Atomares Modell der Aggregatszustände

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1 Atomares Modell der Aggregatszustände
§6 Reale Feste und Flüssige Körper Atomares Modell der Aggregatszustände Kraft auf ein Atom: potentielle Energie hängt von der Anordnung der Atome ab Gaub WS 2014/15

2 Atomares Modell der Aggregatszustände
Beschreibung des Festkörpers als Kristall: Ortsvektoren der Atome: Kristallgittermodelle spannen die Einheitszelle auf. Gaub WS 2014/15

3 Atomares Modell der Aggregatszustände
Beschreibung der Kräfte im Kristall durch Federn: Atome schwingen bei der Temperatur T mit der mittleren kinetischen Energie Federmodell Kristall: Ekin << Bindungsenergie Gaub WS 2014/15

4 Atomares Modell der Aggregatszustände
Phasenübergang ins Flüssige: Potentielle Energie wird vergleichbar mit kinetischer Energie Atome können Gitterplätze verlassen Mittlerer Abstand nimmt geringfügig zu Unordnung nimmt sprunghaft zu nur noch Aufenthaltswahr- scheinlichkeiten für Atome beschreibbar Durch Fäden verbundene Punktteilchen (konstanter Abstand, variabler Winkel) eignen sich als Modell. Glas mit Kugeln Gaub WS 2014/15

5 Atomares Modell der Aggregatszustände
Phasenübergang zum Gasförmigen: potentielle Energie wird klein gegen die kinetische Energie Atome können sich frei bewegen Der mittlere Abstand benachbarter Teilchen ist abhängig vom zur Verfügung stehenden Volumen. Tisch mit Gasmolekülen Gaub WS 2014/15

6 Deformierbare feste Körper
Unterscheide: elastische Körper plastische Körper Hooke‘sches Gesetz Kraft auf einen elastischen Körper: Elastizitätsmodul Def.: Zugspannung: Draht zerreissen Def.: Relativen Dehnung: Hooke‘sches Gesetz: Gaub WS 2014/15

7 Das lineare Kraftgesetz ist eine Näherung, besser:
Hooke‘sches Gesetz Das lineare Kraftgesetz ist eine Näherung, besser: Taylorentwicklung von E um ist Gleichgewichtslage Für kleine Auslenkungen ist F linear. P Proportionalitätsgrenze F Fließgrenze Z Zerreißgrenze Gaub

8 Die Fließgrenze markiert das Ende der elastischen Verformbarkeit.
Hooke‘sches Gesetz Die Fließgrenze markiert das Ende der elastischen Verformbarkeit. Überschreitung: Gitterebenen verschieben sich Kupferstäbe Verschieben von Gitterebenen nicht mit beliebig kleiner Kraft möglich, weil Atome über Potentialwall gehoben werden müssen: Gaub WS 2014/15

9 Definition der Querkontraktionszahl:
Volumenänderung eines Stabes mit Länge L und quadratischem Querschnitt unter Einwirkung der Zugspannung σ: Gummi-Schlauch mit Scheibe Definition der Querkontraktionszahl: Mit dem Hooke‘schen Gesetz: Gaub WS 2014/15

10 Quer-“Kontraktion“ bei Druck
Druck statt Zug auf Fläche: ΔL, ΔV < 0 Δd > 0 => µ>0 Druck von allen Seiten: => Längenverkürzung durch Druck auf auf d2: Quer“kontraktion“ => => Dickenreduktion durch Druck auf auf Ld: Quer“kontraktion“ => zwei Seitenpaare! => Gesammtänderungen: Kompressibilität Kompressionsmodul => Für kleine Dehnungen: Gaub WS 2014/15

11 Scherung und Torsionsmodul
Scherkraft: Angriff tangential an einer Fläche Scherspannung: Resultat der Scherspannung: Verkippen der Kanten um den Winkel α: mit dem Schub- / Scher- / Torsionsmodul G Die behandelten Kräfte sind alle auf atomare Kräfte zurück zu führen und damit miteinander verknüpft. Für isotrope Körper kann folgende Beziehung hergeleitet werden: mit Gaub WS 2014/15

12 Gaub WS 2014/15

13 SW carbon-nanotubes

14 Beispiel: Torsion eines Drahtes
Der Draht wird aufgeteilt in Hohlzylinder mit Radius r und Dicke dr, außerdem in Segmente der Winkelbreite dφ. Um den Draht um den Winkel φ zu verdrillen ist die Scherspannung τ nötig: Richtmoment Gaub WS 2014/15

15 Für diese Längenänderung nötige Zugspannung:
Biegung eines Balkens Ein Balken mit rechteckigem Querschnitt q = d  b wird an einem Ende fest eingespannt und am anderen belastet. Lokal kann die Krümmung durch Kreisbogen mit Radius r beschrieben werden. Die Länge in der Mitte des Balkens bleibt unbeeinflusst (neutrale Faser). Eine Schicht in Höhe z des Balkens (z=0 entspricht der neutralen Faser) wird also verlängert um: Plastikstab in gekreuzten Polarisatoren Spannungsdoppelbrechung am Haken Für diese Längenänderung nötige Zugspannung:

16 Dementsprechend wirkt das Drehmoment:
Biegung eines Balkens z = 0 b z Die auf eine rechteckige Schicht des Balkens mit der Breite b, der Höhe dz und dem Abstand z von der neutralen Faser, wirkende Kraft ist : dz Dementsprechend wirkt das Drehmoment: Über die gesamte Balkenhöhe ergibt sich: Gaub WS 2014/15

17 Ursache der Biegung ist eine Kraft bei L,
Biegung eines Balkens Ursache der Biegung ist eine Kraft bei L, die an der Stelle x das Drehmoment D erzeugt: Der Balken biegt sich so lange, bis die beiden Drehmomente entgegengesetzt gleich groß sind: Die Krümmung am Ort x ist also: Lineal mir Gewicht Bei x=0 wird die Krümmung und damit die Zugspannung an der Oberseite (z=d/2)maximal. => Einkerbung und nachfolgend Bruch des Balkens wenn smaxdie Zerreissspannung des Materials überschreitet

18 z(x)=0 beschreibt die neutrale Faser des unbelasteten Balkens
Biegung eines Balkens Allgemein gilt für die Krümmung einer beliebigen Funktion z (x) ( Teubner): z(x)=0 beschreibt die neutrale Faser des unbelasteten Balkens In der Näherung kleiner Durchbiegungen gilt: Zweimalige Integration mit den Randbedingungen z(0) = z´(0) = 0 Das Balkenende x=L biegt sich um s (Biegungspfeil) nach unten: Gaub WS 2014/15

19 x Längsachse des Balkens, Querschnittsfläche:
Biegung eines Balkens Die Biegung eines Balkens mit beliebigem Querschnitt a lässt sich mit der Einführung des Biegemoments B (auch Flächenträgheitsmoment genannt) analog behandeln: x Längsachse des Balkens, Querschnittsfläche: Def. Biegemoment: Quader: Der Biegungspfeil s ist dann allgemein gegeben durch: Andere Beispiele: Gaub

20 s wird um den Faktor 16 kleiner!
Biegung eines Balkens Liegt der Balken auf beiden Enden und die Kraft F wirkt in der Mitte, so wird die maximale Durchbiegung s: Die Kraft F verteilt sich je zur Hälfte auf beide Balkenhälften der Länge L/2 s wird um den Faktor 16 kleiner! Gaub WS 2014/15

21 Elastische Hysterese, Deformationsarbeit
Unter Einwirkung der Zugspannung σ erfährt ein Körper die Elongation ε. Im ε-σ-Diagramm wird dabei der Weg 0A zurückgelegt. Wird σ danach wieder auf 0 gesetzt, so verbleibt eine Elongation (Punkt B). elastische Hysterese Durch temporäres Ausüben des Druckes p = -σ auf den Körper gelangt dieser über Punkt C zu Punkt D. Gaub WS 2014/15

22 Elastische Hysterese, Deformationsarbeit
Beim Durchlaufen der (geschlossenen) Kurve ABCDA, genannt elastische Hysterese-Schleife, wird die Arbeit W verrichtet. Für einen Quader mit dem Querschnitt q ist die Arbeit W: pro Volumeneinheit zu verrichtende Arbeit Im Geltungsbereich des Hooke‘schen Gesetzes gilt: Außerhalb des Bereiches σ ~ ε gilt: => Die pro Volumen in Wärme umgesetzte Arbeit entspricht der Fläche des Graphen.

23 Die Härte eines Festkörpers
Die Härte gibt den Widerstand eines Körpers beim Eindringen eines anderen an. Ritzverfahren: Der härtere Körper ritzt den anderen. Mohshärte Härteprüfung in der Technik: Brinellverfahren Die Eindrucktiefe h misst die Brinellhärte. Keine analytischen Beschreibungen mehr! - numerische Verfahren, - finite Elemente Rechnungen Gaub WS 2014/15