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Harmonischer Oszillator Molekülschwingungen WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 8. Vorlesung.

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Präsentation zum Thema: "Harmonischer Oszillator Molekülschwingungen WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 8. Vorlesung."—  Präsentation transkript:

1 Harmonischer Oszillator Molekülschwingungen WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 8. Vorlesung

2 Schwingungen von makroskopischen Objekten

3 Schwingungen von mikroskopischen Objekten „Nanobrücke“ … mit Hilfe moderner Herstellungsmethoden können künstliche Brücken im Nanometerbereich hergestellt werden

4 Schwingungen von mikroskopischen Objekten Molekülschwingungen: Jedes Atomgerüst besitzt eine Reihe von charakteristischen Schwingungsmoden

5  Newtonsche Bewegunsgleichungen  Eigenfrequenz  Potentielle Energie Klassischer harmonischer Oszillator

6 Dimensionslose Zeiteinheit Newtonsche Bewegungsgleichungen Bewegungsgleichung kann in der komplexen Ebene gelöst werden, Hilfsgröße a Bewegungsgleichung für Hilfsgröße a Lösung für Auslenkung x

7 Jedes Potential kann um Minimum entwickelt werden Quantenmechanischer Oszillator Der Hamiltonoperator für den harmonischen Oszillator besteht aus der kinetischen Energie ~p 2 und der potentiellen Energie ~x 2

8  Charakteristische Längenskala  Dimensionslose Ortsvariable  Dimensionslose Energievariable Quantenmechanischer Oszillator Es ist in vielen Fällen günstig, dimensionslose Größen für die Impuls- und Ortskoordinaten einzuführen

9 Oszillator : dimensionslose Größen In den dimensionslosen Einheiten hat die zeitunabhängige Schrödingergleichung eine einfache Form  Charakteristische Längenskala  Zeitunabhängige Schrödingergleichung  Zeitunabhängige Schrödingergleichung in den dimensionlosen Einheiten  Dimensionsloser Impuls und Wellenfunktion

10 Oszillator : „Leiteroperatoren a“ Wie beim klassischen Oszillator versuchen wir, das Problem durch die Hilfsgröße a zu lösen  Produkt der Operatoren a und a +  Hamiltonoperator ausgedrückt durch den Operator a

11 Wenn ein Eigenzustand von H ist, dann ist auch einer Oszillator : „Leiteroperatoren a“ Zur Lösung des Problems benötigen wir nur die „Kommutatoren“ Insbesondere gilt

12 Oszillator : „Leiteroperatoren a“ Nehmen wir an, dass  ( q ) ein Eigenzustand ist Durch Anwenden der Operatoren a und a + erhalten wir neue Eigenzustände a erniedrigt den Energieeigenwert um 1, und a + erhöht ihn um 1 !!! Wenn ein Eigenzustand von H ist, dann ist auch einer

13 Oszillator : Grundzustand + Anregungszustände Damit es einen Grundzustand  0 ( q ) gibt, muss für diesen gelten Die Energie des Grundzustandes beträgt Durch Anwenden der „Leiteroperatoren“ kann man alle angeregten Zustände bestimmen

14 Oszillator : „Leiteroperatoren“ Mit Hilfe der Leiteroperatoren kann man, ausgehend vom Grundzustand, alle an- geregten Zustände erreichen

15 Oszillator : Hermitpolynome Charles Hermite (1822 – 1901) Die Eigenzustände des harmonischen Oszillators können auch durch die Hermitpolynome ausgedrückt werden

16 Eigenenergien Eigenfunktionen Eigenzustände des harmonischen Oszillators Zeitunabhängige Schrödingergleichung Eigenenergien und Eigenzustände des harmonischen Oszillators

17 Eigenzustände des harmonischen Oszillators  Der Grunzustand hat eine endliche „Nullpunktsenergie“  Die Energieabstände im harmonischen Oszillator sind äquidistant  Die Zahl der Knoten nimmt mit zunehmender Energie zu  Die Zustände können in gerade und ungerade Zustände unterteilt werden

18 Normalschwingungen des freien Wassermoleküls (oben) und des Wassermoleküls innerhalb einer Flüssigkeit (unten) Schwingungszustände von Wassermolekülen

19 Rotationen (~meV) … Schwingungen (~0.1 eV) … Elektronische Anregungen (~eV) Molekülspektren bestehen aus Rotations-, Schwingungs- und elektronischen Anregungen, sowie aus Mischformen (Rotations-Schwingungsbanden) Molekülanregungen

20 Jedes Molekül hat seine ganz charakteristischen Schwingungsenergien, dadurch kann es spektroskopisch eindeutig identifiziert werden Spektren von Wassermolekülen


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