Urnenmodelle
Wahrscheinlichkeitsräume
A. N. Kolmogorov Kolmogorov wurde (mehr zufällig, seine Mutter war auf der Durchreise) in Tambov, Russland, geboren. Nach der Schule arbeitete er zunächst als Eisenbahn- schaffner. Nebenbei schrieb er eine Abhandlung über die Newtonsche Mechanik. Bald ging er aber an die Moskauer Universität, und seine Entwicklung zu einem der bedeutendsten Mathematiker des vergangenen Jahrhunderts begann. Eine seiner großen Leistungen auf dem Gebiet der Stochastik besteht in der Schaffung der Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie in seiner Arbeit Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie (in deutsch!) aus dem Jahre 1933.
Die Normalverteilung (Gauß-Verteilung) (Gaußsche Glockenkurve)
Die Poisson-Verteilung
Man erhält eine Wahrscheinlichkeits- verteilung, weil gilt: Notation
Die Binomialverteilung
Man erhält eine Wahrscheinlichkeits- verteilung, weil gilt: Notation
Die geometrische Verteilung Man erhält eine Wahrscheinlichkeits- verteilung, weil gilt:
Die hypergeometrische Verteilung Notation
Eine Urne enthält n Kugeln, davon N weiße und n - N schwarze. Aus der Urne werden nacheinander m Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau k weiße Kugeln zu ziehen? Sie beträgt gerade H(n, N, m)(k)!
Wahrscheinlichkeitsdichten
Die Exponential-Verteilung
Die Gauß- oder Normalverteilung
Die Cauchy-Verteilung
Die Student- oder t-Verteilung Hängt von Parameter n ab!
Die Chi-Quadrat-Verteilung Hängt ebenfalls von Parameter n ab!
Unabhängigkeit Vier Spielkarten zeigen auf der Vorderseite die folgenden Aufschriften: 1 Eine Karte wird zufällig gezogen. Ereignisse A, B und C A : Oben steht eine 0 B: In der Mitte steht eine 0 C: Unten steht eine
Trotzdem sind die Ereignisse A, B und C nicht unabhängig: d. h. C kann nicht eintreten, wenn A und B eintreten. Man hat zwar:
Allgemein definiert man:
Bedingte Wahrscheinlichkeiten Die Belegschaft eines Betriebes wird nach Rauchern und Nichtrauchern ein- geteilt. Dabei ergibt sich die folgende Tabelle:
Also haben wir: Allgemein definiert man:
Pfadregel Dann hat man:
Baumdiagramm
Wir betrachten eine Urne mit einer roten und 3 grünen Kugeln. 1. Stufe: Eine Kugel wird zufällig gezogen, ihre Farbe notiert. Anschließend werden diese und eine Kugel derselben Farbe in die Urne zurückgelegt. 2. Stufe: Nach dem guten Mischen wird er- neut eine Kugel zufällig gezogen und deren Farbe notiert. Urne mit roten und grünen Kugeln
START /4 1/4 4/5 1/53/52/5 Baumdiagramm
Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit Einkommensverteilung der Haushalte in einer bestimmten Gegend Anteil der Haushalte, die ein Auto > DM ,- anschaffen, in den verschiedenen Einkommensklassen
Es ergibt sich: Also nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit:
Allgemein: Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
Satz von Bayes In einer Stadt vermutet man, dass für die Bevölkerung die folgende Aufteilung in Deutsche, Italiener und Ausländer, die keine Italiener sind, besteht: wobei die letzte Zeile den jeweiligen Anteil von Personen in der Bevölkerungsgruppe angibt, die gerne Spaghetti bestellen. (Beispiel nach H. Haase: Stochastik für Betriebswirte)
Jemand bestellt in einer Gaststätte Spaghetti. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Gast ein Deutscher, ein Italiener oder ein nicht-italienischer Ausländer ist? D: Der Gast ist ein Deutscher I: Der Gast ist ein Italiener A: Der Gast ist ein Ausländer, aber kein Italiener S: Der Gast bestellt Spaghetti
Nach der Formel für die totale Wahr- scheinlichkeit hat man: Daraus ergibt sich nach dem Satz von Bayes
Satz von Bayes