Die Kräfte sind bekannt

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1 Die Kräfte sind bekannt
Klassische Mechanik Der Zustand eines Systems (z. B. eines Teilchens) wird mit den dynamischen Variablen (Koordinaten und Impulsen) beschrieben Die dynamischen Variablen können beliebig genau gemessen werden ohne das das System gestört wird Wenn die Anfangsbedingungen (dynamische Variablen in t = 0) und die Kräfte bekannt sind, ist es möglich die Bewegungsgleichungen zu lösen und die Zukunft (und die Vergangenheit) des Systems genau zu bestimmen. (mechanischer Determinismus/Kausalität) Gleichungen Die Kräfte sind bekannt Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

2 Newtonsche Gleichung Newtonsche Gleichung Potentielle Kraft
Differentialgleichung zweiter Ordnung, r(t) Unbekannte Funktion Kraft Beschleunigung U=mgx Potentielle Kraft F=mg Potential v x Konservative Kraft – Potentielle Energie ist Zeitunabhängig Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

3 Kinetische Energie Kinetische Energie x(0)=0 U(0) f x(dt)=dx U(dx)
Wegen der Newtonschen Gleichung Mechanische Arbeit der Kraft f auf dem Weg dx = Zuwachs der kinetischen Energie Summe der kinetischen und potentiellen Energie ist konstant Mechanische Arbeit = - Änderung der potentiellen Energie Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

4 Lagrange Funktion (nichtrelativistische klassische Mechanik)
Potentielle Energie Kinetische Energie Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

5 Generalisierte Koordinaten
x φ y n <= 3 Zwei gleiche Indizes fett geschrieben - Summe Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

6 Wirkungsintegral und Hamiltonsches Prinzip
x(0)=0 f Beliebige Zeitfunktion Der eigentliche Weg x(t0) = x0 Wirkungsintegral x0 t0 Der Wirkungsintegral hat einen Extremwert wenn q dem eigentlichen Weg gleich ist Jede kleine Variation des q(t) ergibt in erster Ordnung δw = 0. Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

7 Lagrange Gleichungen q0 t0
Wir variieren die q(t) δq(t0) = δq(0) = 0 q0 t0 Lagrange Gleichungen Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

8 Lagrange Gleichungen (Beispiel)
φ Lagrange Gleichungen Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

9 Hamiltonsche Gleichungen
Lagrange-Gleichung - differentialgleichung zweiter Ordnung Wir versuchen aus LG zwei Gleichungen erster Ordnung herzuleiten… Kanonischer Impuls wird definiert Es ist möglich die Lagrange Funktion als Funktion von Impulsen und Koordinaten darzustellen Hat die Form Es fehlt noch… Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

10 Hamiltonsche Gleichungen (2)
Definition – Kanonischer Impuls Wir leiten die zweite Gleichung her… Erste Gleichung Variieren wir Lagrange-Funktion Wir definieren die Hamiltonsche Funktion Hamiltonsche Gleichungen Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

11 Physikalische Bedeutung der Hamiltonschen Funktion
und ergibt Definition des Impulses Definition der Hamiltonschen Funktion Zweifache kinetische Energie Hamiltonsche Funktion stellt die Gesamtenergie des Systems dar Für die Kartesische Koordinaten gilt: und Kanonische Impulse sind den gewöhnlichen Impulsen gleich Daraus folgt Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

12 Poisson-Klammer Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Zwei Funktionen der Kanonischen Impulse und Koordinaten Eine nicht explizit Zeitabhängige Funktion F dynamischer Variablen p und q ändert Ihren Wert nicht wenn [F, H] = 0 F ist dann eine Konstante der Bewegung (Erhaltungsgröße) Gesamtenergie bleibt erhalten Impulskomponente bleibt erhalten wenn in dieser Richtung keine Kraft wirkt Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

13 Lineare Vektoralgebra
Vektoren Vektorraum Folgendes wird definiert: Addition Addition ist kommutativ Multiplikation mit einer komplexen Zahl Assoziativgesetz, Distributivgesetz Linearunabhängige Vektoren (Definition) Ein Vektorraum mit nicht mehr als M linearunabhängigen Vektoren ist M-dimensional Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

14 Vektoralgebra (Skalarprodukt)
Skalarprodukt (Innenprodukt) ist eine komplexe Zahl. Es gilt: λ = Norm Norm = 1, normierter Vektor orthogonale Vektoren Ein Vektorraum mit definiertem Skalarprodukt definieren wir hier als Hilbert-Raum Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

15 Darstellung des Vektors in einer Basis
M Linearunabhängige Vektoren eines M-dimensionalen Raums bilden eine Basis Jeder Vektor dieses Raums kann als lineare Kombination der Basisvektoren dargestellt werden Eine orthonormale Basis Die Koeffizienten können wie folgend berechnet werden Für einen normierten Vektor φ gilt Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

16 Operator Operator (Abbildung) Linearer Operator
Vektor Operator (Abbildung) Linearer Operator Zwei Operatoren sind nicht immer miteinander vertauschbar Kommutator Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

17 Hermitesche Operatoren und Eigenwert
ist adjungiert von ist selbstadjungiert (ähnlich wie hermitesch) Eigenwert Problem Eigenwert Eigenfunktion Die Menge aller Eigenwerte eines Operators bildet sein Spektrum Wenn mehrere Eigenvektoren demselben Eigenwert entsprechen, dann ist dieser Eigenwert entartet Das Spektrum kann diskret oder kontinuierlich sein Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

18 Eigenschaften Hermitescher Operatoren
Eigenwerte eines hermiteschen Operators sind reell Beweis: Konjugation Eigenfunktionen mit unterschiedlichen Eigenwerten sind orthogonal Beweis: Konjugation am ist reell Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

19 Kommutierende Operatoren
Einen Operator nennt man Observable wenn seine Eigenvektoren eine orthonormale Basis darstellen. Wenn zwei Operatoren kommutieren, haben sie wenigstens eine Menge gemeinsamer Eigenvektoren die eine Basis bilden Wenn zwei oder mehr Operatoren kommutieren und es gibt keinen weiteren Operator der mit ihnen kommutiert, bilden sie einen vollständigen Satz kommutierender Operatoren. Diese Operatoren haben eine eindeutige Menge gemeinsamer Eigenvektoren die eine Basis bildet. Die Angabe der Eigenwerte aller dieser Operatoren ausreicht, um (bis auf einen Faktor) eindeutig einen gemeinsamen Eigenvektor zu bestimmen. Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

20 Darstellung in einer Basis und Operator
Jede beliebige Form kann auf die Grundformen zerlegt werden Basisvektoren Grundformen = 5X + 4X + 1X Mit 1 multiplizieren Mit 2 multiplizieren Mit 3 multiplizieren… Regel der Abbildung „A“ A = 5X + 8X + 3X Der Operator A erkennt die Grundformen und ändert ihren Anteil Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

21 Regel der Abbildung „A“
Eigenwert So werden die Basisvektoren abgebildet: Basisvektoren (Grundformen) Eigenwert Eigenvektor A 1 A 3 Mit 1 multiplizieren Mit 2 multiplizieren Mit 3 multiplizieren… Regel der Abbildung „A“ Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

22 Kommutierende Operatoren
Zur Darstellung von Formen in Farbe brauchen wir mehr Basisvektoren: A Entartung des Eigenwerts „1-Viereck“ Die Angabe die Formen reicht nicht aus um einen Basisvektor zu definieren 1 A 1 A 1 Wir führen einen anderen Operator ein, der die Farben erkennt Der neue Operator B kommutiert mit dem Operator A und hat identische Eigenvektoren B Mit zwei Eigenwerten ist ein Basisvektor eindeutig definiert (1-Viereck, Blau) Blau B Rot Die zwei Operatoren bilden einen vollständigen Satz kommutierender Operatoren B Gelb Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

23 Postulate der Quantenmechanik
Zustand eines Teilchens (Systems) wird durch einen normierten Vektor aus dem Hilbert Raum aller Zustände beschrieben Wenn zwei Vektoren sich nur durch die Konstante eiφ (Phase) unterscheiden, stellen sie den gleichen Zustand dar. Falls ein System sich in den Zuständen f1 und f2 befinden kann, ist c1 f1 + c2 f2 auch ein möglicher Zustand dieses Systems Dirac Notation BracKet Ein Vektor Zustandsvektor Jedem Ket Vektor entspricht ein Bra Vektor Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

24 Für hermitesche Operatoren gilt
Dirac-Notation Dirac Notation Für hermitesche Operatoren gilt Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

25 Darstellung in Basis Darstellung des Vektors in einer Basis
Mathematische Notation Dasselbe in Dirac Notation Zerlegung mit Basisvektoren Basisvektoren sind orthonormal Dann gilt… Einheitsoperator Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

26 Darstellung in Basis Einheitsoperatoren Matrix Form Bra Vektor wird durch eine Spaltenmatrix dargestellt Ket Vektor wird durch eine Zeilenmatrix dargestellt Operator wird durch eine quadratische Matrix dargestellt Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

27 Messgrößen und Observablen
Jeder Messgröße (dynamischer Variable) ist ein Operator (Observable) zugeordnet. Zu klassischen Koordinaten und Impulsen sind Operatoren zugeordnet Klassische dynamische Variablen lassen sich als Funktionen von p und x darstellen Pissson Klammer Kommutator Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

28 Messergebnisse und Eigenwerte
Das Ergebnis der Messung einer dynamischen Variable ist ein Eigenwert der zugeordneten Observable. Wenn die Observable diskretes Spektrum hat, geben die Messungen entsprechender Größe diskrete Werte. Die Wahrscheinlichkeit im Zustand ψ den Eigenwert ai zu messen Die Eigenvektoren einer Observable bilden eine Basis. Deswegen kann man schreiben: Für einen Vektor mit Norm = 1 gilt: Und es gilt: Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

29 Reduzierung des Wellenpakets
Annahme: Ein System befindet sich in dem Zustand: Die Messung der Variable A gibt dann ganz sicher das Ergebnis ai Annahme: Das System befindet sich in dem Zustand Die Messung der Variable A gibt Ergebnis ai. Die Messung überführt das System in den neuen Zustand: Projektor Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

30 Reduzierung des Wellenpakets
Messergebnis Wahrscheinlichkeit dass eine Messung auf φ die FormX gibt Anfangszustand Durch die Messung wird der Zustand des Systems in einen Eigenzustand der Observable übeführt Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

31 Kommutierende Observablen
Zu den dynamischen Variablen A und B sind zwei Observablen zugeordnet Wenn die Observablen kommutieren, gibt es wenigstens eine Basis gemeinsamer Eigenvektoren Dann gibt es einen Zustand Index i kennzeichnet die unterschiedlichen Basisvektoren im Fall von Entartung. Entartung ist ein Zeichen dafür dass es noch andere Operatoren gibt, die mit A und B kommutieren. A und B stellen keinen vollständigen Satz kommutierender Operatoren in welchem die Messung der Variable A immer das Ergebnis am und die Messung der Variable B immer das Ergebnis bn gibt. - Die Ergebnisse hängen von Reihenfolge der Messungen nicht ab - Die Observablen A und B sind kompatibel. Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

32 Kommutierende Observablen
Das Messergebnis ist im voraus bestimmt Das System befindet sich in dem gemeinsamen Eigenzustand zweier kommutierenden Operatoren Die Messungen geben immer die gleichen Ergebnisse, „rot“ und „FormX“ Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

33 Nichtkommutierende Observablen
Die zwei Operatoren (Form- und Farbenerkennung) kommutieren hier nicht. Sie haben keine gemeinsamen Eigenzustände. Jede Messung überführt das System in den Eigenzustand der (zu der Messgröße zugeordneten) Observable. Die Messergebisse können nicht präzise vorausgesagt werden. Wenn die Observablen nich kommutieren, haben sie keine gemeinsamen Eignvektoren. Die Variablen können nicht durch wiederholte Messungen genau bestimmt werden Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

34 Schrödinger Gleichung
Die Zeitentwicklung eines Systems wird durch die Schrödinger-Gleichung beschrieben Partielle Differentialgleichung Hamiltonoperator ist eine Observable. Sie ist der Gesamtenergie des Systems zugeordnet. t Kennen den Zustand eines Systems in t = t0, dann können wir die Zeitenwicklung des Systems berechnen. QM Determinismus. Zeitenwicklung ist bestimmt wenn wir das System alleine lassen, d.h. keine Messungen auf dem System durchführen. Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

35 Wellenfunktion Koordinate ist eine Observable. Deren Eigenvektoren bilden eine Basis. I (Einheitsoperator) Für diskrete Eigenwerte gilt: 1) W(ai) – Wahrscheinlichkeit dass eine Messung einen bestimmten Wert ai gibt 2) I – Einheitsoperator 3) Vektoren sind Orthonormal (Die Norm=1) Spektrum ist kontinuierlich Wahrscheinlichkeit dass sich das Teilchen in der Umgebung von x befindet Die entsprechende Formel im Fall des kontinuierlichen Spektrums W(x0) -Wahrscheinlichkeit dass sich Teilchen im Bereich (x0, x0 + dx) befindet. Die Norm ist mit Dirac‘scher Delta Funktion definiert Wir definieren die Wellenfunktion Wellenfunktion ist Ket Vektor in Koordinatendarstellung Wahrscheinlichkeit dass sich das Teilchen in der dx Umgebung von x befindet Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

36 Koordinatenoperator Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Finden wir den Koordinatenoperator in Koordinatendarstellung Matrixelement des Operators x in Koordinatendarstellung Es gilt auch: Eigenwert-Gleichung Und: Definition der Wellenfunktion Koordinatenoperator in Koordinatendarstellung Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

37 Wellenfunktion und die Wahrscheinlichkeit
Rechnen wir die Wahrscheinlichkeit aus dass sich das Teilchen irgendwo in gesamtem Raum befindet Ändert sich diese Wahrscheinlichkeit wenn man Schrödinger Gleichung anwendet? Schrödinger Gleichung und die Wahrscheinlichkeit Die Norm des Vektors ändert sich nicht. Wahrscheinlichkeit für Gesamtraum bleibt 1. Beweis Schrödinger Gleichung für Ket Vektor Schrödinger Gleichung für Bra Vektor H ist hermitesch Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

38 Wichtige Operatoren in Koordinatendarstellung
Es gilt Koordinatendarstellung Koordinatenoperator Impulsoperator Klassisch Hamiltonfunktion/Operator Quantenmechanisch Quantenmechanisch Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

39 Schrödinger Gleichung in Koordinatendarstellung
Multiplizieren wir die beiden Seite der Gleichung mit dem unitären Operator (Die rechte Seite zweimal…). Schrödinger Gleichung in Koordinatendarstellung Koordinaten und Zeit sind hier unabhängige Variablen. Es gilt nicht x=x(t) wie in klassischer Mechanik Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

40 Lösung der Schrödinger Gleichung
Finden wir die Lösung für den Fall: Potentialenergie hängt nicht explizit von der Zeit ab Wir können die Raumkoordinaten und Zeit trennen Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

41 Lösung der Schrödinger Gleichung
Die linke Seite hat nur Zeit als Variable, die rechte nur Koordinaten. Zeit und Raumkoordinaten sind in QM unabhängig. Beide Seiten sind daher Konstanten (En), sonst wären sie nicht immer und überall gleich. Die Zeitabhängige Gleichung hat die einfache Lösung Die koordinatenhängige Gleichung ist das Eigenwertproblem des Hamiltonoperators. Die Konstante En ist daher die Gesamtenergie des Systems. Index i kennzeichnet die unterschiedlichen Funktionen im Fall von Entartung. Entartung ist vorhanden wenn es andere Operatoren gibt die mit dem Hamiltonoperator kommutieren Die Gesamtlösung hat die Form Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

42 Zeitentwicklung eines Systems
(1) Lösung der Schrödinger Gleichung Finden wir die Zeitentwicklung eines Systems im Zustand beschrieben mit der Wellenfunktion φ(x) in t=0 sind die Eigenfunktionen der Hamiltonoperators in Koordinatendarstellung. Diese Funktionen bilden eine Basis. Deswegen gilt: (2) In Dirac Notation: Die Koeffizienten können wie folgend berechnet werden Durch Vergleich (2) mit (1) bekommen wir: Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

43 Messung der Koordinate
Stationäre Zustände Messung der Koordinate 1. Energiemessung E=E0 2. Energiemessung E=E0 Zeitenwicklung Betrag der Wellenfunktion Keine Zeitenwicklung Ab der 1. Energiemessung befindet sich das System im Eigenzustand des Operators H. In dem Zustand ändert sich nur die Phase das Zustandsvektors. Das hat als Folgen: 1) alle physikalischen Eigenschaften des Systems bleiben konstant. 2) jede nachfolgende Energiemessung gibt immer dasselbe Ergebnis – den gleichen Eigenwert. Aus den Gründen nennt man die Eigenzustände des Hamiltonoperators stationäre Zustände Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

44 Ein Test für Stabilität (Nyquist)
Verstärkung mit RK Die Voraussetzung: Q(z) und M(z) haben keine Wurzel mit dem positiven Reellteil Stabilitätsbedingung: Die Funktion im Nenner darf keine Wurzel in der positiven komplexen Halbebene haben Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

45 Die komplexe Analyse Die Funktion ist Analytisch wenn die Ableitung immer gleich bleibt, egal von welcher Richtung sich z zum a nähert Eine Komplexe Funktion der komplexen Variable z Im z a Ableitung wird definiert Re Einige Wichtige analytische Funktionen Cauchy‘sche Integralformel Definition, Nullstelle n-ter Ordnung Definition, Polstelle p-ter Ordnung Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

46 Nullstellen und Polstellen
Einige Definitionen Cauchy Das Integral ist die Phasenänderung der Funktion f(z) während der Integration auf Kontur Γ z2 z3 f(z2) Nullstelle z1 f(z1) f(z3) Polstelle Es folgt: Anzahl von Umdrehungen des Phasenvektors um 0 ist N-Z Anzahl von Nullstellen – Anzahl von Polstellen der Funktion f(z) innerhalb Kontur Γ Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

47 Nullstellen und Polstellen
z3 z2 1+T(z2) z1 1+T(z1) 1+T(z3) Die Phasenänderung der 1+T(z) für z auf dem Kreis ist 0 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

48 Nullstellen und Polstellen
z2 z2 T(z2) 1+T(z2) T(z1) z1 1+T(z1) z1 -1 1+T(z) T(z) Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

49 Nyquist‘scher Test z2 z2 T(z2) T(z1) T(z2) T(z1) z1 -1 z1 -1 Kreis um 0 mit R=1 Bei |T(iy0)|=1 darf die Phasenänderung T(iy0)-T(0) nicht weniger als -180 Grad sein Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs