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Kapitel 2: Dynamik 2.3 Anwendungen (II): (Harmonische) Schwingungen.

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Präsentation zum Thema: "Kapitel 2: Dynamik 2.3 Anwendungen (II): (Harmonische) Schwingungen."—  Präsentation transkript:

1 Kapitel 2: Dynamik 2.3 Anwendungen (II): (Harmonische) Schwingungen

2 Wann brauche ich das ??? Auf der Schaukel, im Boot, beim Reden, beim Musizieren, beim Handy, Radio, elektronischen Geräten, um IR- und Raman-Spektren zu verstehen, Phononen im Festkörper, Anregungszustände von Mesonen, beim Autofahren... Schwingungen sind wichtig......aber sehen beim ersten Anblick mathematisch nicht ganz leicht zu behandeln aus... 2 Testfälle: mathematisches Pendel Federpendel

3 Zur Erinnerung: Mathematisches Pendel (Masse m an Faden der Länge l) Schritt 1: Kraft bestimmen ! F=-mg Komponente in Richtung des Fadens (kompensiert durch den Faden) ~cos Verbleibende, wirkende Komponente ~sin Es wirkt die Schwerkraft, aber sie wird zum Teil durch den Faden kompensiert. l

4 Schritt 2: Wie hängen s und zusammen ? Um die Gleichung dennoch lösen zu können, muß man nähern ! Idee: Lineare Näherung in der Umgebung einer Stelle durch Gerade mit der Steigung der Funktion an dieser Stelle Zu lösen ist also die Differentialgleichung: 2. Ableitung der Funktion ist ihr Sinus ??? Kaum (nicht) analytisch zu knacken ! in rad ! f(x) x0x0 f(x 0 ) x f(x) f(x 0 )+f(x 0 )(x-x 0 ) Für sin x um x 0 =0: f(x 0 )=0, f(x 0 )=1, sin x x

5 Schritt 3: Lösung der genäherten Differentialgleichung Zu lösen ist also die Differentialgleichung: d.h. wir suchen eine Funktion, deren 2. Ableitung proportional zum Negativen der Funktion ist ! Lösungsansatz: Raten ! Anpassung von A und an die Anfangsbedingungen: man kennt Ort und Geschwindigkeit zu t=0. Einsetzen u. ausrechnen !

6 Ein physikalisch ganz anderes Szenario: Federkräfte Hookesches Gesetz: Dehnt (oder drückt) man einen elastischen Körper, erzeugt er eine der Deformation entgegenwirkende Kraft, die zu der Dehnung (Stauchung) proportional ist: F(x)=-kx Die Größe k heißt Federkonstante. Welche Kräfte wirken, wenn ich eine bei x 0 im Gleichgewicht befindliche Feder um die Strecke x auslenke ? F(x)=-kx DGL: Die Lösung kennen Sie schon...

7 Kapitel 2: Dynamik 2.4 Beschleunigte Bezugssysteme

8 Bewegungen werden durch Kräfte verursacht !... oder der gleichförmig geradlinigen Bewegung ! Alltagserfahrung ! Ein Körper, auf den keine resultierende Kraft wirkt, befindet sich im Zustand der Ruhe Trägheitsgesetz oder 1. Newtonsches Axiom... Gilt aber nicht für Beobachter in beliebigen Systemen ! z.B. Flugzeug beim Start ! Allgemein: Nicht in beschleunig- ten Bezugssystemen. Systeme, in denen das Trägheits- gesetz erfüllt ist heißen Inertialsysteme. Was verursacht Bewegungen ?

9 Scheinkräfte ! A A A sieht eine Fallbewegung A A sieht außer dem Fall noch Bewegung durch Scheinkraft -ma

10 Spezialfall: (gleichförmige) Kreisbewegung Variablen x, y ? Besser: r, r Winkelgeschwindigkeit Problem: Wie geht das vektoriell ? kann kein Skalar sein, den Geschwindigkeits- und Radiusvektor stehen senkrecht aufeinander. Lösung: Kreuzprodukt ! Die Winkelgeschwindigkeit steht parallel zur Drehachse. Rechte-Hand-Regel zur Richtungsangabe !

11 A A P Q Q Corioliskraft

12 Spezialfall: (gleichförmige) Kreisbewegung Zentrifugalkraft Warum ist das beschleunigt ? Die Richtung des Geschwin- digkeitsvektors ändert sich ! v1 v0v0 s v Diese Winkel sind gleich, weil die Geschwindigkeits- vektoren jeweils senkrecht auf Radiusvektoren stehen. r STRAHLENSÄTZE !!!

13 Die Richtung der Beschleunigung ist auf das Zentrum des Kreises gerichtet. Diese Beschleunigung heißt Zentripetal- beschleunigung ! Um den Körper auf der Kreisbahn zu halten, muß daher eine Zentripetalkraft aufgebracht werden. Der mitbewegte Beobachter spürt eine Scheinkraft, die ihn vom Zentrum des Kreises wegzudrücken scheint, die Zentrifugal- kraft.


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