Umrechnung Basiseinheit Maßeinheit Schrittweite Maßzahl Größe 3,5 cm 0,9 mm 278,045 km 3,2 t 8 dz 98,034 kg 255 g 2045 mg 45 m2 7 km2 2,46 ha 98 a 255,23 cm2 10488 mm2 720 N 34 kN 34 °C 258 °K 23 cm3 8794,345 cm3 8009 dm3 34 m3 Umrechnung 6,20 m 3,5 cm 0,9 mm 278,045 km 3,2 t 8 dz 98,034 kg 255 g 2045 mg 45 m2 7 km2 2,46 ha 98 a 255,23 cm2 10488 mm2 720 N 34 kN 34 °C 258 °K 23 cm3 8794,345 cm3 8009 dm3 34 m3 Basiseinheit Didaktische Hinweise zum Lehrwerk Maßeinheit Schrittweite Gernot Mühlbacher Maßzahl Größe Immer, wenn es weiter gehen soll:  Links-KLICK Metrisches System Dezimalsystem Ohne schriftliche Einwilligung des Autors sind Kopien jeglicher Art bzw. das Einstellen in ein Netzwerk nicht erlaubt. 1 © 2016 Gernot Mühlbacher

GrößenN Umformen von … Rechnen mit … Gernot Mühlbacher Umformen von … Rechnen mit … Überblick über den Aufbau des Lehrwerks: Dieser Begleittext wendet sich an einen Personenkreis, der in ganz verschiedener Weise Verantwortung für den Einsatz des Lehr- und Lernwerkes tragen kann: Folie 1: Eine erste Orientierung bietet die Gliederung des Lehrwerkes. Folie 2: Bei der (auch vertiefenden) Beantwortung auftauchender Fragen und zum Ansteuern gewünschter Themen soll als Wegweiser jederzeit ein umfang-reiches Stichwortverzeichnis dienen. Teil 1 verfolgt die Absicht, alle notwendigen Grundlagen als Basis für einen gelingenden Lernprozess vorzubereiten. Ausgiebig werden unter ‚I Begriffsklärung‘ auf den Folien 3 bis 12 viele Beispiele für Größen im Alltag vorgestellt. Teil 2 wendet sich der engeren Zielsetzung zu: Gewinnung einer Handlungskompe-tenz beim Umformen von Größen. eine Automatisierung von Prozessen, um über das Verstandene in komplexen Situationen souverän verfügen zu können. Bei den Kompetenzen werden alle drei Anforderungsbereiche angestrebt. Lehrer an Eingangsklassen oder –kursen der Oberstufe können das Lehrwerk zur Sicherung des notwendigen Basiswissens nutzen. Die Zielsetzungen der Angesprochenen werden sich sehr unterscheiden. Dennoch ist es sinnvoll, alle Gruppierungen mit den hinter dem Lehrwerk stehenden Denkweisen vertraut zu machen. Das Lehrwerk ist nicht in erster Linie für Präsentationen bei Versammlungen in größeren Räumlichkeiten gedacht. Computer-Bildschirme sollen zum Einsatz kommen, bei größeren Gruppen auch im Computerraum einer Schule. Die Arbeitsaufträge oder Denkimpulse werden bewusst auf den bereitstehenden Arbeitsblättern entwickelt und dann an Hand eingeblendeter Lösungen überprüft. Somit werden Eigentätigkeit und Verantwortung der Lernenden eingefordert. 3 © 2016 Gernot Mühlbacher

Vorbemerkungen Motivationen und Vorerfahrungen: Der Autor dieses Lehrwerks hat als Lehrer und als Beobachter / Berater in vielen Unterrichtssituationen eine weit verbreitete Unsicherheit bei Schülern der Mittelstufe erlebt, sobald im mathematischen und im naturwissenschaftlichen Unterricht der Anspruch auftauchte, mit Größen angemessen umzugehen. Versagensängste führten zu großer Fehlerhäufigkeit, welche die Leistungen in Klassenarbeiten und Prüfungen beeinflusste. Diese Nöte rufen nach Abhilfe! Zitat (Bildungsplan 2016 / Leitgedanken zum Kompetenzerwerb): “Das Lernen von Mathematik ist ein konstruierend-entdeckender Prozess, der sich an bereits vorhandene Kompetenzen anschließt und in dessen Verlauf man zur Auseinandersetzung mit mathematischen Sachverhalten angeregt wird. Methodisch kann dies in unterschiedlichen Lernumgebungen durch individuelle oder kooperativ gestaltete Arbeitsphasen wie auch in Plenumsphasen erreicht werden. Unabhängig von der Methode sind klar vorgegebene Strukturen und wohl-überlegte Instruktion durch die Lehrkraft Grundvoraussetzungen für den Unterrichtserfolg.“ Diesem Anspruch werden die Lehrwerke I und II gerecht, indem sie verschiedene Einsatzfelder zulassen: - individuelles Lernen und individuelle Förderung - differenzierenden Unterricht - abwechslungsreiche Sozialformen und Methoden Erwerb von Kompetenzen: In beiden Lehrwerken I und II wird großer Wert auf die Vermittlung übergreifender prozessbezogener und inhaltsbezogener Kompetenzen gelegt. Sie lassen auch den Einfluss und die Gewichtung der Schwerpunkte durch Lernbegleiter zu. Das Umformen (von) und das Rechnen (mit) Größen werden in verschiedener Ausprägung den Leitideen ‚Zahl-Variable-Operation‘, ‚Messen‘ und ‚Raum und Form‘ zugeordnet. Alle Anforderungsbereiche werden angestrebt. Durch operatives Üben wird die Beweglichkeit des Denkens gefördert. Beitrag zu den Leitperspektiven: Verbraucherbildung (VB): Ohne Fertigkeiten (prozedurales Wissen) und Kenntnisse (deklaratives Wissen) im Umgang mit Größen ist ein selbstbestimmtes und verantwortungsbewusstes Verbraucherverhalten nicht denkbar. Medienbildung (MB): eLearning bietet eine gute Möglichkeit, die Medienbildung im Rahmen eines zunehmend sicheren Gebrauchs digitaler Medien und des selbständigen Umgangs mit Informationen und Software nachhaltig zu fördern.

Standards für inhaltsbezogene Kompetenzen Bildungsplan 2016 Standards für inhaltsbezogene Kompetenzen Schüler können:  Grundschule  (Leitideen: ‚Größen und Messen‘ / ‚Raum und Form‘ / Zahlen und Operationen) bis Ende Klasse 2 3.1.2.3 Einfache geometrische Figuren erkennen und benennen 3.1.3.2 Mit Größen in Sachsituationen umgehen bis Ende Klasse 4 3.2.2.3 Einfache geometrische Abbildungen erkennen, benennen und darstellen 3.2.2.4 Flächen- und Rauminhalte messen und vergleichen 3.2.3.2 Größen in Sachsituationen anwenden Sekundarstufe I Leitidee ‚Messen‘ Leitidee ‚Raum und Form‘ Leitidee ‚Zahlen und Operationen‘ bis Ende Klasse 6: Klasse 9 Klasse 10: Die Schülerinnen und Schüler erfahren die Grundidee des Messens – Ausfüllen mit Einheiten und Abzählen – und wenden diese selbstständig an. Situationsgerecht wählen sie Einheiten für Größen aus und gehen damit um. Sie schätzen Größen mithilfe geeigneter Repräsentanten ab. Die Schülerinnen und Schüler übertragen das Grundprinzip des Messens auf die Bestimmung von Flächen- und Rauminhalten. Bei ebenen Figuren, auch bei zusammengesetzten Figuren, bestimmen sie Umfang und Flächeninhalt, bei Quadern und bei aus Quadern zusammengesetzten Körpern Volumen und Oberflächeninhalt. Die Schülerinnen und Schüler können Umfang und Flächeninhalt ebener Figuren sowie Oberflächen- und Rauminhalt von Körpern berechnen und von zusammengesetzten Körpern bestimmen. Dabei wenden sie auch Formeln zur Berechnung grundlegender Flächen- und Rauminhalte an. Die Schülerinnen und Schüler können Oberflächen- und Rauminhalte von Körpern berechnen. ... Sie beschreiben in fachlich korrekter Ausdrucksweise geometrische Objekte und ihre Eigenschaften sowie Beziehungen zwischen diesen Objekten. Die Schülerinnen und Schüler setzen Zirkel und Geodreieck zum Zeichnen geometrischer Objekte ein und bestimmen Abstände zeichnerisch. Sie skizzieren einfache ebene und räumliche Figuren und stellen diese unter Verwendung angemessener Hilfsmittel zeichnerisch dar. Sie können mit verschiedenen Darstellungsformen räumlicher Objekte wie Modellen, Schrägbildern und Netzen umgehen. .. . Sie erschließen in einfachen geometrischen Figuren Winkelweiten und Streckenlängen. ... Die Schülerinnen und Schüler wenden bei Berechnungen in ebenen und räumlichen Figuren trigonometrische Kenntnisse an. Klasse 5/6: ... unter Einsatz einfacher, zur Verfügung stehender Rechenhilfsmittel. Dabei runden sie Werte situationsgemäß und können Rechenergebnisse mit einer sinnvollen Genauigkeit angeben. ... Auszüge (beispielhaft):

Das große netz des Wissens Ein großes Wissensnetz spannt sich im Lehrwerk über die zahlreichen Teilbereiche und Schwerpunkte des Themas ‚Größen‘. Schon der Blick in die Bildungspläne lässt dies erahnen. Ein Verzeichnis der Stichpunkte verschafft zu diesem Thema einen alphabetisch geordneten Überblick.. Es gibt beim ‚Suchen und Finden‘ wertvolle Hilfestellung. Einen besseren Eindruck von der Vernetzung und Komplexivität des Themas vermittelt eine Darstellung in Form einer MindMap.

Die M i n d M a p Inhaltliche Vernetzung GRÖSSEN Gewichts-kraft © 2014 Gernot Mühlbacher Inhaltliche Vernetzung Gewichts-kraft Längen-maße Masse Geld-wert Flächenmaße Raum-maße Zeit- maße Geschwin-digkeit Winkel-maße Messen Schätzen Umwandlung sinnvolle Genauigkeit Urkilo-gramm Ur- meter sinnvolle Einheiten Stellenwert-system nichtmetrisches System metrisches System Dezimalsystem Schrittweite / Operator GRÖSSEN Maßzahl Maß-einheit Basiseinheit Abgeleitete Einheit Zusammengesetzte Einheit endlich Vorsilben Bedeutung mittelständiger, endständiger Nullen unendlich (reinperiodisch, gemischtperiodisch) Dezimalbruch Dezimalzahl Die M i n d M a p

Maßsysteme verstehen  Das Umwandeln beherrschen und automatisieren  Die Prinzipien der Vermittlung Wichtige Ideen, Verfahren und Strukturen der Mathematik können nicht in einem Durchgang abschließend behandelt werden, sondern bedürfen der permanenten Weiterentwicklung, Vertiefung und Vernetzung. Kompakt kann ein so komplexes Gesamtthema wie ‚Größen‘ wegen seiner verzweigten Strukturen und Verfahren nicht abgehandelt werden. Die Vernetzung wird nur nach und nach erfahrbar und einsichtig. Bei der Erarbeitung der Teilkompetenzen muss darauf geachtet werden, die einzelnen Lernschritte alters- und entwicklungsgemäß einzuplanen und prozessbezogene Kompetenzen -gekoppelt an die Inhalte- aufzubauen: • Zeiten (h, min, s) • Geldwerte (€, ct) • Längen (km, m, cm, mm) Grundschule • Gewichte (t, kg, g) • Hohlmaß (l, ml) Inhalte: Beispiele für Ziele und Prinzipien: So ergibt sich methodisch gesehen ein spiral-förmiger Aufbau im Laufe des Bildungsganges. Der erfahrene Lehrer erkennt, dass ein Abschluss zum Ende der 6. Klasse seine Schüler vor unüberwindbare Probleme stellen muss. Nachfolgende Jahrgänge (bis hinein in die Oberstufe) bedürfen einer weiteren aufmerksa-men Begleitung unter ausdauernder Verfolgung der leitenden Prinzipien, um das Umrechnen von Größen zu einem gefestigten prozeduralen Wissen im Sinne einer Fertigkeit heranreifen zu lassen ( Automatisierung). Anlässe bieten die weiteren Inhalte in Mathematik und in den Naturwissenschaften in reichem Maße. •Winkel zwischen Geraden und Ebene • Flächeninhalt und Umfang vom Kreis • Volumen und Oberflächeninhalt von Körpern – (Pyramide, Kreiszylinder, Kreiskegel, Kugel) Maßsysteme verstehen  Das Umwandeln beherrschen und automatisieren  Schätzen  sinnvolle Genauigkeit  Wiederholen / Vertiefen … Handlungsroutinen  Wahl sinnvoller Einheiten Vernetzung durch Anwendung  Erfogskontrolle  Bitte zuerst aufmerksam lesen, dann erst KLICK! Die erscheinenden Beispiele bieten keine geordnete Übersicht. Siehe dazu Folie „Die Vernetzung im didaktischen Feld“ • Umfang und Flächeninhalt von Vielecken –Dreieck, Trapez, Parallelogramm • Oberfläche und Volumen gerader Prismen •Winkelsummen S e k u n d a r s t u f e I • Volumen und Oberflächeninhalt von Quadern •Winkel zwischen Geraden •Umwandlung von Längen-, Flächen- und Volumeneinheiten • Flächeninhalt und Umfang von Rechtecken Das Umwandeln beherrschen und automatisieren  Wiederholen / Vertiefen … Handlungsroutinen  Vernetzung durch Anwendung  Erfogskontrolle  Schätzen  sinnvolle Genauigkeit  Wahl sinnvoller Einheiten  Maßsysteme verstehen  Das Umrechnen (Umwandlung), gepaart mit dem Ziel des Gebrauchs sinnvoller Maßeinheiten ist eine unerlässliche Voraussetzung für den Aufbau von Größenvorstellungen und das Rechnen mit Größen. Schon die Grundschule geht erste propädeutische Schritte auf diesem Weg. Einheiten für Masse, Zeit(spanne), Geld, Länge, Flächeninhalt und Volumen Propädeutik mit hohem zeitlichem Anspruch Ein psychologisches Modell des Lernens unterstützt nachfolgend diese Argumentation. 

Verändertes Verhalten © 2014 Gernot Mühlbacher Wie soll ich mir einen Lernvorgang vorstellen? All dein Wissen und alle Erfahrungen, die du bisher gemacht hast, sind in deinem Gehirn gespeichert. Ohne Abspeichern läuft nichts! So entsteht dein ‚Bewusstsein‘. Es ist das Ergebnis vorangegangener Lernschritte. Lernen beginnt ja schon mit der Geburt! Lernen ist (nur) dann ein erfolgreicher Vorgang, wenn es zu einer (möglichst bleibenden) Änderung deines Verhaltens führt. Beispiel: Beim Fangen eines Balles öffnest du deine Hände und beugst die Ellenbogen. Dieses Verhalten erlernst du zum Beispiel durch Hinweise und häufiges Üben im Training des Handballvereins. Vergleiche die Aussagen im Text mit der bildlichen Darstellung! auf dem bestehenden Bewusstsein (Wissen, Erfahrung) aufbauend durch Verknüpfung mit neuen Reizen (Informationen) Ein neuer LERNSCHRITT Neue Informationen Umwelt z.B. Unterricht zeigt sich in Form von: neuem Wissen, neuen Erfahrungen, neuen Fertigkeiten, neuen inneren Haltungen / Einstellungen Verändertes Verhalten Ver- knüp- fung und / oder Frage: Was müssen wir tun, um zu einer möglichst bleibenden Verhaltensänderung, also zu erfolgreichem Lernen zu gelangen? Lernen ist mehr als nur Verstehen! Der neu erkannte Sachverhalt (das neu erworbene Wissen) wird immer wieder hinterfragt und bearbeitet und erst durch dieses Wiederholen gefestigt. Wenn diese Vernetzung unterbleibt, dann kann kein weiteres Lernen darauf aufbauen. Der neue Lernschritt ist erst abgeschlossen, wenn das neue Wissen und die neuen Erfahrungen im bisher bestehende Bewusstsein fest eingebunden (gespeichert) sind. 2

Folgerung Schulisches Lernen Folie mit Lernmodell Das vorgelegte Lehrwerk ‚Größen‘ sollte für Schüler nicht im Sinne eines kompakt zu erarbeitenden Gesamt-Programmes eingesetzt werden. Ein langzeitig über Jahre angelegtes Thema (siehe Bildungspläne!) mit komplexen Vernetzungen kann insbesondere Schülern der Orientierungs-stufe nur in spiraligem Aufbau angeboten werden. Aus diesem Grund hat der Autor auch die Bezeichnung ‚Lehrwerk‘ an Stelle von ‚Lernprogramm‘ gewählt. Folgerung (für den Einsatz des Lehrwerks) Schulisches Lernen Klassen 5 und 6: Die Inhalte mehrerer Folien überfordern Schüler dieser Altersstufe. Die Lehrkraft bestimmt eingangs öfters über kleine, geschlossene Kurzzeiteinsätze. Lernende erarbeiten die Teilinhalte selbständig. Angemessene Nachbereitung darf nicht ausbleiben! Einzelarbeit ist eine Option; sie fördert Eigenständigkeit und unabhängiges Entdecken / Erkennen. Individuelle Dosierung ist so möglich. In Partner- oder Gruppenarbeit können Phasen der Diskussion, des Abwägens und des Entscheidens schon gute Voraussetzungen für nachhaltiges Lernen bieten. Prozessbezogene Kompetenzen fördern! Also: Abwechseln! … und so den Prozess der Verknüpfung des bestehenden Wissens mit neuen Informationen wirkungsvoll gestalten! Die Wahl des richtigen didaktischen Ortes obliegt noch weitgehend der Lehrkraft. Ab Klasse 7: Gebrauch und Einsatz des Lehrwerks gehen zuneh-mend in die Verantwortung der Schülerinnen und Schüler über. Sie haben bereits einen Überblick über die angebotenen Themen gewonnen. Die Lehrkraft begleitet den sinnvollen Einsatz mit Hinweisen. Immer wichtiger werden die Wiederholung und die Vertiefung. Aktuell auftretende Fragestellungen und Probleme bestimmen über Zeitpunkt und den Umfang der Folien-Verwendung. Im Rahmen von Vertretungsstunden können auch fachfremde Lehrkräfte beim Einsatz von mobilen Computern oder auch im Fachraum das Lehrwerk verwenden. Schwächere Schüler nutzen die Zeit zur Wiederholung, begabte Mathematiker beschäftigen sich forschend mit neuen Themen. Haltungen, Einstellungen entwickeln und verändern sich dabei (zB. sinnvolle Genauigkeit, Wahl sinnvoller Maßeinheiten, ästhetischer Anspruch). 10

Die Vernetzung im didaktischen Feld (Metaebene) © 2014 Gernot Mühlbacher Die Vernetzung im didaktischen Feld (Metaebene) Folie 6 hat die inhaltliche Vernetzung des Lehrwerkes aufgezeigt. Diese Sicht ist für Lehrerinnen/Lehrer mit Blick auf die Gruppe der Lernenden wichtig. Klassen-arbeiten neue Haltungen, Einstellungen steigender Anspruch Der/die Lehrende wirft auch einen Blick auf die Verortung des Themas im gesamten didaktischen Feld. Dieser Blick ist bei einem spiralförmigen Procedere der Vermitt-lung besonders wichtig. Wann und wozu erfolgen welche Schritte? fächerüber-greifendes Denken Haus-aufgaben neue Erfahrung Tests Wieder-holung Vertiefung außerschulische Lernorte Fach-räume neue Fertigkeiten Erfolgs-kontrollen Darbietung neuer Lerninhalte Organisation neues Wissen U-Phasen Didaktischer Ort Verstehen Lernen = Verändertes Verhalten Automatisierung Sozialformen Einzel-Arbeit flüssige Verfügbarkeit Nach-haltigkeit Ziele Aufbau von Vorstellungen Verknüpfung Partner-Arbeit Vernetzung Entlastung Fertigkeiten (prozedurales Wissen) Kenntnisse (deklaratives Wissen) Gruppen-Arbeit Handlungs-orientierung Anwendung Information bzw. freies Gespräch in Plenumsphasen Lebenswirk-lichkeit Handlungs-routinen Veranschau-lichung Medien, Informationstechnik © 2014 Gernot Mühlbacher 9 Ein biologisches Lernmodell kann auf Wunsch auftauchende Fragestellungen verdeutlichen.

Gedanken … … in die Lehreraus- und -fortbildung! … zur Fortbildung von Lehrerinnen und Lehrern … zur Ausbildung von Lehrern Lehrende an der PH oder an Seminaren für Schulpraktische Ausbildung müssen immer wieder dem Anspruch gerecht werden, didaktische Themen mit der konkreten Unterrichtswirklichkeit und deren Anliegen bzw. deren Problemen zu verbinden. Der Veranschaulichung kommt ein sehr großer Stellenwert zu. Verantwortungsvolle Lehrerinnen und Lehrer machen sich zu Beginn eines Schuljahres Gedanken zu einer sinnvollen Verteilung des Lernstoffes über den Zeitraum eines Schuljahres. Wie lässt sich der spiralige Aufbau eines Themas sinnvoll einbinden? Die Stofffülle und die daraus entstehende Zeitenge führen im normalen Unterrichtsalltag zu einer Gewohnheit: Eine Reihe (vermeintlich) wichtiger Inhalte wird in rascher Folge abgehakt. Bei spiraligem Aufbau aber wird neben aller Vorausplanung ein gutes Gespür für den ‚fruchtbaren Moment‘ (Friedrich Copei) und die dann erforderliche Flexibilität zur bestmöglichen Weiterentwicklung führen. Die vorangehende MindMap zeigt eine erstaunlich großen Zahl allgemein- und fachdidaktischer Reiz-wörter. Bei deren Auftauchen kann der mathema-tische Bildungsinhalt ‚Größen‘ immer wieder heran-gezogen werden. So kann in exemplarischer Weise ein breites Spektrum von Bezügen hergestellt werden. … zur Beratung / Besprechung von Unterricht Im Rahmen einer Mitschau von Unterricht in Mathematik oder in naturwissenschaftlichen Fächern tritt oft -zumindest am Rande- auch ein deutlicher Beratungsbedarf im Zusammenhang mit ‚Größen‘ auf. Genau diese Vernetzung im didaktischen Feld bedarf dann einer Erklärung. Wäre die MindMap eine hilfreiche ‚Landkarte‘ für die Gestaltung des Beratungsgespräches? An den Bildungsinhalt ‚Größen‘ angelehnt kann diese Problematik im Rahmen der Lehrerfortbildung angesprochen werden. Junglehrer sind während ihrer ersten Konfrontation mit der Unterrichtswirk-lichkeit besonders dankbar für Hinweise. Also: … in die Lehreraus- und -fortbildung!