Thema der Stunde I. Die Form der Stichprobenkennwerteverteilung II. Schlüsse von der Stichprobe auf die Population III. t-Test für unabhängige und abhängige Stichproben

Stichprobenkennwerte Population Kennwerte Sampling Stichprobe Theoretische Statistik Welche Verteilung von Kennwerten wird sich ergeben, Wenn man den Sampling Vorgang unendlich oft wiederholt? Herleitung der Kennwerte-Verteilung (Sampling – Distribution) und Beschreibung ihrer Parameter. Methoden zur Schätzung der Parameter aus Stichprobendaten sowohl für univariate, als auch für multivariate Kennwerteverteilungen

Stichprobenkennwerte Population Verteilung von Stichprobenmittelwerten Stichprobe des Umfangs N Tue dies k - mal: „Kennwerteverteilung“ Kennwert (Erwartungswert) Erwartungswert Die Kennwerteverteilung hat denselben Erwartungswert wie die Population, aus der die Stichproben gezogen wurden. Schätzstatistiken, die denselben Erwartungswert haben wie die Population, heissen erwartungstreu. Stichprobenmittelwerte sind erwartungstreue Schätzungen des Populationsparameters m

Stichprobenkennwerte Population Verteilung von Stichprobenvarianzen Tue dies k - mal: Stichprobe des Umfangs N Erwartungswert der Stichprobenvarianzen Varianz Die Stichprobenvarianz unterschätzt die Populationsvarianz tendenziell Stichprobenvarianzen sind keine erwartungstreuen Schätzungen des Populationsvarianz s2

Korrektur Der Bias bei der Schätzung der Pop.Varianz aus der Stichprobenvarianz ist die Varianz der Stichprobenmittelwerte. Korrektur: Die Stichprobenvarianz berechnet aus korrigiertem Umfang N-1 ist eine erwartungstreue Schätzung der Populationsvarianz Stichprobenvarianzen sind keine erwartungstreuen Schätzungen des Populationsvarianz s2

Varianz der Stichprobenmittelwerte Population Verteilung von Stichprobenmittelwerten Stichprobe des Umfangs N Tue dies k - mal: „Kennwerteverteilung“ Varianz Varianz Der Faktor 1/N bezieht die Populationsvarianz auf die Varianz der Stichprobenmittel Für N = 1 sind beide Varianzen gleich Für N ® ¥ geht die Varianz der Mittelwerte gegen Null.

Form der Verteilung von Mittelwerten Zentraler Grenzwertsatz: f ( x ) Die Verteilung von Mittelwerten aus Stichproben der Größe N ³ 30 geht mit wachsendem Stichprobenumfang in eine Normalverteilung über, unabhängig von der Verteilungsform der Werte in der Population. 0.10 Wahrscheinlichkeitsdichte Es gilt: 0.05 1. 2. 0.00 -15 -10 -5 5 10 15 Der zentrale Grenzwertsatz ermöglicht die Schätzung von Parametern unter Angabe statistischer Sicherheiten [Math-Beispiel]

Form der Verteilung von Mittelwerten Schätzung des Standardfehlers f ( x ) 0.10 da Wahrscheinlichkeitsdichte 0.05 0.00 -15 -10 -5 5 10 15 Der Standardfehler wird geschätzt über die Schätzung der Populationsvarianz aus der Stichprobenvarianz

Konfidenzintervalle in der Verteilung der Mittelwerte Fragestellungen: Man habe einen Mittelwert aus einer Stichprobe der Größe N vorliegen. In welchem Bereich um den Mittelwert kann man den Populationsparameter m mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit erwarten ? Der Populationsparameter m sei bekannt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann ein Mittelwert wie der beobachtete oder ein extremerer auftreten? 1. 2. Konfidenzintervalle geben Intervalle um einen Kennwert an, in denen ein gesuchter Wert mit einer bestimmten WK liegt.

Hypothesen Hypothesen als Aussagen über Populationsparameter Wissenschaftliche Vermutung über einen Sachverhalt Aussage Gegenaussage (komplementär) A: Neue Unterrichtsmethode ist besser als die alte ØA: Neue Unterrichtsmethode ist schlechter oder gleich gut Statistisch: (gerichtet) (ungerichtet) Hypothesen als Aussagen über Populationsparameter

Entscheidungsregeln (ungerichtet) Sei a ein vorgegebenes Signifikanzniveau (Konvention: a = 0.05) und z0 der beobachtete z- Wert. Regel 1 (Überschreitungswahrscheinlichkeit): Wenn verwerfe H0 Regel 2 (Kritischer Wert z1-a/2): Wenn verwerfe H0 Grundlage: Vergleich mit kritischem Wert oder Signifikanzniveau

Entscheidungsregeln (gerichtet) Sei a ein vorgegebenes Signifikanzniveau (Konvention: a = 0.05) und z0 der beobachtete z- Wert. Regel 1 (Überschreitungswahrscheinlichkeit): Wenn verwerfe H0 Regel 2 (Kritischer Wert z1-a): Wenn verwerfe H0 Grundlage: Vergleich mit kritischem Wert oder Signifikanzniveau

Fehler 1. und 2. Art Hypothesenwahrscheinlichkeiten : bedingte WKn H0 In der Population gilt H0 H1 Correct Rejection Miss (Fehler 2. Art) False Alarm (Fehler 1. Art) Hit H0 Entscheidung für H1 [Entscheidungsaufgabe] Hypothesenwahrscheinlichkeiten : bedingte WKn