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11. Grundlagen der Quantenmechanik Klassische Mechnik Quantenmechanik Teilchen Punkt im Phasenraum Wellenfunktion Komplexwertig (r,t) Evolutions gleichung.

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Präsentation zum Thema: "11. Grundlagen der Quantenmechanik Klassische Mechnik Quantenmechanik Teilchen Punkt im Phasenraum Wellenfunktion Komplexwertig (r,t) Evolutions gleichung."—  Präsentation transkript:

1 11. Grundlagen der Quantenmechanik Klassische Mechnik Quantenmechanik Teilchen Punkt im Phasenraum Wellenfunktion Komplexwertig (r,t) Evolutions gleichung Hamilton GleichungenSchrödingergleichung Mess grössen Funktionen von r,p Operatoren Mögliche Messwerte: Eigenwerte

2 Zeitabhängige Schrödingergleichung: Komplexwertige Wellenfunktion (x,t) Beispiel: deBroglie Ebene Welle A(x,t) = A 0 cos(kx - t) Ansatz: Wiederholung komplexe Zahlen: Imaginärteil Realteil x t Beobachtbar: Vektorlänge Unsichtbar: Rotation mit t Für zeitunabhängiges Potential

3 Stationäre Schrödingergleichung Zeitabhängige Schrödingergleichung: Komplexwertige Wellenfunktion (x,t) Beispiel: deBroglie Ebene Welle A(x,t) = A 0 cos(kx - t) Für zeitunabhängiges Potential Ansatz: Beispiel 1: V(x)=0 Allgemeiner Ansatz: (x)=Ae ikx + B e -ikx Mit Zeitabhängigkeit: löst:

4 Darstellung einer Ebenen Welle im Ort (x) = e ikx = sin(x) + i cos(x) Realteil Imaginärteil -> | (x)| 2 = const. = 1 Graphik aus: Bern Thaller Visual Quantum Mechanics Alternative Darstellung: Farbkodierung der komplexen Zahlen | (x)| 2 = const. = 1

5 Aufbau eines Wellenpaketes (x) = e ikx d.h. die Phasengeschwindigkeit ist Energieabhängig -> Dispersion

6 Stationäre Schrödingergleichung Beispiel 2: Unendlicher Potentialkasten V(x)= 0 für 0·x¸L 1 sonst (x)=Ae ikx + B e -ikx (x·0)= (x¸L)=0 (x=0) = 0 ) A+B=0 ) (x)=A(e ikx - e -ikx )=2iA sin(kx) Randbedingung 1 (x=L) = 2iA sin(kL) = 0 ) kL= n (n=1,2,3...) Rand- bedingung 2 Quantenzahlen n Mögliche Energieniveaus in der Box: Stationäre Wellenfunktionen in der Box:

7 Stationäre Schrödingergleichung Mögliche Energienivieaus in der Box: Stationäre Wellenfunktionen in der Box: Bemerkungen: 1)Unschärfe Relation Ort/Impuls k= n /L (n=1,2,3...) 2)Nullpunktsenergie 3)Woher kommt die Quantisierung?? 4)Zeitentwicklung der Zustände? hängt von E n (n 2 ) ab!

8 Aufenthaltswahrscheinlichkeit Real Imaginärteil

9 Stationäre Schrödingergleichung Mögliche Energienivieaus in der Box: Stationäre Wellenfunktionen in der Box: Bemerkungen: 1)Unschärfe Relation Ort/Impuls k= n /L (n=1,2,3...) 2)Nullpunktsenergie 3)Woher kommt die Quantisierung?? 4)Zeitentwicklung der Zustände? 5) Was passiert wenn man andere Energie, Wellenfunktion erzwingt? z.B. Barriere aufziehen?

10 Teilchen in 2 dim Potentialtopf (k x, k y ) = (0.86, 0.5) ( x, y ) = (2, 2 )

11 Imagine a quantum particle initially described by a Gaussian wave packet centered at the middle of a square box, with momentum zero. WAS PASSIERT??

12 (II) Bereich (II): Stationäre Schrödingergleichung Potentialstufe x E(x) E0E0 (I) Bereich (I): V(x)=0 ) (x)=A e ikx + B e -ikx 2 (x)=C e i x + D e -i x (x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) I (x=0)= II (x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)=- (C-D) (ii)

13 reel ) C=0 weil sonst II (x!1) divergiert (II) (I) Stationäre Schrödingergleichung Potentialstufe x E(x) E0E0 Bereich (I): V(x)=0 ) (x)=A e ikx + B e -ikx Bereich (II): 2 (x)=C e i x + D e -i x (x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) I (x=0)= II (x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)=- (C-D) (ii) Fall a) E

14 (II) (I) Stationäre Schrödingergleichung Potentialstufe x E(x) E0E0 Bereich (I): V(x)=0 ) (x)=A e ikx + B e -ikx Bereich (II): 2 (x)=C e i x + D e -i x (x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) I (x=0)= II (x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)=- (C-D) (ii) Fall a) E ~

15 (II) (I) Stationäre Schrödingergleichung Potentialstufe x E(x) E0E0 Bereich (I): V(x)=0 ) (x)=A e ikx + B e -ikx Bereich (II): 2 (x)=C e i x + D e -i x (x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) I (x=0)= II (x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)=- (C-D) (ii) Fall b) E>E 0 klassisch: Teilchen fliegt mit verminderter Geschwindigkeit weiter

16 (x)=C e -ikx + D e ikx C=0, da keine Teilchen in (II) nach links fliegen C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=-k (A+B) ) (II) (I) Stationäre Schrödingergleichung Potentialstufe x E(x) E0E0 Bereich (I): V(x)=0 ) (x)=A e ikx + B e -ikx Bereich (II): 2 (x)=C e i x + D e -i x (x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) I (x=0)= II (x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)=- (C-D) (ii) Fall b) E>E 0

17 (II) (I) Stationäre Schrödingergleichung Potentialstufe x E(x) E0E0 Bereich (I): V(x)=0 ) (x)=A e ikx + B e -ikx Bereich (II): 2 (x)=C e i x + D e -i x I (x=0)= II (x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)=- (C-D) (ii) Fall b) E>E 0 (x)=C e -ikx + D e ikx C=0, da keine Teilchen in (II) nach links fliegen C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=-k (A+B) ) 1.Auch wenn E>E 0 wird ein Teil der Welle reflektiert! (Je mehr, je höher E_ 0 ) 2.Wellenfunktion |A| 2 |B| 2 |D| 2

18 (II) (I) Stationäre Schrödingergleichung Potentialstufe x E(x) E0E0 Bereich (I): V(x)=0 ) (x)=A e ikx + B e -ikx Bereich (II): 2 (x)=C e i x + D e -i x |A| 2 |B| 2 |D| 2 (x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) I (x=0)= II (x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)=- (C-D) (ii) 1.Auch wenn E>E 0 wird ein Teil der Welle reflektiert! (Je mehr, je höher E_ 0 ) 2.Wellenfunktion

19 Wellenpaket, Potentialstufe E = ½ E kin Ort Impuls + auf Stufe zu - reflektiert Klassisches Teilchen würde mit 1/2E kin weiterlaufen!

20 Wellenpaket, Potentialstufe BERGAB! Klassisches Teilchen würde beschleunigt weiterlaufen!

21 Potentialstufe in 2 Dimensionen Farbcode: Farbe: Phase Sättigung: Amplitude

22 Stationäre Schrödingergleichung Tunneleffekt (II) (I) x E(x) E0E0 Idee: kann man die Welle freisetzen??

23 Stationäre Schrödingergleichung Tunneleffekt (I) (II) (III) x 0a E0E0 (x)=A e ikx + B e -ikx (x)=C e i x + D e -i x (x)=A e ikx Randbedingungen: I (0)= II (0), II (a)= III (a) Transmissionskoeffizient (E>1 (dicke Barriere) Höhe 0.3eV, Breite 1nm

24 Transmission hängt ab von: 1.Barrierenhöhe (Exponentiell) 2.Barrierenbreite 3.Masse Makroskopisch irrelevant

25 E kin

26 x (I) (II) (III) 0a E0E0 Wellenfunktion und Transmission als Funktion der Barrierenhöhe

27 V = 2E, d = Überhöht Tunneln eines Wellenpaketes

28 Mittlere Energie des Wellenpaketes Tunnels eines Gauss Wellenpaketes im Ortsraum

29 Orts und Impulsraum:

30 Mittlere Energie nahe an Schwellenhöhe Durch Mehrfachreflexionen wird ein Teil der Wellenfunktion für einige Zeit unter der Barriere gefangen


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