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1Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Klassische Mechanik Der Zustand eines Systems (z. B. eines Teilchens) wird mit den dynamischen Variablen.

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1 1Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Klassische Mechanik Der Zustand eines Systems (z. B. eines Teilchens) wird mit den dynamischen Variablen (Koordinaten und Impulsen) beschrieben Wenn die Anfangsbedingungen (dynamische Variablen in t = 0) und die Kräfte bekannt sind, ist es möglich die Bewegungsgleichungen zu lösen und die Zukunft (und die Vergangenheit) des Systems genau zu bestimmen. (mechanischer Determinismus/Kausalität) Die dynamischen Variablen können beliebig genau gemessen werden ohne das das System gestört wird Gleichungen Die Kräfte sind bekannt

2 2Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Newtonsche Gleichung Potentielle Kraft Konservative Kraft – Potentielle Energie ist Zeitunabhängig Potential Differentialgleichung zweiter Ordnung, r(t) Unbekannte Funktion F=mg U=mgx Beschleunigung Kraft x v

3 3Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Kinetische Energie U(0) Wegen der Newtonschen Gleichung Mechanische Arbeit der Kraft f auf dem Weg dx = Zuwachs der kinetischen Energie U(dx) f x(dt)=dx x(0)=0 Mechanische Arbeit = - Änderung der potentiellen Energie Summe der kinetischen und potentiellen Energie ist konstant

4 4Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Lagrange - Funktion Lagrange Funktion (nichtrelativistische klassische Mechanik) Kinetische Energie Potentielle Energie

5 5Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Generalisierte Koordinaten φ x y n <= 3 Zwei gleiche Indizes fett geschrieben - Summe

6 6Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Wirkungsintegral und Hamiltonsches Prinzip f x(t 0 ) = x 0 x(0)=0 t0t0 x0x0 Wirkungsintegral Der eigentliche Weg Der Wirkungsintegral hat einen Extremwert wenn q dem eigentlichen Weg gleich ist Beliebige Zeitfunktion Jede kleine Variation des q(t) ergibt in erster Ordnung δw = 0.

7 7Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Lagrange Gleichungen t0t0 q0q0 Wir variieren die q(t) δq(t 0 ) = δq(0) = 0 Lagrange Gleichungen

8 8Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Lagrange Gleichungen (Beispiel) Lagrange Gleichungen φ

9 9Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Hamiltonsche Gleichungen Lagrange-Gleichung - differentialgleichung zweiter Ordnung Wir versuchen aus LG zwei Gleichungen erster Ordnung herzuleiten… Kanonischer Impuls wird definiert Es ist möglich die Lagrange Funktion als Funktion von Impulsen und Koordinaten darzustellen Hat die FormEs fehlt noch…

10 10Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Hamiltonsche Gleichungen (2) Definition – Kanonischer Impuls Erste Gleichung Wir leiten die zweite Gleichung her… Variieren wir Lagrange-Funktion Wir definieren die Hamiltonsche Funktion Hamiltonsche Gleichungen

11 11Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Physikalische Bedeutung der Hamiltonschen Funktion undergibt Definition des Impulses Definition der Hamiltonschen Funktion Zweifache kinetische Energie Hamiltonsche Funktion stellt die Gesamtenergie des Systems dar Für die Kartesische Koordinaten gilt: und Daraus folgt Kanonische Impulse sind den gewöhnlichen Impulsen gleich

12 12Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Poisson-Klammer Zwei Funktionen der Kanonischen Impulse und Koordinaten Eine nicht explizit Zeitabhängige Funktion F dynamischer Variablen p und q ändert Ihren Wert nicht wenn [F, H] = 0 F ist dann eine Konstante der Bewegung (Erhaltungsgröße) Gesamtenergie bleibt erhaltenImpulskomponente bleibt erhalten wenn in dieser Richtung keine Kraft wirkt

13 13Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Lineare Vektoralgebra Addition Multiplikation mit einer komplexen Zahl Assoziativgesetz, Distributivgesetz Linearunabhängige Vektoren (Definition) Ein Vektorraum mit nicht mehr als M linearunabhängigen Vektoren ist M-dimensional VektorenVektorraum Folgendes wird definiert: Addition ist kommutativ

14 14Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Vektoralgebra (Skalarprodukt) Skalarprodukt (Innenprodukt) ist eine komplexe Zahl. Es gilt: Norm = 1, normierter Vektor orthogonale Vektoren Ein Vektorraum mit definiertem Skalarprodukt definieren wir hier als Hilbert-Raum λ = Norm

15 15Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Darstellung des Vektors in einer Basis M Linearunabhängige Vektoren eines M-dimensionalen Raums bilden eine Basis Jeder Vektor dieses Raums kann als lineare Kombination der Basisvektoren dargestellt werden Eine orthonormale Basis Die Koeffizienten können wie folgend berechnet werden Für einen normierten Vektor φ gilt

16 16Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Operator Operator (Abbildung) Linearer Operator Zwei Operatoren sind nicht immer miteinander vertauschbar Kommutator OperatorVektor

17 17Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Hermitesche Operatoren und Eigenwert ist adjungiert von ist selbstadjungiert (ähnlich wie hermitesch) Eigenwert Problem EigenwertEigenfunktion Die Menge aller Eigenwerte eines Operators bildet sein Spektrum Das Spektrum kann diskret oder kontinuierlich sein Wenn mehrere Eigenvektoren demselben Eigenwert entsprechen, dann ist dieser Eigenwert entartet

18 18Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Eigenschaften Hermitescher Operatoren Eigenwerte eines hermiteschen Operators sind reell Eigenfunktionen mit unterschiedlichen Eigenwerten sind orthogonal Beweis: Konjugation a m ist reell

19 19Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Kommutierende Operatoren Einen Operator nennt man Observable wenn seine Eigenvektoren eine orthonormale Basis darstellen. Wenn zwei Operatoren kommutieren, haben sie wenigstens eine Menge gemeinsamer Eigenvektoren die eine Basis bilden Wenn zwei oder mehr Operatoren kommutieren und es gibt keinen weiteren Operator der mit ihnen kommutiert, bilden sie einen vollständigen Satz kommutierender Operatoren. Diese Operatoren haben eine eindeutige Menge gemeinsamer Eigenvektoren die eine Basis bildet. Die Angabe der Eigenwerte aller dieser Operatoren ausreicht, um (bis auf einen Faktor) eindeutig einen gemeinsamen Eigenvektor zu bestimmen.

20 20Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Darstellung in einer Basis und Operator Basisvektoren Grundformen = 5X+ 4X+ 1X = 5X+ 8X+ 3X Der Operator A erkennt die Grundformen und ändert ihren Anteil Jede beliebige Form kann auf die Grundformen zerlegt werden A Mit 1 multiplizieren Mit 2 multiplizieren Mit 3 multiplizieren… Regel der Abbildung A

21 21Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Eigenwert Basisvektoren (Grundformen) 1 3 EigenwertEigenvektor A A So werden die Basisvektoren abgebildet: Mit 1 multiplizieren Mit 2 multiplizieren Mit 3 multiplizieren… Regel der Abbildung A

22 22Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Kommutierende Operatoren Zur Darstellung von Formen in Farbe brauchen wir mehr Basisvektoren: Entartung des Eigenwerts 1-Viereck Die Angabe die Formen reicht nicht aus um einen Basisvektor zu definieren Blau Wir führen einen anderen Operator ein, der die Farben erkennt Rot Der neue Operator B kommutiert mit dem Operator A und hat identische Eigenvektoren Gelb Mit zwei Eigenwerten ist ein Basisvektor eindeutig definiert (1-Viereck, Blau) A A A B B B Die zwei Operatoren bilden einen vollständigen Satz kommutierender Operatoren

23 23Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Postulate der Quantenmechanik Zustand eines Teilchens (Systems) wird durch einen normierten Vektor aus dem Hilbert Raum aller Zustände beschrieben Wenn zwei Vektoren sich nur durch die Konstante e iφ (Phase) unterscheiden, stellen sie den gleichen Zustand dar. Falls ein System sich in den Zuständen f 1 und f 2 befinden kann, ist c 1 f 1 + c 2 f 2 auch ein möglicher Zustand dieses Systems Ein VektorZustandsvektor BracKet Dirac Notation Jedem Ket Vektorentspricht ein Bra Vektor

24 24Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Dirac-Notation Dirac Notation Für hermitesche Operatoren gilt

25 25Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Darstellung in Basis Darstellung des Vektors in einer Basis Mathematische NotationDasselbe in Dirac Notation Einheitsoperator Zerlegung mit Basisvektoren Basisvektoren sind orthonormal Dann gilt…

26 26Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Darstellung in Basis Einheitsoperatoren Matrix Form Bra Vektor wird durch eine Spaltenmatrix dargestellt Ket Vektor wird durch eine Zeilenmatrix dargestellt Operator wird durch eine quadratische Matrix dargestellt

27 27Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Messgrößen und Observablen Jeder Messgröße (dynamischer Variable) ist ein Operator (Observable) zugeordnet. Pissson KlammerKommutator Zu klassischen Koordinaten und Impulsen sind Operatoren zugeordnet Klassische dynamische Variablen lassen sich als Funktionen von p und x darstellen

28 28Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Messergebnisse und Eigenwerte Das Ergebnis der Messung einer dynamischen Variable ist ein Eigenwert der zugeordneten Observable. Wenn die Observable diskretes Spektrum hat, geben die Messungen entsprechender Größe diskrete Werte. Die Wahrscheinlichkeit im Zustand ψ den Eigenwert a i zu messen Die Eigenvektoren einer Observable bilden eine Basis. Deswegen kann man schreiben: Und es gilt: Für einen Vektor mit Norm = 1 gilt:

29 29Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Reduzierung des Wellenpakets Annahme: Ein System befindet sich in dem Zustand: Die Messung der Variable A gibt dann ganz sicher das Ergebnis a i Annahme: Das System befindet sich in dem Zustand Die Messung der Variable A gibt Ergebnis a i. Die Messung überführt das System in den neuen Zustand: Projektor

30 30Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Reduzierung des Wellenpakets Wahrscheinlichkeit dass eine Messung auf φ die FormX gibt Durch die Messung wird der Zustand des Systems in einen Eigenzustand der Observable übeführt Anfangszustand Messergebnis

31 31Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Kommutierende Observablen Zu den dynamischen Variablen A und B sind zwei Observablen zugeordnet Wenn die Observablen kommutieren, gibt es wenigstens eine Basis gemeinsamer Eigenvektoren Dann gibt es einen Zustand in welchem die Messung der Variable A immer das Ergebnis a m und die Messung der Variable B immer das Ergebnis b n gibt. - Die Ergebnisse hängen von Reihenfolge der Messungen nicht ab - Die Observablen A und B sind kompatibel. Index i kennzeichnet die unterschiedlichen Basisvektoren im Fall von Entartung. Entartung ist ein Zeichen dafür dass es noch andere Operatoren gibt, die mit A und B kommutieren. A und B stellen keinen vollständigen Satz kommutierender Operatoren

32 32Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Kommutierende Observablen Das System befindet sich in dem gemeinsamen Eigenzustand zweier kommutierenden Operatoren Die Messungen geben immer die gleichen Ergebnisse, rot und FormX Das Messergebnis ist im voraus bestimmt

33 33Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Nichtkommutierende Observablen Wenn die Observablen nich kommutieren, haben sie keine gemeinsamen Eignvektoren. Die Variablen können nicht durch wiederholte Messungen genau bestimmt werden Die zwei Operatoren (Form- und Farbenerkennung) kommutieren hier nicht. Sie haben keine gemeinsamen Eigenzustände. Jede Messung überführt das System in den Eigenzustand der (zu der Messgröße zugeordneten) Observable. Die Messergebisse können nicht präzise vorausgesagt werden.

34 34Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Schrödinger Gleichung Die Zeitentwicklung eines Systems wird durch die Schrödinger-Gleichung beschrieben Hamiltonoperator ist eine Observable. Sie ist der Gesamtenergie des Systems zugeordnet. t Partielle Differentialgleichung Kennen den Zustand eines Systems in t = t 0, dann können wir die Zeitenwicklung des Systems berechnen. QM Determinismus. Zeitenwicklung ist bestimmt wenn wir das System alleine lassen, d.h. keine Messungen auf dem System durchführen.

35 35Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Wellenfunktion Koordinate ist eine Observable. Deren Eigenvektoren bilden eine Basis. I (Einheitsoperator) Wahrscheinlichkeit dass sich das Teilchen in der Umgebung von x befindet Wir definieren die Wellenfunktion Wahrscheinlichkeit dass sich das Teilchen in der dx Umgebung von x befindet Wellenfunktion ist Ket Vektor in Koordinatendarstellung Spektrum ist kontinuierlich Für diskrete Eigenwerte gilt: 1) W(a i ) – Wahrscheinlichkeit dass eine Messung einen bestimmten Wert a i gibt 2) I – Einheitsoperator 3) Vektoren sind Orthonormal (Die Norm=1) Die entsprechende Formel im Fall des kontinuierlichen Spektrums W(x 0 ) -Wahrscheinlichkeit dass sich Teilchen im Bereich (x 0, x 0 + dx) befindet. Die Norm ist mit Diracscher Delta Funktion definiert

36 36Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Koordinatenoperator Matrixelement des Operators x in Koordinatendarstellung Eigenwert-Gleichung Koordinatenoperator in Koordinatendarstellung Es gilt auch: Und: Definition der Wellenfunktion Finden wir den Koordinatenoperator in Koordinatendarstellung

37 37Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Wellenfunktion und die Wahrscheinlichkeit Schrödinger Gleichung und die Wahrscheinlichkeit Die Norm des Vektors ändert sich nicht. Wahrscheinlichkeit für Gesamtraum bleibt 1. Schrödinger Gleichung für Ket VektorSchrödinger Gleichung für Bra Vektor H ist hermitesch Beweis Rechnen wir die Wahrscheinlichkeit aus dass sich das Teilchen irgendwo in gesamtem Raum befindet Ändert sich diese Wahrscheinlichkeit wenn man Schrödinger Gleichung anwendet?

38 38Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Wichtige Operatoren in Koordinatendarstellung Klassisch Quantenmechanisch Koordinatenoperator Impulsoperator Hamiltonfunktion/Operator Koordinatendarstellung Es gilt

39 39Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Schrödinger Gleichung in Koordinatendarstellung Multiplizieren wir die beiden Seite der Gleichung mit dem unitären Operator (Die rechte Seite zweimal…). Koordinaten und Zeit sind hier unabhängige Variablen. Es gilt nicht x=x(t) wie in klassischer Mechanik

40 40Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Lösung der Schrödinger Gleichung Finden wir die Lösung für den Fall: Wir können die Raumkoordinaten und Zeit trennen Potentialenergie hängt nicht explizit von der Zeit ab

41 41Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Lösung der Schrödinger Gleichung Die koordinatenhängige Gleichung ist das Eigenwertproblem des Hamiltonoperators. Die Konstante E n ist daher die Gesamtenergie des Systems. Die linke Seite hat nur Zeit als Variable, die rechte nur Koordinaten. Zeit und Raumkoordinaten sind in QM unabhängig. Beide Seiten sind daher Konstanten (E n ), sonst wären sie nicht immer und überall gleich. Die Zeitabhängige Gleichung hat die einfache Lösung Index i kennzeichnet die unterschiedlichen Funktionen im Fall von Entartung. Entartung ist vorhanden wenn es andere Operatoren gibt die mit dem Hamiltonoperator kommutieren Die Gesamtlösung hat die Form

42 42Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Zeitentwicklung eines Systems Finden wir die Zeitentwicklung eines Systems im Zustand beschrieben mit der Wellenfunktion φ(x) in t=0 sind die Eigenfunktionen der Hamiltonoperators in Koordinatendarstellung. Diese Funktionen bilden eine Basis. Deswegen gilt: Lösung der Schrödinger Gleichung In Dirac Notation: Die Koeffizienten können wie folgend berechnet werden Durch Vergleich (2) mit (1) bekommen wir: (1) (2)

43 43Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Stationäre Zustände Messung der Koordinate1. Energiemessung E=E 0 2. Energiemessung E=E 0 Ab der 1. Energiemessung befindet sich das System im Eigenzustand des Operators H. In dem Zustand ändert sich nur die Phase das Zustandsvektors. Das hat als Folgen: 1) alle physikalischen Eigenschaften des Systems bleiben konstant. 2) jede nachfolgende Energiemessung gibt immer dasselbe Ergebnis – den gleichen Eigenwert. Aus den Gründen nennt man die Eigenzustände des Hamiltonoperators stationäre Zustände Zeitenwicklung Keine ZeitenwicklungBetrag der Wellenfunktion

44 44Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Ein Test für Stabilität (Nyquist) Verstärkung mit RK Die Voraussetzung: Q(z) und M(z) haben keine Wurzel mit dem positiven Reellteil Stabilitätsbedingung: Die Funktion im Nenner darf keine Wurzel in der positiven komplexen Halbebene haben

45 45Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Die komplexe Analyse a z Eine Komplexe Funktion der komplexen Variable z Ableitung wird definiert Die Funktion ist Analytisch wenn die Ableitung immer gleich bleibt, egal von welcher Richtung sich z zum a nähert Im Re Einige Wichtige analytische Funktionen Cauchysche Integralformel Definition, Nullstelle n-ter Ordnung Definition, Polstelle p-ter Ordnung

46 46Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Nullstellen und Polstellen z1f(z1) z2 f(z2) z3 f(z3) Cauchy Einige Definitionen Nullstelle Polstelle Es folgt: Anzahl von Nullstellen – Anzahl von Polstellen der Funktion f(z) innerhalb Kontur Γ Anzahl von Umdrehungen des Phasenvektors um 0 ist N-Z Das Integral ist die Phasenänderung der Funktion f(z) während der Integration auf Kontur Γ

47 47Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Nullstellen und Polstellen z1 1+T(z1) z2 1+T(z2) z3 1+T(z3) Die Phasenänderung der 1+T(z) für z auf dem Kreis ist 0

48 48Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Nullstellen und Polstellen z1 1+T(z1) z2 1+T(z2) z1 T(z1) z2 T(z2) 1+T(z)T(z)

49 49Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Nyquistscher Test z1 T(z1) z2 T(z2) z1 T(z1) z2 T(z2) Kreis um 0 mit R=1 Bei |T(iy 0 )|=1 darf die Phasenänderung T(iy 0 )-T(0) nicht weniger als -180 Grad sein


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