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Anwendungen Tunneleffekt in Beispielen: 11.5.1. Alpha Zerfall von Kernen 11.5.2. Raster Tunnel Mikroskop.

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Präsentation zum Thema: "Anwendungen Tunneleffekt in Beispielen: 11.5.1. Alpha Zerfall von Kernen 11.5.2. Raster Tunnel Mikroskop."—  Präsentation transkript:

1 Anwendungen Tunneleffekt in Beispielen: Alpha Zerfall von Kernen Raster Tunnel Mikroskop

2 Alpha Zerfall: Pollonium 212 Po -> Pb MeV 208 Pb He Kernkräfte Coulombabstossung Tunnel- wahrscheinlichkeit Coulomb versus Kasten!

3 Raster Tunnel Mikroskopsiehe: 3.4. Verschiebung mit Piezos 3 Dimensional Dämpfung!!! Messung des Tunnelstroms (wird konstant gehalten durch Höhenvariation) Elektronen in Metallspitze quasi frei Wand: Potentialstufe Zwischenraum: Potentialbarriere x 0a Spitze Substrat Zwischenraum Graphik aus: Bern Thaller Visual Quantum Mechanics

4 Raster Tunnel Mikroskopsiehe: 3.4. Verschiebung mit Piezos 3 Dimensional Dämpfung!!! Messung des Tunnelstroms (wird konstant gehalten durch Höhenvariation) Graphik aus: Bern Thaller Visual Quantum Mechanics

5 11.6. Der Harmonische Oszillator Klassische Lösung: harmonische Schwingung Oszillation zwischen E kin und E pot Stationäre Schrödingergleichung: Potential: E n n 2 E(x) E0E0

6 11.6. Der Harmonische Oszillator Klassische Lösung: harmonische Schwingung Oszillation zwischen E kin und E pot Stationäre Schrödingergleichung: Potential: Substituiere: Lösung für C=1 E=1/2 ~ (x) (x)| 2 Gausskurve: 1.Tunnels in den klassich verbotenen Bereich 2.Maximale Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei 0 (Hier ist klassisch ein Minimum!)

7 11.6. Der Harmonische Oszillator Klassische Lösung: harmonische Schwingung Oszillation zwischen E kin und E pot Stationäre Schrödingergleichung: Potential: Substituiere: Lösung für C=1 E=1/2 ~ Hermitesche Polynome

8 Harmonischer Oszillator: 1.Energieniveus äquidistant (~ ) 2.Nullpunkstenergie 1/2 (~ ) Kastenpotential: E n n 2 Bohrsche Atom: E n 1/n 2

9 Plancksches Strahlungsgesetz Rayleigh, Jeans Strahlungsgesetzt Plancks Annahme: harmonischer Oszillator kann nicht kontinuierlich absorbieren, sonder nur E= nh diskret

10 Vergleich QM – Klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit =20 =4 =0

11 Überlagerung von Zuständen 0,1 Ort Impuls Merke: Grosse Auslenkung Kleiner Impuls!

12 Kohärenter Zustand: Versuch den klassischen Oszillator nachzubilden Gauss: läuft NICHT ausseinander (dank Potential) Wellenpaket im Impuls und Ortsraum

13 12. Das Wasserstoff Atom Bewegung im Zentralfeld Stationäre Schrödingergleichung in 3 Dimensionen Sphärische Polarkoordinaten Kugelkoordinaten: x=r sin cos y= r sin sin Z=r cos (x,y,z) ! ( R,, ) Breitengrade

14 Stationäre Schrödingergleichung für Zentralpotential in Kugelkoordianten Produktansatz: (r,, )= R(r) T( ) P( ) Hängt nur von r, ab Hängt nur von ab ) Beide Seiten müssen konstant sein C 1 Lösung: Da die Funktion eindeutig sein muß, soll gelten: P( )=P( + n ) Teilen durch Ganzzahlig (m) m 2 Z

15 Stationäre Schrödingergleichung für Zentralpotential in Kugelkoordianten Hängt nur von r, ab Hängt nur von ab ) Beide Seiten müssen konstant sein C 1 Lösung: Da die Funktion eindeutig sein muß, soll gelten: P( )=P( + n ) Teilen durch Ganzzahlig (m) m Z C 1 = m l 2 umsortieren, nach r und hängt nur von r ab hängt nur von ab ) Beide Seiten müssen konstant sein C 2 substituiere =cos ! Legendresche Differentialgleichung Allgemeine Lösung: Zugeordnete Kugelfunktionen P l m C 2 = l(l+1), l 2 N T=P l m (cos( )) T( ) P( ) = P l m (cos( )) e im Y l m (, ) Kugelflächenfunktionen Produktansatz: (r,, )= R(r) T( ) P( )

16 Zwischenbetrachtung: Drehimpuls in der Quantenmechanik Physikalische Größe Operator

17 Zwischenbetrachtung: Drehimpuls in der Quantenmechanik Physikalische Größe Operator

18 l = 0,1,2,3.... Drehimpulsquantenzahl -l ~ l z l y > ~ l x l x > ~ Unschärferelation im Drehimpuls:2 dimensionale Welt? m~m~ z x,y Komponente unbestimmt Beispiel l=2 m=-2,-1,0,1,2

19 1.Länge des Drehimpulsvektors ist quantisiert! 2.kann nicht beliebig im Raum stehen: Richtung ist quantisiert! Was ist die z (Quantisierungsachse)?

20 Stationäre Schrödingergleichung für Zentralpotential in Kugelkoordianten Produktansatz: (r,, )= R(r) T( ) P( ) Hängt nur von r, ab Hängt nur von ab ) Beide Seiten müssen konstant sein C 1 Lösung: Da die Funktion eindeutig sein muß, soll gelten: P( )=P( + n ) Teilen durch Ganzzahlig (m) m Z C 1 = m l 2 umsortieren, nach r und hängt nur von r ab hängt nur von ab ) Beide Seiten müssen konstant sein C 2 substituiere =cos ! Legendresche Differentialgleichung Allgemeine Lösung: Zugeordnete Kugelfunktionen P l m C 2 = l(l+1), l 2 N T=P l m (cos( )) T( ) P( ) = P l m (cos( )) e im Y l m (, ) Kugelflächenfunktionen C 2 = l (l+1)

21 auflösen Für r! 1 vernachlässige 1/r und 1/r 2 Vollständige Lösung (Laguerre Polynome): negativ hängen von n&l ab Beschränkung für l l<0,1,2,... n Wie Bohrmodel!hängt NICHT von l ab

22 nlm (r,, )= R nl (r) T( ) lm P m ( ) = R nl (r) Y lm ( ) Hauptquantenzahln = 1,2,... Drehimpulsl = 0,1,2,3,4... (n-1) magnetisch (Projektion des Drehimpulses) -l · m · l Quantenzahlen:Symbol s,p,d,f Grundzustand n=1 l=0 m=0 keine Bohrsche Kreisbahn! KEIN Drehimpuls. n=2 l=0 m=0 l=1 m=-1 m=0 m=1 Entartet (gleiche Energie) n 2 Möglichkeiten

23 nlm (r,, )= R nl (r) T( ) lm P m ( ) = R nl (r) Y lm ( ) |R nl (r)| 2 Wahrscheinlichkeit ein Elektron in einem Volumenelement am Abstand r zu finden r|R nl (r)| 2 Wahrscheinlichkeit ein Elektron in einer Kugelschale bei r zu finden Höchste Dichte am Kern! Maximum beim Bohrschen Radius

24 nlm (r,, )= R nl (r) T( ) lm P m ( ) = R nl (r) Y lm ( ) |R nl (r)| 2 Wahrscheinlichkeit ein Elektron in einem Volumenelement am Abstand r zu finden r|R nl (r)| 2 Wahrscheinlichkeit ein Elektron in einer Kugelschale bei r zu finden 1 Knoten!

25 klassisch verbotener Bereich Tunneln Fragen: Wie kommen die e wieder zurück? Sind sie dort schnell oder langsam?

26 Y 00 = C 1 Y 10 = C 2 cos Y 11 = C 3 sin e i Y 20 =C 4 (2cos 2 –sin 2 ) Y 21 =C 5 (cos –sin e i Y 22 =C 6 sin 2 e 2i nlm (r,, )= R nl (r) T( ) lm P m ( ) = R nl (r) Y lm ( ) Polardarstellung: Abstand von (0,0) ist Funktionswert Z-Achse (Quantizierungsachse)

27 Y 00 = C 1 Y 10 = C 2 cos Y 11 = C 3 sin e i Y 20 =C 4 (2cos 2 –sin 2 ) Y 21 =C 5 (cos –sin e i Y 22 =C 6 sin 2 e 2i nlm (r,, )= R nl (r) T( ) lm P m ( ) = R nl (r) Y lm ( ) Polardarstellung: Abstand von (0,0) ist Funktionswert Z-Achse (Quantizierungsachse)

28 Verbreitete Darstellung: Form nur Stilisiert Sind nicht gleichzeitig messbar

29 Vergleich Bohrsches Atommodell - Quantenmechanik verschmiertPlanetenbahnen r n =a 0 /Z n 2 kann bei r=0 maximal sein0 bei r=0 rnrn Drehimpuls r-Abhängigkeit Radius Dichte BohrQuantenmechanik L=n~


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