Schwingungen Schwingungen sind sich periodisch wiederholende Schwankungen einer physikalischen Größe um einen Mittelwert. Beispiele: Federpendel Elektronische Oszillationen Biologische Rhythmen ... m x x0 Bewegungsgl.: „Kreisfrequenz“ Lösungsansatz: WS 2014/15

Bewegungsgleichung des ungedämpften harmonischen Oszillators x x0 A Schwingungsdauer Frequenz Allgemein: Bewegungsgleichung des ungedämpften harmonischen Oszillators Gaub WS 2014/15

Allgemeine Lösung des harm. Oszillators Lösungsansatz: allgem. Lösg. ist Linearkombination der Lösungen: Gaub WS 2014/15

Komplexe Zahlen mit Komplex konjugierte Zahl: Realteil: Imaginärteil: Betrag: Darstellung in der komplexen Zahlenebene Im(z) Re(z) a b „Polardarstellung“ einer komplexen Zahl WS 2014/15

c in Polardarstellung: Die allgemeine Lösung macht nur dann physikalischen Sinn, wenn x(t) reell ist. c in Polardarstellung: wegen: Amplitude Phasenwinkel Gaub WS 2014/15

Amplitude und Phasenwinkel werden durch die Randbedg. festgelegt. z. B.: Beispiele für harm. Oszillatoren: Fadenpendel: Gaub WS 2014/15

Verdrillen des Drahts um einen Winkel a Torsionspendel: Verdrillen des Drahts um einen Winkel a führt zu einem Rückstellmoment: Beschleunigung a, die auf jede Masse wirkt: „Trägheitsmoment“ Gaub WS 2014/15

Harmonische Näherung in beliebigen Potentialen Epot x x0 x0: Mechanische Gleichgewichtslage (Potentialminimum) Um x0 kann jedes beliebige Potential als Parabel genähert werden. Taylorentwicklung um x0: Bei kleinen Auslenkungen kann man harmonische Schwingungen beobachten z. B. Molekülschwingungen WS 2014/15

Darstellung von Schwingungen: Lissajou-Figuren Gaub WS 2014/15

Lissajou-Figuren mit verschiedenen Freqenzen und Phasen Gaub

Überlagerung von Schwingungen Wenn ein Körper zwei Schwingungen gleichzeitig ausführt, überlagern sich die beiden Schwingungen: I. gleiche Frequenz, versch. Amplitude: Gaub WS 2014/15

Nur der Realteil hat physikal. Bedeutung Die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen gleicher Frequenz erzeugt wieder eine harmonische Schwingung mit neuer Amplitude und neuer Phase. Gaub

II. gleiche Amplitude, verschiedene Frequenz: Gaub WS 2014/15

II. gleiche Amplitude, verschiedene Frequenz: oder einfacher: mit Modulation der Amplitude „Schwebung“ Gaub WS 2014/15

Allgemeine periodische Vorgänge/ Fourierzerlegung Eine periodische Funktion f(t) mit f(t+T)=f(t) kann zerlegt werden in eine Summe aus sin und cos Funktionen: „Fourier Reihe“ http://www.falstad.com/fourier/ Beispiel: Rechteck-Funktion 1 Nur bn tragen bei (ungerade Funktion f(x)=-f(-x)

http://escher.epfl.ch/fft/ Gaub WS 2014/15