 5.Auflage. Wiesbaden: Vieweg + Teubner. Kersting, G., Wakolbinger, A. (2008). Elementare Stochastik. Basel: Birkhäuser. Krengel, U. (2005). Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 8.Auflage. Wiesbaden: Vieweg Verlag. Kütting, H., Sauer, M. (2008). Elementare Stochastik. 2. Auflage. Berlin: Springer Verlag. http://www.mathe-online.at/materialien/klaus.berger/files/ Wahrscheinlichkeitsrechnung/zufallsvariable.pdf, Zugriff am 05.04.11, 14:20Uhr http://www.uweziegenhagen.de/teaching/stat/VL_ziegenhagen.pdf Zugriff am 12.04.11, 15:45Uhr https://home.zhaw.ch/~maz/Aufgaben/Wahrscheinlichkeit/ Stetige_Verteilung.pdf Zugriff am 12.04.11, 15:30Uhr