Konfidenzintervalle Intervallschätzung Jeder Beobachtung  wird ein Intervall C() der reellen Zahlen zugeordnet Niveau  Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, eine Beobachtung zu machen, für die der wahre Parameter im zugehörigen Intervall liegt, größer oder gleich 1 - 

Die Ungleichung von Tschebyschev

Niveau Das Niveau  wird „klein“ gewählt. (Wir nehmen in unseren Beispielen in den meisten Fällen  = 0.05 oder  = 0.1) Die Intervallbreite soll möglichst gering sein. Es gibt aber einen Zusammenhang zwischen der Breite der Konfidenzintervalle und dem Niveau: Niveau kleiner Intervall breiter

Beispiel Gewicht von Äpfeln Schätzer von  Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet Schätzer von 

Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung Für unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen X und Y hat man

Konfidenzintervall für den Erwartungswert Varianz bekannt Annahme: Konfidenzintervalle: wobei

In unserem Beispiel: Bei einem Niveau von  = 0.05 ist 1 - /2 = 0.975. Es ergibt sich: und

für die Normalvertreilung Verwendung der Tafel für die Normalvertreilung

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

Beispiel Kaufhaus-Konzern Kauf würde in Erwägung gezogen Kauf würde nicht in Erwägung gezogen 572 1428

Der Zentrale Grenzwertsatz

Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall I Konfidenzintervall zum Niveau 

Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall II Vereinfachung für großes n n  100

Die Chi-Quadrat-Verteilung Hängt von Parameter n ab!

Die Chi-Quadrat-Verteilung Wahrscheinlichkeitsdichte Die Konstante c ist dabei:  : Gamma-Funktion

Die Student- oder t-Verteilung Hängt ebenfalls von Parameter n ab!

Die Student- oder t-Verteilung Wahrscheinlichkeitsdichte Die Konstante d ist dabei:

Mathematische Bedeutung der Chi-Quadrat-Verteilung Für n unabhängige Zufallsvariablen mit hat man:

Mathematische Bedeutung der t-Verteilung Für unabhängige Zufallsvariablen W und U mit hat man:

Konfidenzintervall für den Erwartungswert Varianz unbekannt Student-Verteilung (oder t-Verteilung)

Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert bekannt Einseitig Chi-Quadrat- Verteilung

Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert bekannt zweiseitig Chi-Quadrat- Verteilung

Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert unbekannt Einseitig Chi-Quadrat- Verteilung

Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert unbekannt Zweiseitig Chi-Quadrat- Verteilung

Übersicht I Konfidenzintervalle für den Erwartungswert

Übersicht II Konfidenzintervalle für die Varianz

3.5 7.2 5.0 4.3 7.9 Rechenbeispiel Stichprobe vom Umfang n = 5 3.5 7.2 5.0 4.3 7.9 Stichprobenfunktionen

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

Fehler: 0,831

Fehler: 0,831

Fehler: 0,831

Fehler: 0,831

für diese konkrete Stichprobe Konfidenzintervalle für diese konkrete Stichprobe 1.Fall 2.Fall 3.Fall

4.Fall 18.28 5.Fall 6.Fall

Beispiel Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

für diese konkrete Stichprobe Konfidenzintervalle für diese konkrete Stichprobe 2.Fall 5.Fall Die anderen Fälle zur Übung empfohlen!!

TESTS TESTS TESTS TESTS TESTS TESTS TESTS

Beispiel Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten Anbaugebiet

Der Besitzer P einer Apfelplantage im Kraichgau behauptet gegenüber dem Großhändler G aus Sinsheim, dass die Äpfel seiner Sorte Cox-Orange aus der Lage „Sonnenstrahl“ dieses Jahr ein mittleres Gewicht von wenigstens 142 g aufweisen. G schlägt daraufhin P das folgende Verfahren vor: Die beiden greifen zufällig 16 Äpfel aus der diesjährigen Sonnenstrahl-Lage heraus und bestimmen deren Gewicht. Das arithmetische Mittel x und die empirische Streuung s der Apfelgewichte setzen Sie dann in die folgende Zauber- formel ein: y = x + 0,438 s

Ist 142 größer als der errechnete Wert y, dann wird G nicht kaufen, andernfalls kommen G und P ins Geschäft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass G nicht kauft, obwohl das mittlere Apfelgewicht in Wirklichkeit über 142 g lag?

Worum es geht Man möchte „testen“, ob eine bestimmte Annahme (Hypothese) über Parameter der Realität entspricht oder nicht. Formulierung einer Hypothese Nullhypothese In der Statistik kann man nie ganz sicher sein. Die „Irrtumswahrscheinlichkeit“ sollte wenigstens klein sein. Beobachtung (Stichprobe) Vorgabe: „Irrtumswahrscheinlichkeit“ Entscheidung

Mathematischer Rahmen I TESTS Mathematischer Rahmen I Gegeben sind: Statistische Struktur Stetiger Fall Diskreter Fall Testproblem (Hypothese) Nullhypothese Niveau 

Ablehnungsbereich Mathematischer Rahmen II Test gegeben durch: TESTS Mathematischer Rahmen II Test gegeben durch: Ablehnungsbereich Teilmenge der Grundgesamtheit : Menge aller Beobachtungen , die zur Ablehnung der Hypothese führen

Mathematischer Rahmen III TESTS Mathematischer Rahmen III Beobachtung    (Stichprobe) Entweder Oder Beobachtung liegt im Annahmebereich Beobachtung liegt im Ablehnungsbereich Hypothese annehmen! Hypothese ablehnen!

Fehler erster und zweiter Art

Entscheidung Hypothese akzeptiert Hypothese abgelehnt Realität Hypothese wahr Fehler 1. Art Hypothese falsch Fehler 2. Art

Niveau und Macht Obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 1. Art zu begehen Niveau Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 2. Art zu begehen, wenn der wahre Parameterwert in dem Punkt liegt Macht in einem Punkt der Alternative

2 Würfel Fairer Würfel ? 1/6 Gezinkter Würfel ? 1/5

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung