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Beschreibung der energetischen Zustände der Elektronen

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Präsentation zum Thema: "Beschreibung der energetischen Zustände der Elektronen"—  Präsentation transkript:

1 Beschreibung der energetischen Zustände der Elektronen
Wellengleichung Ableitung der Schrödinger-Gleichung Lösungsansätze für Schrödinger-Gleichung Formale Analogie zwischen der klassischen und Quantenmechanik Lösung der Schrödinger-Gleichung für Freies Elektron Elektron im Potentialtopf Elektron im Potential eines harmonischen Oszillators Potentialbarriere Doppelte Potentialbarriere Wasserstoffatom

2 Die Wellengleichung Mathematische Beschreibung einer harmonischen Welle: Ableitung nach x: De Broglie-Gleichung: Ableitung nach Zeit: Plancksche Gleichung:

3 Die Schrödinger-Gleichung in einer Dimension
… Potentialenergie = 0  freies Teilchen … Gesamtenergie / kinetische Energie H … Hamilton-Operator

4 Dreidimensionale Schrödinger-Gleichung
Impuls und der entsprechende Operator 3D-Schrödinger-Gleichung 3D-Schrödinger-Gleichung für N Teilchen

5 Lösungsansatz für die Schrödinger-Gleichung
Mathematischer Ansatz: Separation der Variablen Linke Seite t-abhängig Rechte Seite x-abhängig

6 Lösungsansatz für die Schrödinger-Gleichung
Linke Seite: Rechte Seite: C … Separations-konstante

7 Die Schrödinger-Gleichung
Zeitunabhängige (stationäre) Form  harmonische Schwingungen Sie wird verwendet, wenn das Potential von der Zeit nicht abhängt E … Gesamtenergie des Systems

8 Die Schrödinger-Gleichung
Zeitabhängige Form  Wellengleichung

9 Formale Analogie zwischen der KM und QM

10 Lösung der Schrödinger-Gleichung
Falls V von der Zeit nicht abhängt, wird die zeitunabhängige (stationäre) Schrödinger-Gleichung gelöst. Die Schrödinger-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung - Lösung erfolgt für bestimmte (Anfangs-) und Randbedingungen Die Wellenfunktion  hat keine physikalische Bedeutung, * entspricht der Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons Energiebereiche, für die eine Lösung der Schrödinger-Gleichung gefunden werden kann, definieren das Energie-Spektrum (Frequenzspektrum) des Systems.

11 Mathematische Eigenschaften der Wellenfunktion
Die Schrödinger-Gleichung ist konsistent mit p = ħk und E = ħ Die Schrödinger-Gleichung ist linear  Wenn 1 und 2 zwei Lösungen der Schrödinger-Gleichung sind, ist auch eine lineare Kombination von 1 und 2 eine Lösung der Schrödinger-Gleichung Ein Wellenpaket stellt ebenfalls eine Lösung der Schrödinger-Gleichung dar

12 Mathematische Eigenschaften der Wellenfunktion
Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens, Elektronendichte … in 3D Erwartungswert (Mittelwert über viele Beobachtungen)

13 Hermitesche Operatoren Analogie zwischen KM und QM
Messgröße KM-Beschreibung QM-Operator Ort Impuls Kinetische Energie Drehimpuls

14 Übung Analogie:

15 Harmonischer Oszillator

16 Harmonischer Oszillator mit Dämpfung

17 Harmonische Schwingungen
A = B :

18 Gedämpfte Schwingungen

19 Keine Randbedingung  alle Energien sind möglich
Freies Elektron (V=0) E Energiespektrum ist kontinuierlich Keine Randbedingung  alle Energien sind möglich

20 Elektron im Potentialtopf (1D)
V V = 0 freies Elektron x a Energie-Spektrum E n 25C 5 16C 4 9C 3 4C 2 1C 1 Randbedingung  Energiespektrum ist diskret

21 Elektron im Potentialtopf (1D)
Lösung für die Wellenfunktion y |y|2 x/a

22 Elektron im Potentialtopf (3D)
Orthogonale Lösung

23 Elektron im Potential eines harmonischen Oszillators
Harmonische Schwingung Gesamtenergie Potentielle und kinetische Energie

24 Elektron im Potential eines harmonischen Oszillators
Energie-Spektrum n 1 2 3 4 ½ ħ 3/2 ħ 5/2 ħ 7/2 ħ 9/2 ħ Energieniveaus sind voneinander equidistant entfernt, E = ħ

25 Elektron im Potential eines harmonischen Oszillators

26 Elektron im Potential eines harmonischen Oszillators

27 Potentialbarriere (Tunnel-Effekt)
Keine Randbedingung I II I II

28 Doppelte Potentialbarriere
II V(x) = V0 V(x) = 0 freies Elektron Energiespektrum aufgrund der Randbedingung, ähnlich wie bei der Potentialbarriere

29 Tunnel-Effekt Quanten-mechanischer Effekt
Klassisch: nur yI (einfache Welle und ihre Reflexion) Anwendung Tunnel-Diode STM (Rastertunnelmikroskopie) QW („quantum wall“)

30 Wasserstoffatom Sphärisch-symmetrisches Problem im Coulomb-Potential
Coulomb-Kraft Coulomb-Potential Stationäre Schrödinger-Gleichung

31 Wasserstoffatom Sphärische Koordinaten Radiusabhängig Winkelabhängig

32 Wasserstoffatom Winkelabhängiger Teil … Separationskonstante ℓ(ℓ+1)
Separation der Variablen; Separationskonstante m² Azimutalgleichung, () Polargleichung, () Beide Gleichungen sind im Zentralfeld vom Potential V(r) unabhängig

33 Wasserstoffatom Azimutalgleichung, ()
Spezielle Lösung für () – 2-periodisch (m … ganze Zahlen) Normierung Ergebnis m … magnetische Quantenzahl

34 Wasserstoffatom Polargleichung, ()
… Legendresche Differentialgleichung Verknüpft die Separationskonstanten ℓ(ℓ+1) und m² Lösung existiert nur für ℓ(ℓ+1) = 0, 2, 6, 12, 20, … (d.h. für ℓ = 0, 1, 2, 3, 4, …) ℓ … ganze Zahlen (Nebenquantenzahl, Bahndrehimpuls-Quantenzahl) Bedingung für m: … insgesamt (2ℓ+1) Werte

35 Wasserstoffatom Lösung der Polargleichung, ()
für m = 0  Legendre-Polynome: für m  0  zugeordnete Legendre-Polynome:

36 Wasserstoffatom Lösung der Polargleichung, (), normiert
Winkelabhängiger Teil, Yℓm(, )

37 Wasserstoffatom Radialgleichung … Separationskonstante ℓ(ℓ+1)
Effektives Potential

38 Analogie mit klassischer Mechanik
Rotationsenergie eines Teilchens KM QM ℓ … Bahndrehimpuls-Quantenzahl

39 Wasserstoffatom Lösung gibt es nur für: mit E1=-13.6 eV
n … Hauptquantenzahl ℓ … Bahndrehimpuls-Quantenzahl m … magnetische Quantenzahl

40 Termschema des Wasserstoffs
Fig. 28, Seite 69

41

42 Wasserstoffähnliche Atome H, He+, Li++ (1 Elektron)
Spektralserien des Wasserstoffs … Lyman … Balmer … Paschen … Brackett … Pfund

43 Spektralserien des Wasserstoffs
Lyman (UV): n l (nm) 2 121,5 3 102,5 4 97,2  91,2 Balmer: n l (nm) 3 656,3 4 486,2 5 434,1  364,6 Paschen (IR): n l (mm) 4 1,875 5 1,282 6 1,094  0,820

44 Vergleich der Energieniveaus in verschiedenen Potentialen
Fig. 29, Seite 70 Quantum walls Gitterschwingungen (thermische Eigenschaften) Wasserstoffatom


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