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Seminar Geoinformation WS 2000/2001 Regionalisierte Variablen und Kriging Referent: Anno Löcher.

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Präsentation zum Thema: "Seminar Geoinformation WS 2000/2001 Regionalisierte Variablen und Kriging Referent: Anno Löcher."—  Präsentation transkript:

1 Seminar Geoinformation WS 2000/2001 Regionalisierte Variablen und Kriging Referent: Anno Löcher

2 Einführung Geostatistik Variogramme Gewöhnliches Kriging Was ist Kriging? Familie von stochastischen Schätzverfahren zumeist synonym für Gewöhnliches Kriging Grundlagen von dem französischen Mathematiker Matheron. Weiterentwicklung des Verfahrens vorwiegend durch Ingenieure. Anwendung zunächst in der Bodenexploration und der Meteorologie, heute in allen Geowissenschaften in vielen GIS-Anwendungen als Interpolationswerkzeug implementiert Name leitet sich ab von dem südafrikanischen Bergbauingenieur Krige.

3 Eigenschaften des Verfahrens Interpolation durch gewogenes Mittel lineares Verfahren Genauigkeitsmaß: Kriging-Varianz Schätzfehler wird minimiert bester Schätzer Schätzwert an beprobtem Ort = Beobachtung erwartungstreues Verfahren BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) Grundlage des Verfahrens ist das Geostatistische Modell Einführung Geostatistik Variogramme Gewöhnliches Kriging

4 Gauß-Markoff-Modell gemischtes Modell Verallgemeinerung Einführung von Ortsabhängigkeiten Schreibweise der Geostatistik

5 Geostatistisches Modell Mittelwert vom Ort abhängige Zufallsvariable (regionalisierte Variable) Rauschen Z x m Einführung Geostatistik Variogramme Gewöhnliches Kriging

6 Intrinsische Hypothese a) Der Erwartungswert von Z ist im Untersuchungsgebiet konstant: b) Die Varianz der Differenz zwischen zwei Realisationen von Z hängt nur vom Abstand ab: Definition Semivarianz Die Semivarianz ist ein Maß für die Korrelation zwischen Z(x) und Z(x + h), ausgedrückt als Funktion des Abstands. Einführung Geostatistik Variogramme Gewöhnliches Kriging

7 Ansatz für die Schätzung Abstände geben Korrelationen zwischen Z im Neupunkt und den beobachteten Z vor. Aus den Korrelationen können dann Gewichte abgeleitet werden. P1P1 P2P2 P3P3 P4P4 P NEU P5P5 Einführung Geostatistik Variogramme Gewöhnliches Kriging Bei bekanntem (h) Vorhersage möglich! Z verhält sich an unbeprobten Orten wie an beprobten.

8 Vorgehen bei der Schätzung Stichprobe Z(x 1 )... Z(x n ) (h 1 )... (h m ) aus Stichprobe (h) aus (h 1 )... (h m ) Schätzung von Z(x NEU ) mit (h) aus Stichprobe empirisches Variogramm theoretisches Variogramm Kriging = Einführung Geostatistik Variogramme Gewöhnliches Kriging

9 Empirisches Variogramm Schätzung von (h) auf Grundlage der Stichprobe je vorkommendem Abstand Schätzung der Semivarianz mit Vorgehen: Bestimmung der Abstände aller vorkommenden Punktpaare Einführung Geostatistik Variogramme Gewöhnliches Kriging

10 ( 3.0 ) ( 5.0 ) 4 Punktpaare mit h = 1.0 (1.0) = ( (3 - 4)² + (4 - 7)² + (7 - 5)² + (5 - 3)² ) / 8 = 2.3 ( 4.0 ) ( 7.0 ) Punktpaare mit h = 1.4 (1.4) = ( (4 - 5)² + (7 - 3)² ) / 4 =

11 ( 3.0 ) ( 4.0 ) Normalfall: Jedes Punktpaar hat anderen Abstand. Entfernungsklassen bilden! ( 6.0 ) ( 3.5 ) ( 5.5 ) ( 2.5 ) ( 7.0 ) ( 4.5 ) ( 2.0 ) ( 3.5 ) ( 5.0 ) Paare mit 0.0 h 0.5 (0.25) Paare mit 0.5 h 1.0 (0.75) Paare mit 1.0 h 1.5 (1.25) usf.

12 Theoretisches Variogramm Entwicklung einer analytischen Funktion (h) aus dem empirischen Variogramm Funktion soll nicht im Widerspruch zu physikalischen Gesetzmäßigkeiten stehen. Vorgehen: Kurvenanpassung Anforderungen an die Funktion: Zufälligkeiten in den empirischen Daten sollen ausgeglichen werden. parametrischer Ansatz Einführung Geostatistik Variogramme Gewöhnliches Kriging

13 Schwelle (sill) Aussageweite (range) Nugget h (h) Schwelle : Maximum von (h) ( Varianz der Stichprobe ) Aussageweite: Abstand, bei dem (h) die Schwelle erreicht Nugget: Achsenabschnitt DEMO Kenngrößen des Variogramms Einführung Geostatistik Variogramme Gewöhnliches Kriging ( = Schätzung für die Varianz des Rauschens )

14 Berechnung des Krige-Schätzers Rechenverfahren folgt aus Forderung an den Schätzer, BLUE zu sein. Linearität gewogenes Mittel Erwartungstreue Schätzfehler Null Beste Schätzung minimale Varianz des Schätzfehlers Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung Lösung mit Lagrange-Multiplikator Einführung Geostatistik Variogramme Gewöhnliches Kriging

15 Lösungsformel in Matrizenschreibweise Gleichung für die Kriging-Varianz v = C -1 D Vektor der Semivarianzen zwischen Z(x 0 ) und Z(x i ) Vektor der Gewichte Matrix der Semivarianzen zwischen den Z(x i ) Die Höhe der Kriging-Varianz hängt von der Menge der räumlichen Informationen ab: Einführung Geostatistik Variogramme Gewöhnliches Kriging schwach besetztes Meßnetz hohe Varianz

16 MessungenInterpolationKriging-Varianz Phosphatgehalt einer landwirtschaftlichen Nutzfläche

17 Kontrolle der Schätzung durch Kriging-Varianz Einzelne lokale Spitzen wirken sich weniger auf die Um- gebung aus als bei anderen Verfahren. Eigenschaften des Krige-Schätzers Güte der Schätzung vom Variogramm abhängig Kriging erkennt und meidet redundante Daten: Bei nah beieinanderliegenden Stützpunkten werden die Gewichte gesenkt und auf entferntere Punkte verteilt. Einführung Geostatistik Variogramme Gewöhnliches Kriging Bei ausgeprägtem Nugget-Effekt oder sehr kleiner Aussageweite wird das arithmetische Mittel geliefert.

18 Seminar Geoinformation WS 2000/2001 Regionalisierte Variablen und Kriging Referent: Anno Löcher

19 Z(x) und Z(x + h) identisch (h = 0) (0) = 0 Zusammenhang Varianz - Kovarianz - Semivarianz: ² ² 2 COV ( Z(x), Z(x + h) ) Z(x) und Z(x + h) nicht korreliert (h) = ² Einführung Geostatistik Variogramme Gewöhnliches Kriging Annahme: Z(x) und Z(x + h) haben gleiche Varianzen

20 Kurvenanpassung durch parametrischen Ansatz Sphärisches Modell exponentielles Modell Gauß-Modell Einführung Geostatistik Variogramme Gewöhnliches Kriging


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