... mit uns können Sie rechnen!

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1 ... mit uns können Sie rechnen!
KURZPROGRAMM basic-modul ... mit uns können Sie rechnen! Gernot Mühlbacher Wurzeln *Heron- Verfahren Die Kurzprogramme kannst du kostenlos herunterladen: Wollen Sie auch werben? Ohne schriftliche Einwilligung des Autors sind Kopien jeglicher Art bzw. das Einstellen in ein Netzwerk nicht erlaubt. © Gernot Mühlbacher Für meine Enkel Moritz, Matthis, Greta und Zoe

2 Was Du zu diesem animierten Kurzprogramm
(basic-modul) wissen solltest: Dem vorliegenden Kurzprogramm liegt das umfangreiche master-modul „Wurzeln“ zugrunde. (Wurzeln.ppsx) umfang-reich Dieser große Themenbereich ist zur sinnvollen Nutzung nicht für alle Tablet-Rechner gut geeignet. Er besteht aus: INFO bekannt? ... gleich starten: 29 animierten Folien (ohne Titelblatt, Stichwort-verzeichnis und allgemein gehaltenen Beiblättern) Arbeitsblättern (AB) für diese Folien (zum Ausdruck) 29 entwickelten Folien (EF) (zum Ausdruck und Sammeln) Durch Aufteilung entstanden vier Kurzprogramme (basic-modules) : Wurzeln Einführung.ppsx 1 Wurzeln Erklärungen.ppsx 2 Wurzeln Grundrechnen.ppsx 3 4 Wurzeln Pot., Rad..ppsx 5 Heron-Verfahren.ppsx Die Arbeitsaufträge erledigst Du hier jeweils auf dem Notizblock. Zwar sind sowohl master-moduls als auch basic-modules auf PC/Laptop und Tablet-Rechnern technisch lauffähig ... ... aber auf Tablet‘s nicht immer flott! Die umfangreichen master-modules und auch die basic-modules kannst Du herunterladen auf der Website

3 Wurzelziehen durch eine Schachtelung
Die Zahl 3 ist keine Quadratzahl. Folglich kann der Wurzelwert keine ganze Zahl sein. liegt zwischen und √ 1 √ 4 √ 3 √ < < √ 4 √ 3 1, < < 2,0 √ 3 1,... Woher kann ich die Gewissheit nehmen, dass die eine Dezimalzahl ist, die mit 1,... beginnt? √ 3 1,5 Jetzt testen wir mit verschiedenen Dezimalzahlen. 1,8 1,7 1,75 1,73 Kontrolle? KLICK! Eine Dezimalzahl, die mit 1,... beginnt, liegt mit Sicherheit zwischen 1,0 und 2,0. 1,74 zu klein (<3): zu groß (>3): 1,52 = 2,25 < < 1,82 = 3,24 1,72 = 2,89 < < 1,752 = 3,06 Wenn ich die Wurzelwerte quadriere, dann erhalte ich immer die Radikanden. 1,732 = 2,9920 < 3 1,732 = 2,9920 < 1,742 = 3,0276 Das Quadrieren des gesuchten Wurzel-wertes von (also von 1,... ) müsste folglich den Radikanden 3 ergeben. √ 3 Du kannst mit dem „Einschachteln“ des Wurzelwertes auf diese Weise fortfahren. Bestimme mit Hilfe des Taschenrechners den möglichst genauen Wert der Wurzel aus 3 ! Kontrolle? KLICK! Die so entstehende Dezimalzahl hat unendlich viele Kommastellen. Irgend-wann wirst du abbrechen und runden. liegt zwischen 1,5 und 1,8. √ 3 liegt zwischen 1,73 und 1,74. √ 3 Du wirst also keine Dezimalzahl finden, deren Quadrat genau 3 ergibt! √ 3 ≈ 1, Lies nach: irrationale Zahlen: nächste Folie. 1, = 3, Eine elegante und systematische Methode ist das Heron-Verfahren (Folie 30).

4 Arten von Zahlen e π √3 √7 ⅚ -⅜ ⅘ √15 ℝ ℤ -1 -2 -3 ... 1 2 3 4 ... 5 ℕ
Den natürlichen Zahlen ℕ begegnen wir bereits in der Grundschule. ℕ={1, 2, 3, ....} Arten von Zahlen Ein Überblick: ℝ Es ist nicht einheitlich festgelegt, ob die Null zu den natürlichen Zahlen gehört. Eine weit verbreitete Schreibweise zählt die Null dazu und benennt diese Menge mit ℕ0={0, 1, 2, 3, ...}. ℤ π e -1 -2 -3 ... 1 2 3 4 ... 5 ℕ ℕ0 ℕ0 ist nur ein Teil der Menge der ganzen Zahlen ℤ. √3 √7 √15 3 ... ⅘ -⅜ 1,2 -2,5 ⅚ 7/11 Es gibt auch noch die negativen ganzen Zahlen: {-1, -2, -3, ....} ℚ ℤ = { , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } Wo ordnen wir die Bruchzahlen ein? { ... -½, -⅔, -⅘, -1,25, ⅜, 0,38 32/7, ... } Du kannst jede ganze Zahl aus der Menge ℤ als Bruchzahl schreiben. z.B. 3 = 3/1 oder -2 = -2/1. Auch die endlichen Dezimalzahlen sind Bruchzahlen. z.B. 1,2 = 12/10. Also gehört jede ganze Zahl und jede endliche Dezimalzahl auch zu den Bruchzahlen. Bei etlichen Nennern ergeben sich beim Dividieren auch unendliche periodische Dezimalzahlen. z.B. 7/11 = 0,63. Alle diese Bruchzahlen nennt man rationale Zahlen. Zeichen: ℚ (von Quotient) Neu: Die unendlichen und nicht periodischen Dezimalbrüche, die beim Ziehen von Wurzeln entstehen. (Immer, wenn der Radikand keine Quadratzahl bzw. kein Wert höherer Potenzen ist.) Alle diese Wurzelwerte können wir nicht als Bruchzahlen schreiben. Man spricht von den irrationalen Zahlen. Da man sie genau wie alle rationalen Zahlen aber auf dem Zahlenstrahl genau verorten kann, fasst man sie mit diesen als reelle Zahlen zusammen. Zeichen: ℝ Du kennst bereits eine andere irrationale Zahl, nämlich die Kreiszahl Pi. π ≈ 3, Außerdem gehört die sog. Eulersche Zahl e (Wachstumszahl) dazu. e≈ 2, 3

5 Wie lang ist die Seite a des Quadrates?
DAS HERON-VERFAHREN Im Verlauf der Folie 8 haben wir durch Ausprobieren (Schachtelungs-verfahren) den Wert der √3 zu bestimmen versucht. Hier wollen wir etwas systematischer drangehen. Dem dient das sog. ‚Heron-Verfahren‘. Dein Wissen aus der Geometrie wird zur Hilfe herangezogen. Quadrat: A = 7 cm2 Wie lang ist die Seite a des Quadrates? Heron von Alexandria war ein griechischer Mathematiker, der etwa von 10 n. Chr. bis 70 n. Chr. lebte. Er war neben Archimedes einer der ersten Physiker und Mechaniker. Dieses Rechteck wandelt er dann schrittweise rückwärts wieder in ein flächenglei-ches Quadrat. a = √7 Heron geht schrittweise vor. Im ersten (groben) Schritt stellt er ein Rechteck her, das 7cm lang und 1 cm breit ist. Die Berechnung von Länge und Breite engt systematisch von oben und unten den Bereich ein, in dem der Wert der √7 liegen muss: Zwischen 1 und 7 A = 7 cm2 Immer legt er Wert darauf, dass die Fläche von A = 7 cm2 erhalten bleibt. Verfolge die Schritte auf der nächsten Folie!

6 √7 HERON (an + ) ‘sches Schachtelungsverfahren √7 Länge verringern:
A = 7 cm2 a0=7 cm b0 =1cm Breite vergrößern: Mittelwert der Länge und Breite (jeweils des vorangehenden Rechtecks) Fläche durch die verkürzte Länge A = 7 cm2 a1 b1 A a1 7 4 = a1 = a0 + b0 2 7 + 1 2 = = 1,75 b1 = = 1,75 = 4 aufgelöste Flächenformel √7 = 4 A = 7 cm2 a2 b2 A a2 2,875 7 = a2 = a1 + b1 2 4 + 1,75 2 = ≈ 2,43 b2 = = 2,43478 = 2,875 = 2,875 A = 7 cm2 a3 b3 A a3 2,655 7 = a3 = a2 + b2 2 2, ,43 2 = b3 = ≈ 2,63664 ≈ 2,655 ≈ 2,64 ≈ 2,655 an+1 = an + bn 2 A = 7 cm2 A an A an bn = an+1 = an + 2 Ziel: 2 1 (an ) A an a = b = an+1 = n n √7 ≈ 2, 1 eingeschachtelt

7 Ermittle durch Schachtelung (Heron) als nächstes die √ 15 !
A = 15 cm2 a0=5 cm b0 =3cm Übung: Länge verringern: Mittelwert der Länge und Breite (jeweils des vorangehenden Rechtecks) Breite vergrößern: A = 15 cm2 a1=4 cm b1 =3,75cm Fläche durch die verkürzte Länge A a1 15 4 = a1 = a0 + b0 2 5 + 3 2 = b1 = = 3,75 = 4 aufgelöste Flächenformel A = 15 cm2 a2=3,875 cm Ermittle durch Schachtelung (Heron) als nächstes die √ 15 ! Versuche es mal mit dem Produkt (Rechteck) 3•5 ! Kontrolle? KLICK! A a2 3,875 15 = a2 = a1 + b1 2 4 + 3,75 2 = b2 = ≈ 3,871 = 3,875 b2≈ 3,871...cm 3,873 15 = a3 = a2 + b2 2 3, ,871 2 = A a3 ≈ 3,873 A = 15 cm2 a3 ≈ 3,873 cm b3 = ≈ 3,87295 b3≈ 3,87295cm a wird immer kleiner! Die Länge nähert sich von oberhalb dem Ziel an = bn an. b wird immer größer! Die Breite nähert sich von unterhalb dem Ziel an = bn an. a = b = n n √15 ≈3, eingeschachtelt Ziel: Wir können das Ziel nie erreichen. √15 ist eine irrationale Zahl. 1

8 FRÜHER und HEUTE Taschen- rechner Auf diese Weise kannst du jede Quadratwurzel berechnen. Du musst lediglich den Radikanden geschickt in ein Produkt zerlegen. Und dann ... Heron! Wenn du die gewünschte Anzahl Kommastellen erreicht hast, dann musst du eine weitere ermitteln, die über Auf- oder Abrunden entscheidet. Heute haben wir es einfach: Auf Knopfdruck liefert jeder Taschenrechner den Wurzelwert einer eingegebenen Zahl. Deine Großeltern konnten die Wurzelwerte nur aus einer Tabelle herauslesen, die vorher mühsam errechnet werden musste. Das wichtige Tabellenwerk gehörte zur Standard-Ausrüstung jedes Schülers oder auch Handwerkers. Tabellen- sammlung

9 Verändertes Verhalten
© 2014 Gernot Mühlbacher Wie soll ich mir einen Lernvorgang vorstellen? All dein Wissen und alle Erfahrungen, die du bisher gemacht hast, sind in deinem Gehirn gespeichert. Ohne Abspeichern läuft nichts! So entsteht dein ‚Bewusstsein‘. Es ist das Ergebnis vorangegangener Lernschritte. Lernen beginnt ja schon mit der Geburt! Lernen ist (nur) dann ein erfolgreicher Vorgang, wenn es zu einer (möglichst bleibenden) Änderung deines Verhaltens führt. Beispiel: Beim Fangen eines Balles öffnest du deine Hände und beugst die Ellenbogen. Dieses Verhalten erlernst du zum Beispiel durch Hinweise und häufiges Üben im Training des Handballvereins. Vergleiche die Aussagen im Text mit der bildlichen Darstellung! auf dem bestehenden Bewusstsein (Wissen, Erfahrung) aufbauend durch Verknüpfung mit neuen Reizen (Informationen) Ein neuer LERNSCHRITT Neue Informationen Umwelt z.B. Unterricht zeigt sich in Form von: neuem Wissen, neuen Erfahrungen, neuen Fertigkeiten, neuen inneren Haltungen / Einstellungen Verändertes Verhalten Ver- knüp- fung und / oder Frage: Was müssen wir tun, um zu einer möglichst bleibenden Verhaltensänderung, also zu erfolgreichem Lernen zu gelangen? Lernen ist mehr als nur Verstehen! Der neu erkannte Sachverhalt (das neu erworbene Wissen) wird immer wieder hinterfragt und bearbeitet und erst durch dieses Wiederholen gefestigt. Wenn diese Vernetzung unterbleibt, dann kann kein weiteres Lernen darauf aufbauen. Der neue Lernschritt ist erst abgeschlossen, wenn das neue Wissen und die neuen Erfahrungen im bisher bestehende Bewusstsein fest eingebunden (gespeichert) sind. 2