5. Schwingungen und Wellen 5.1. Allgemeine Schwingungslehre Mechanik Akustik Elektrodynamik Atomphysik  Schwingungen  Universalphänomen 5.1.1. Harmonische Schwingung q  abstrakte „Auslenkung” V(q)  Potential mit Minimum in q0 ( o.B.d.A. q0  0 , V(q0)  0 ) kleine Auslenkungen  Taylorentwicklung um q0  0 k  0 harmonisches Potential (  Parabel )

harmonisches Potential (  Parabel ) q V(q) harmonisches Potential (  Parabel )  Hookesches Gesetz Bewegungsgleichung: positive Prop.-Konstante 2 Schwingungsgleichung harmonische Schwingung Amplitude Anfangsphase Periode Frequenz

Beispiel: Federpendel Ruhelage x = 0 m Auslenkung x F  D x 

L φ m φ m g  F-m g sin φ Beispiel: Fadenpendel  anharmonische Schwingung!    ≪ 1  harmonische Näherung m g F-m g sin φ φ

5.1.2. Überlagerung von Schwingungen a) Eindimensionale Systeme i) Schwingungen gleicher Frequenz: 1  2: c  a  b  2 a konstruktive Interferenz 1  2  : c  a  b  0 destruktive Interferenz a  b

ii) Schwingungen unterschiedlicher Frequenz: langsame Amplituden-Schwingung, Schwebung schnelle Schwingung mittlerer Frequenz Schwebung

f(t) t iii) Fourierzerlegung (allgemeine periodische Schwingungen) Periode T t Fundamentalfrequenz: Fourierzerlegung: Grundschwingung: n  1, 1   Oberwellen (Harmonische): n  2, n  n  Klirrfaktor:

b) Zweidimensionale Systeme, Lissajous-Figuren Überlagerte x- & y-Schwingungen mit Frequenzen x, y Beispiel: Fadenpendel  i) x  y  : Tafelrechnung  Ellipse x/a y/b y/b x/a x/a y/b

i) x  y: i.a. keine geschlossenen Kurven Ausnahme: rationale Zahl n, m teilerfremd Periode der Schwingung:  geschlossene Lissajous-Figur mit n Maxima in x und m in y  Demo-Experiment

5.1.3. Gedämpfte Schwingung Stokes-Reibung  Lösung (Theorie-VL) durch Ansatz: Interpretation: Re   (Dämpfungszeitkonstanten)1  D1 Im   Oszillationsfrequenz  Lösungstypen:   0: Schwingfall   0: Kriechfall   0: aperiodischer Grenzfall Demo-Versuch: Waltenhofen-Pendel

 < ω0: Schwingfall Dämpfungszeit:  > ω0: Kriechfall kein Schwingterm max. 1 Überschwinger  = ω0: aperiodischer Grenzfall ( spezielle Lösungsform) kein Schwingterm max. 1 Überschwinger schnellste Dämpfung

L φ1 φ2 m D 5.1.4. Gekoppelte Systeme  gekoppelte Differentialgleichungen Beispiel: gekoppelte Pendel ( Bild ) Lösungsweg: Wahl von Normalkoordinaten, derart dass M diagonal  entkoppelte eindim. Schwingungen in Normalkoordinaten hier:

ξ -Mode ξ -Mode Veranschaulichung der Normalmoden Überlagerung der Moden  Schwebung  Demo-Experiment

γ m 5.1.5. Erzwungene Schwingung und Resonanz Schwinger angeregt durch Fext(t); oft m γ Beispiel: Schwingfall (   0 ) Energie-Dämpfungszeit: ( 2#Schwingungen in τD ) Güte: E Statischer Grenzfall ( ω  0 ):

Differentialgleichung: rechte Seite  0  inhomogene Dgl. Lösungsstrategie ( Theorie-VL): q(t)  Einschwingen  Stationäre Schwingung allgemeine Lösg. der hom. Dgl. stirbt mit D aus abhängig von Anfangsbed. spezielle Lösg. der inhom. Dgl. stationäre Schwingung unabhängig von Anfangsbed. schwingt mit  von Fext Phase zwischen q und Fext

Die Resonanzkurven A() und : Resonanzfrequenz 0,25 0,70 1/Q 4 1,43 Feder-dominiert Masse-dominiert

Beispiel: Waschmaschine Schleudergang (An-/ Auslaufphase) Eigenfrequenz der Wackelbewegung: ω0 Wäsche  Unwucht  Fext = F0·cos(ωt) ω ω = ω0: Resonante Wackelbewegung

z 5.2. Wellenlehre und Akustik 5.2.1. Wellenausbreitung a) Ebene Wellen Beispiel: Kette gekoppelter Schwinger transversale Auslenkung: ξ(z,t) z Schwingungstransport

Def.: v heißt Phasengeschwindigkeit z ξ(z,t) Erinnerung an Theorie-VL: Kontinuumsübergang  Wellengleichung: Allgemeine Lösung: mit beliebiger Funktion f Phase der Welle: Interpretation:  ein Punkt fester Phase läuft mit Geschwindigkeit v in z-Richtung Def.: v heißt Phasengeschwindigkeit Für v  0 ○ läuft f (z  v t ) in (z)-Richtung ○ läuft f (z  v t ) in (z)-Richtung

Verallgemeinerung: mehrere Dimensionen Wellengleichung: z.B. 2-dim. Wasserwellen, 3-dim Schallwellen,  Def.: Wellen, bei denen die Flächen konstanter Phase Ebenen sind, heißen ebene Wellen Phasenflächen Ebene Welle: Beispiel: Die allgemeine Lösung der Wellengleichung kann (u.a.) als Überlagerung ebener Wellen dargestellt werden.

Wellentypen: i) Harmonische ebene Welle ξ t fest v z   Kreisfrequenz  Frequenz T  1  Periode   Wellenlänge  Wellenzahl Wellenlänge λ ξ z fest Dispersionsrelation t Periode T  1/ν

Polarisations-richtung ii) longitudinale / transversale mechanische Wellen z Transversalwelle Polarisations-richtung t fest z Longitudinalwelle iii)   elektrische Feldstärke (Licht, Funksignale, )

Zirkulare Polarisation: iv) zirkular / elliptisch polarisierte Welle z y x Schraubenlinie komplexe Schreibweise (physikalische Anteil  Realteil): Zirkulare Polarisation:

b) Kugelwellen 3-dim Kugelwelle aus ein radiale Ausbreitung Kugelsymmetrie  verwende Kugelkoordinaten  symmetrischer Lösungstyp Anregungs-zentrum 3-dim Kugelwelle ein aus Analog: 2-dim Kreiswellen in Polarkoordinaten J0, Y0  Besselfunktionen

5.2.2. Interferenz Wellengleichung ist linear in   Superpositionsprinzip gültig  Wellen überlagern sich additiv  Interferenzeffekte Stationäre Interferenzmuster falls        const.(t) Realisierung: Stroboskopische Beleuchtung mit Beispiel: Wasserwellen Zwei phasenstarre Erreger (Spitzen) Interferenz mit reflektierter Welle

5.2.3. Reflexion und Brechung Huygensches Prinzip (isotrope Medien): Die Wellenfortpflanzung kann durch eine Superposition phasengleicher Kugelwellen (Elementarwellen) von jedem Punkt einer Phasenfläche beschrieben werden. Die Einhüllende der Elementarwellen ergibt die Phasenfläche zu einem späteren Zeitpunkt. Ebene Welle als Überlagerung von Kreiswellen Kreiswelle als Überlagerung von Kreiswellen

Einfallswinkel  Ausfallswinkel Folgerung a) Reflexion an ebener Wand ebene Welle Ein Aus α α ebene Wand Einfallswinkel  Ausfallswinkel

α β Medium 1: v1 Medium 2: v2 Folgerung b) Brechung an Grenzflächen Brechungsgesetz β

Reflexion & Phasensprung Folgerung c) Stehende Wellen Medium 2 Medium 1 z Transmission Reflexion & Phasensprung Spezialfall: Totalreflexion A  B 

Knoten Bäuche Stehende Welle: Feste räumliche Form Totalreflexion A  B  zeitabhängige Amplitude feste räumliche Form  stehende Welle Stehende Welle: z Feste räumliche Form Knoten Bäuche

Totalreflexion A  B  Fall 1: festes Ende z  0 z zeitabhängige Amplitude feste räumliche Form  stehende Welle Fall 1: festes Ende z  0 z Fall 2: offenes Ende z  0 z

Beugungsmuster im Unendlichen 5.2.4. Beugung  Wellenablenkung durch Hindernisse Beugungsmuster im Unendlichen α I 2· 0. Ordnung 1. Ordnung 2. Ordnung Ebene Welle λ d α d α λ/2 d/2 

Folgerung: Unschärferelation: Ortsunschärfe Winkelunschärfe Position und Ausbreitungsrichtung einer Welle können nicht gleich-zeitig beliebig genau festgelegt werden. Folgerung: Beugungseffekte () nur wichtig falls d ≲ . Für d ≫  wirken Hindernisse wie geometrische Begrenzungen.

z z 5.2.5. Schall a) Schall in Festkörpern: zt zt Elastische Rückstellkräfte  Wellen Elastische Longitudinalwelle z zt Elastische Transversalwelle Unendlicher Stab mit Dichte: ρ Torsionsmodul: G Schallgeschwindigkeit zt z Unendlicher Stab mit Dichte: ρ Elastizitätsmodul: E Schallgeschwindigkeit

b) Schall in Gasen (Flüssigkeiten): keine Scherkräfte  nur longitudinale Druckwellen   longitudinale Auslenkung (z-Richtung) K  Kompressionsmodul Folgerung: Schallgeschwindigkeit  ≲ 1 kHz  T  const.  K  p  Gasdruck Boyle-Mariotte isotherm kein Wärmeaustausch  ≳ 1 kHz  adiabatisch  K   p Adiabatenindex: Luft vgl. Kap. 6 Also:

longitudinale Grundschwingung des Stabes Beispiel: Kundtsche Staubfiguren d L Glasrohr in Luft Koppel-Platte L/2 Piezo-Kristall Metallstab  ν Gas / 2 Pulver  z L Feste Einspannung Schallbauch Schallknoten Tafelrechnung  longitudinale Grundschwingung des Stabes

Spezialgebiet: Akustik  Lehre vom hörbaren Schall (16 Hz  16 kHz) Einige wichtigen Begriffe: I  Schallleistung pro Fläche (z.B. Trommelfell) Imin()  Hörschwelle bei der Frequenz  Lst  Lautstärke Referenzwert:

Relativgeschwindigkeit ≪ v  Resultat für beide Fälle  gleich 5.2.6. Doppler-Effekt Quelle bewegt ( vQ < v ) Beobachter bewegt 0 v B vB T T vQ Q Q B < 0 B νB > ν0 Relativgeschwindigkeit ≪ v  Resultat für beide Fälle  gleich

Quelle mit Überschallgeschwindigkeit: vQ·Δt Quelle bewegt ( vQ > v ) ebene (Schock-)Welle β v·Δt vQ > v Q B Anwendungen: Überschallknall Bugwelle eines Schiffes Cherenkovstrahlung geladener Teilchen mit Überlichtgeschwindigkeit Machscher Kegel