STATISIK LV Nr.: 1852 WS 2005/06 20. Dezember 2005.

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1 STATISIK LV Nr.: 1852 WS 2005/06 20. Dezember 2005

2 Theorie Schätzen Testen Punktschätzer Intervallschätzer Eigenschaften
Einführung Hypothesen Fehlentscheidungen Spezielle Tests

3 Schätzverfahren Schluss von der Grundgesamtheit auf eine Stichprobe: Inklusionsschluss (direkter Schluss) Schluss von einer Stichprobe auf Parameter einer Grundgesamtheit: Repräsentationsschluss (indirekter Schluss) Unterscheidung: Punktschätzer (einziger Schätzwert) Intervallschätzer (Konfidenzintervall)

4 Schätzverfahren Punktschätzer: Für den zu schätzenden Parameter wird nur ein einziger Schätzwert angegeben. Bsp. Schätze das unbekannte arithm. Mittel einer Grundgesamtheit μ durch das arithm. Mittel der Stichprobe Vorsicht: Die in einer Stichprobe realisierten Merkmalsausprägungen sind zufallsabhängig, Punktschätzer stimmen daher nur in den seltensten Fällen mit dem wahren Parameter überein.

5 Schätzverfahren Intervallschätzer: Ausgehend von einer Stichprobe wird ein Intervall bestimmt, in dem der zu schätzende Parameter der Grundgesamtheit mit einer bestimmten vorgegebenen Wahrscheinlichkeit liegt (Konfidenzintervall). Irrtumswahrscheinlichkeit ≤ α Konfidenzintervall zum Niveau 1-α (Vertrauensbereich od. Vertrauensintervall)

6 Schätzverfahren Ges: Konfidenzintervall für das arithm. Mittel: ZV
Symmetrische Wahrscheinlichkeitsintervall Symmetrie: z(α /2) = –z(1-α/2) daher: z = –z(1-α/2) und –z = z(α /2) und

7 Schätzverfahren In diesem Wahrscheinlichkeitsintervall liegt das arithm. Mittel mit der Wahrscheinlichkeit 1- α. Gesucht ist ist aber nicht das Ws-Intervall der ZV, sondern das Konfidenzintervall für das unbekannte arithm. Mittel µ der Grundgesamtheit. Varianz σ² der Grundgesamtheit bekannt Varianz σ² der Grundgesamtheit unbekannt

8 Schätzverfahren Konfidenzintervall für µ bei bekannter Varianz σ² der Grundgesamtheit: Konkreter Stichprobenmittelwert

9 Schätzverfahren Konfidenzintervall für µ bei unbekannter Varianz σ² der Grundgesamtheit: Statt der unbekannte Varianz σ² wird die Stichprobenvarianz S² verwendet. Zufallsvariable: T ist t- verteilt mit v=n-1 Freiheitsgraden

10 Verteilungen Es gilt: Zufallsvariable:
Ist T der Quotient einer Standardnormalverteilung und der Quadratwurzel des Mittelwerts von n quadrierten unabhängigen N(0,1)-verteilten ZV Xi, dann folgt T einer t-Verteilung mit v=n Freiheitsgraden. Zufallsvariable: T ist t- verteilt mit v=n Freiheitsgraden T~tn t-Verteilung ist symmetrisch

11 Verteilungen t- Verteilung mit v Freiheitsgraden:
Erwartungswert (für n>1): E(T) = 0 Varianz (für n>2): Var(T) = n / (n-2) Für n→∞ geht die t-Verteilung in die N(0,1) über. Approximation durch N(0,1)-Vt für n ≥ 30

12 Schätzverfahren Wahrscheinlichkeitsintervall für das arithm. Mittel bei unbekannter Varianz: Wobei t = t(1-α/2);n-1 = – t(α/2);n-1 die Punkte sind, bei denen die Verteilungsfunktion der t- Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden die Werte 1-α/2 bzw. α/2 besitzt.

13 Schätzverfahren Konfidenzintervall für das arithm. Mittel bei unbekannter Varianz: Konkreter Stichprobenmittelwert Konkrete Stichprobenvarianz

14 Schätzverfahren Konfidenzintervall für den Anteilswert:
Ann. genügend großer Stichprobenumfang, d.h. Approximation durch N-Vt möglich, E(P) = θ und Var(P) = σP² Standardisierte ZV:

15 Schätzverfahren Wahrscheinlichkeitsintervall: Konfidenzintervall:
Ist σP unbekannt, verwendet man stattdessen die Stichprobenvarianz des Anteilswertes als Schätzer.

16 Schätzverfahren Konfidenzintervall für die Varianz
ZV (n-1)S² / σ² ist χ² verteilt mit v=n-1 Freiheitsgraden Wahrscheinlichkeitsintervall: Konfidenzintervall:

17 Stichprobenumfang Bisher: Jetzt:
Geg: Stichprobenumfang n, Sicherheitsgrad 1-α Ges: Konfidenzintervall Jetzt: Geg: Konfidenzintervall, Sicherheitsgrad 1-α Ges: Stichprobenumfang Absoluter Fehler Δμ = zσX ist ein Maß für die Genauigkeit der Schätzung Breite des Konfidenzintervalls: 2Δμ

18 Stichprobenumfang Frage: Welchen Stichprobenumfang benötigt man, um einen Parameter (arithm. Mittel) bei vorgegebener Genauigkeit und vorgegebenem Sicherheitsgrad zu schätzen?

19 Eigenschaften von Schätzern
Eigenschaften von Schätzfunktionen: Erwartungstreue Effizienz Konsistenz Suffizienz

20 Eigenschaften von Schätzern
Erwartungstreue Eine Schätzfunktion heißt erwartungstreu (unverzerrt, unbiased), wenn ihr Erwartungswert mit dem wahren Parameter übereinstimmt. Bedingung: Es gilt:

21 Eigenschaften von Schätzern
Effizienz: Von 2 erwartungstreuen Schätzfunktionen gilt jene als effizienter (wirksamer), die die kleinere Varianz aufweist. Eine Schätzfunktion heißt effizient, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

22 Eigenschaften von Schätzern
Konsistenz: Eine Schätzfunktion heißt konsistent, wenn der Schätzwert bei laufender Vergrößerung des Stichprobenumfangs (n→∞ oder n→N) mit dem zu schätzenden Parameter zusammenfällt.

23 Eigenschaften von Schätzern
Suffizienz: Eine Schätzfunktion heißt suffizient (erschöpfend), wenn sie sämtliche Informationen über den zu schätzenden Parameter, welche die Stichprobe enthält ausschöpft.

24 Schätzverfahren Methode der Kleinsten Quadrat Maximum Likelihood
Momentenmethode

25 Konfidenzintervall Ausgehend von dem Ergebnis einer Stichprobe wird ein Intervall angegeben, in dem der zu schätzende Parameter der Grundgesamtheit mit einer bestimmten vorgegebenen Wahrscheinlichkeit (1-α) liegt.

26 Konfidenzintervall Bsp. Arithmetisches Mittel (ist bei N-Vt. Grundgesamtheit bzw. bei genügend großem Stichprobenumfang N-Vt.). Der wahre Parameter µ liegt mit der Wahrscheinlichkeit (1-α) im Intervall

27 Konfidenzintervall

28 Konfidenzintervall Bsp. Körpergröße: KI [171,19 ≤ µ ≤ 175,65] t-Vt
Mittelwert =173,42 Standardabweichung = 9,54 N = 73 2-seitiges KI zum Niveau α=0,05 Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Parameter im KI liegt ist 0,95. Quantile der t-Vt: t=±1,99 Quantil der N(0,1)-Vt: z=±1,96 KI [171,19 ≤ µ ≤ 175,65] t-Vt KI [171,23 ≤ µ ≤ 175,61] N(0,1)-Vt

29 Statistische Tests Fragen:
Besteht ein Zusammenhang zw. dem Geschlecht und dem Rauchverhalten? Ist der Ausschussanteil kleiner als 5%? Ist die mittlere Länge eines Werkstücks, das von zwei verschiedenen Maschinen hergestellt wird, gleich? Soll ein neues Medikament zugelassen werden? Stammen Daten aus einer N-Vt Grundgesamtheit? …

30 Statistische Tests Deskriptive Analyse der Daten
Lage- und Streuungsmassen Kontingenztafeln Korrelationsmaße Verteilungsdiagramme … Statistischer Test, um eine theoretisch abgesicherte Entscheidung zu treffen.

31 Statistische Tests Einführung:
Testen von Hypothesen (Annahmen, Behauptungen) Statistischer Test: Verfahren, mit dessen Hilfe sich bestimmte Hypothesen auf ihre Richtigkeit hin überprüfen lassen. Statistische Testverfahren basieren auf Stichprobentheorie

32 Statistische Tests Einführung:
Ziel: Richtigkeit von Aussagen über die Verteilung einer Zufallsvariablen überprüfen. Entscheidungsgrundlage: Ergebnis eines zufälligen Vorgangs. Daher: Entscheidungen nicht immer richtig Aber: Beim Vorliegen einiger der möglichen Verteilungen ist die Wahrscheinlichkeit falsch zu entscheiden beschränkt.

33 Statistische Tests: Hypothesen
Annahmen, Behauptungen, Aussagen über unbekannte Grundgesamtheit 2 Arten von Hypothesen: Parameterhypothesen, Überprüfung durch Parametertests Verteilungshypothesen, Überprüfung durch Verteilungstests

34 Statistische Tests: Hypothesen
Formulierung von Hypothesen: Nullhypothese H0 (Ausgangshypothese) Alternativhypothese H1 (Gegenhypothese)

35 Statistische Tests: Hypothesen
Bsp. Anteile: H0: Ausschussanteil = 10% H1: Ausschussanteil > 10% Mittelwerte: H0: Mittlere Länge eines Werkstücks = 5cm H1: Mittlere Länge eines Werkstücks  5cm Gruppenvergleich: H0: Gruppe 1 und Gruppe 2 sind gleich H1: Gruppe 1 und Gruppe 2 sind ungleich

36 Statistische Tests Entscheidung für H0 oder H1 basiert auf einer Stichprobe x1,…,xn Wahrscheinlichkeitsaussage ob H0 zutrifft oder nicht. Frage: H0 ablehnen (verwerfen) oder H0 nicht ablehnen?

37 Statistische Tests Mögliche Fehlentscheidungen:
Fehler 1. Art (α-Fehler): obwohl H0 korrekt ist wird H0 abgelehnt Fehler 2. Art (β-Fehler): obwohl H0 falsch ist wird H0 nicht abgelehnt.

38 Richtige Entscheidung
Statistische Tests Fehlentscheidungen Trifft zu Entscheidung H0 H1 Richtige Entscheidung Fehler 2. Art (β -Fehler) Fehler 1. Art (α-Fehler)

39 Statistische Tests Problem bei Fehlentscheidungen:
Falsche Entscheidung Man weiß nicht, ob man in einer konkreten Situation einen Fehler macht, sondern nur welcher Art dieser ist.

40 Statistische Tests Signifikanzniveau eines Tests α:
Die Wahrscheinlichkeit eine Fehler 1. Art zu machen ist höchstens α, daher „Test zum Niveau α“ - egal mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Fehler 2. Art begangen wird.

41 Statistische Tests Trifft H0 zu und entscheidet man sich für H1, dann ist die Wahrscheinlichkeit dabei einen Fehler zu machen ≤ α (α bekannt, wird festgelegt). Trifft H1 zu und entscheidet man sich für H0, dann ist die Wahrscheinlichkeit dabei eine Fehler zu machen = β (β unbekannt).

42 Statistische Tests

43 Statistische Tests D.h. durch Festlegen des α-Niveaus ist nur die Entscheidung für H1 abgesichert. Bei Entscheidung für H1: H1 ist richtig, H1 ist falsch, ich mache einen Fehler mit Wahrscheinlichkeit ≤ α. Daher: Formuliere H0 so, dass sie abgelehnt werden soll. bzw. in H0 soll diejenige Annahme festgelegt werden, der die größere Bedeutung zukommt.

44 Statistische Tests Bsp. Medikamententest
H0: Medikament ist nicht wirksam gegen H1: Medikament wirkt. Fehler 1. Art: das Medikament wirkt nicht, man glaubt aber dass es wirkt Fehler 2. Art: das Medikament wirkt, man glaubt aber dass es unwirksam ist. Wähle α=0,01 (sehr klein), da Risiko ein nichtwirksames Medikament als wirksam einzustufen sehr groß ist.

45 Statistische Tests Arten von Hypothesen: Einseitige Hypothesen
H0: θ ≤ θ0 gegen H1: θ > θ0 H0: θ ≥ θ0 gegen H1: θ < θ0 Zweiseitige Hypothesen H0: θ = θ0 gegen H1: θ ≠ θ0 Verteilungshypothesen: H0: bestimmten Vt. gegen H1: nicht diese Vt.

46 Statistische Tests Arten von Testproblemen: Einseitige Testprobleme
Tests für einseitige Hypothesen Zweiseitige Testprobleme Tests für zweiseitige Hypothesen Anpassungstests Test für Verteilungshypothesen

47 Statistische Tests Gütefunktion oder Macht g(θ): Wahrscheinlichkeit sich für H1 zu entscheiden, falls θ der wahre Parameter ist. Test zum Niveau α: g(θ) ≤ α für alle θ  H0 g(θ) ≥ α für alle θ  H1 Ist θ  H1, ist 1-g(θ) Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art. Funktion 1-g(θ) heißt Operationscharakteristik (OC)

48 Statistische Tests

49 Statistische Tests

50 Statistische Tests Trennschärfe eines Tests:
Steilheit der OC Kurve 1-g(θ) Es gilt: Je größer die Stichprobe umso besser die Trennschärfe.

51 Statistische Tests

52 Statistische Tests Vorgehensweise bei statistischen Tests (I):
Formulierung von H0 und H1 und Festlegen des Signifikanzniveaus Festlegung einer geeigneten Prüfgröße und Bestimmung der Testverteilung unter H0. Bestimmung des kritischen Bereichs Berechnung der Prüfgröße (=Teststatistik) Entscheidung und Interpretation

53 Statistische Tests Vorgehensweise bei statistischen Tests (II):
Formulierung von H0 und H1 und Festlegen des Signifikanzniveaus Festlegung einer geeigneten Prüfgröße und Bestimmung der Testverteilung unter H0. Berechnung der Prüfgröße (=Teststatistik) Bestimmung des p-Wertes der Teststatistik Entscheidung und Interpretation

54 Statistische Tests p-Wert
Anstatt den kritischen Bereich bzw. die kritischen Werte zu bestimmen, Berechnung des „p-Wertes“. p-Wert (p-value): Niveau, bei dem der Test gerade noch abgelehnt hätte. Vergleich des p-Wertes mit dem vorher festgesetzten Niveau α. Entscheidung: Lehne H0 ab, wenn p-Wert < α

55 Statistische Tests Einseitige Tests (I)
H0: θ ≤ θ0 gegen H1: θ > θ0 und α = 0,05 Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0 bestimmen. Bestimmung des kritischen Bereichs bzw. des kritischen Werts (c) T > c, lehne H0 ab T ≤ c, lehne H0 nicht ab

56 Statistische Tests

57 Statistische Tests Einseitige Tests (II)
H0: θ ≤ θ0 gegen H1: θ > θ0 und α = 0,05 Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0 bestimmen. Bestimmung des p-Wertes p < α, lehne H0 ab p ≥ α, lehne H0 nicht ab

58 Statistische Tests

59 Statistische Tests Einseitige Tests (I)
H0: θ ≥ θ0 gegen H1: θ < θ0 und α = 0,05 Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0 bestimmen. Bestimmung des kritischen Bereichs bzw. des kritischen Werts (c) T < c, lehne H0 ab T ≥ c, lehne H0 nicht ab

60 Statistische Tests

61 Statistische Tests Einseitige Tests (II)
H0: θ ≥ θ0 gegen H1: θ < θ0 und α = 0,05 Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0 bestimmen. Bestimmung des p-Wertes p < α, lehne H0 ab p ≥ α, lehne H0 nicht ab

62 Statistische Tests

63 Statistische Tests Zweiseitige Tests (I)
H0: θ = θ0 gegen H1: θ ≠ θ0 und α = 0,05 Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0 bestimmen. Bestimmung des kritischen Bereichs bzw. der kritischen Werte (cu und co) T < cu oder T > co, lehne H0 ab cu ≤ T ≤ co, lehne H0 nicht ab

64 Statistische Tests

65 Statistische Tests Zweiseitige Tests (II)
H0: θ = θ0 gegen H1: θ ≠ θ0 und α = 0,05 Teststatistik (T) und deren Verteilung unter H0 bestimmen. Bestimmung des p-Wertes p < α, lehne H0 ab p ≥ α, lehne H0 nicht ab

66 Statistische Tests

67 Statistische Tests Kritischer Wert: Wert auf der Achse
p-Wert: Fläche unter der Dichte Entscheidung: Lehne H0 ab, wenn Prüfgröße im kritischen Bereich Lehen H0 ab, wenn p-Wert der Prüfgröße < α

68 χ² Unabhängigkeitstest
Chi-Quadrat (χ²) Unabhängigkeitstest Teste ob 2 nominalskalierte Merkmale voneinander unabhängig sind. Bsp. Sind Geschlecht und Rauchverhalten voneinander unabhängig?

69 χ² Unabhängigkeitstest
Chi-Quadrat (χ²) Unabhängigkeitstest H0: die beiden Merkmale sind voneinander unabhängig. H1: die beiden Merkmale sind nicht voneinander unabhängig, d.h. sie sind voneinander abhängig Festlegen des Signifikanzniveaus α.

70 χ² Unabhängigkeitstest
Kontingenztafel: Absolute Häufigkeiten der Merkmalsausprägungen A \ B b1 ... bs ∑ a1 h11 … h1s h1. : ar hr1 hrs hr. h.1 h.s h.. = n

71 χ² Unabhängigkeitstest
Bsp. 4-Felder Tafel: Absolute Häufigkeiten der Merkmalsausprägungen

72 χ² Unabhängigkeitstest
Prüfgröße und Testverteilung: Prinzip: Vergleiche die Werte, die man unter Unabhängigkeit der Merkmale erwarten würde (he), mit den tatsächlich beobachteten Werten (ho). Wenn H0 gilt, welche Werte würde man erwarten? Berechung der unter H0 erwarteten absoluten Häufigkeiten.

73 χ² Unabhängigkeitstest
Unter H0 erwartete absoluten Häufigkeiten Interpretation der relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten Dann: unter H0 erwartete absoluten Häufigkeiten

74 χ² Unabhängigkeitstest
Bsp. Geschlecht - Rauchverhalten

75 χ² Unabhängigkeitstest
Teststatistik χ²: Abweichung der beobachteten Häufigkeiten von den erwartete Häufigkeiten

76 χ² Unabhängigkeitstest
Verteilung der Teststatistik χ²: χ²-Verteilung mit v = (r-1)·(s-1) Freiheitsgraden

77 χ² Unabhängigkeitstest
Kritischer Bereich: Signifikanzniveau α Kritischer Wert: α-Quantil der χ²(r-1)·(s-1) Verteilung Lehne H0 ab, wenn gilt: Wert der Teststatistik > kritischer Wert

78 χ² Unabhängigkeitstest
Bsp. Geschlecht – Rauchverhalten: Teststatistik χ² Verteilung der Teststatistik: χ²1 Chi-Quadrat Verteilung mit einem Freiheitsgrad

79 χ² Unabhängigkeitstest
Bsp. Geschlecht – Rauchverhalten: Kritischer Wert: 0,05-Quantil der χ²1 Vt. = 3,84 Entscheidung: (I) Teststatistik = 0,5 < 3,84 = kritischer Wert. Also: Lehne H0 nicht ab. (II) p-Wert = 0,496 > 0, Also: Lehne H0 nicht ab. Interpretation: Geschlecht und Rauchverhalten sind voneinander unabhängig.

80 χ² Homogenitätstest Chi-Quadrat (χ²) Homogenitätstest
Betrachte zwei Gruppen bzw. Stichproben. Teste, ob die Stichproben aus der gleichen Grundgesamtheit stammen.

81 χ² Homogenitätstest Chi-Quadrat (χ²) Homogenitätstest
H0: die beiden Stichproben stammen aus der gleichen Grundgesamtheit. H1: die beiden Stichproben stammen nicht aus der gleichen Grundgesamtheit. Festlegen des Signifikanzniveaus α.

82 χ² Homogenitätstest Bsp. Geschlecht – Rauchverhalten
H0: Das Rauchverhalten der beiden Gruppen stimmt überein. H1: Das Rauchverhalten der beiden Gruppen stimmt nicht überein.

83 χ² Homogenitätstest Prüfgröße und Testverteilung:
Prinzip: Vergleiche die Werte, die man unter H0 (gleiche Grundgesamtheit) erwarten würde (he), mit den tatsächlich beobachteten Werten (ho). Wenn H0 gilt, welche Werte würde man erwarten? Berechung der unter H0 erwarteten absoluten Häufigkeiten.

84 χ² Homogenitätstest Unter H0 erwartete absoluten Häufigkeiten

85 χ² Homogenitätstest Teststatistik χ²: Verteilung der Teststatistik χ²:
Abweichung beobachteten Häufigkeiten und erwartete Häufigkeiten Verteilung der Teststatistik χ²: χ²-Verteilung mit v = (r-1)·(s-1) Freiheitsgraden

86 χ² Homogenitätstest Bsp. Geschlecht – Rauchverhalten:
Teststatistik χ² = 0,5 Verteilung der Teststatistik: χ²1 Entscheidung: (I) χ² = 0,5 < 3,84. Lehne H0 nicht ab. (II) p-Wert = 0,496 > 0,05. Lehne H0 nicht ab. Interpretation: die beiden Gruppen (Männer, Frauen) stammen aus der gleichen Grundgesamtheit, sie sind homogen.

87 χ² Tests χ² Unabhängigkeits- und Homogenitätstests:
Teststatistik und Testverteilung sind gleich Nullhypothese und Interpretation sind verschieden. Test auf Unabhängigkeit (die Merkmale sind unabhängig voneinander) Test auf Homogenität (die Stichproben stammen aus der gleichen Grundgesamtheit).

88 χ² Tests χ² Unabhängigkeits- und Homogenitätstests:
Für die Approximation durch die χ²-Vt. sollten die erwarteten Häufigkeiten jeder Zelle  5 sein und keine der Zellen sollte unbesetzt sein. Sind die Voraussetzungen verletzt, kann man einen exakten Test durchführen (siehe Hartung S. 414ff)

89 Anpassungstests Test einer Verteilungshypothese – Nichtparametrische Testverfahren Betrachtet Unterschied zw. Stichproben-Vt. und theoretischer Verteilung. „Anpassungstest“ weil die Güte der Anpassung einer theoretischen Vt. an eine empirische Vt. überprüft wird.

90 Anpassungstests χ² Anpassungstest:
H0: die Grundgesamtheit gehorcht einer bestimmten Verteilung. Vorgehensweise: Bestimme die unter H0 zu erwartenden Häufigkeiten he und vergleiche sie mit den beobachteten Häufigkeiten ho. Abweichung groß – Entscheidung gegen H0, Abweichung klein – Entscheidung für H0.

91 Anpassungstests χ² Anpassungstest: Teststatistik:
k ... Anzahl der Merkmalsausprägungen (diskrete Merkmale) bzw. Anzahl der Klassen (stetigen Merkmalen) Testverteilung: χ²v verteilt mit v=n-1 Es gilt wieder: he sollten  5 sein.

92 Anpassungstests χ² Anpassungstest: Entscheidung:
Bestimmung des kritischen Bereichs, χ² > kritischer Wert, lehne H0 ab Bestimmung des p-Wertes, p-Wert < α lehne H0 ab

93 Anpassungstest Bsp. χ² Anpassungstest:
H0: Augenfarbe ist gleichverteilt H1: Augenfarbe ist nicht gleichverteilt α = 0,05 Teststatistik: 8,583 > 5,991 (0,05 Quantil der χ²2 Verteilung) => H0 ablehnen p-Wert: 0,014 < 0,05 => H0 ablehnen

94 Anpassungstests Kolmogorov-Smirnov- Anpassungstest:
Test zur Beurteilung der Güte der Anpassung einer erwarteten theoretischen Verteilung an eine beobachtete empirische Verteilung. H0: die Grundgesamtheit gehorcht einer bestimmten Verteilung. Prinzip: Abweichung empirische- von der theoretische Verteilungsfunktion.

95 Anpassungstests Kolmogorov-Smirnov- Anpassungstest: Prüfgröße (D):
größte beobachtete absolute Abweichung der theoretischen von der empirischen Verteilungsfunktion. Testverteilung: „Kolmogorov-Smirnov- Verteilung“, hängt nur vom Stichproben-umfang n ab (1-α Quantile in Tabelle nachschlagen). Entscheidung: D > kritischer Wert (aus Tabelle), lehne H0 ab.