Statistische Methoden II SS 2007 Vorlesung:Prof. Dr. Michael Schürmann Zeit:Freitag 10.00 - 12.30 (Pause: 11.30 - 11.45) Ort:Hörsaal Loefflerstraße Übungen.

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1 Statistische Methoden II SS 2007 Vorlesung:Prof. Dr. Michael Schürmann Zeit:Freitag 10.00 - 12.30 (Pause: 11.30 - 11.45) Ort:Hörsaal Loefflerstraße Übungen Gruppe 3: Marcus Vollmer Di 8.00 - 10.00 Gruppe 1: Melanie Hinz Di 10.00 - 12.00 Gruppe 6: Melanie Hinz Di 12.00 - 14.00 Gruppe 4: Hermann Haase Mi 8.00 - 10.00 Gruppe 5: Hermann Haase Mi 10.00 - 12.00 Gruppe 2: Rüdiger Zeller Mi 12.00 - 14.00 Ort: SR 222 Fleischmannstraße 6, 2. OG

2 Statistische Struktur diskret stetig

3 Maximum-Likelihood-Schätzer ( diskreter Fall) Likelihood-Funktion mit oder M-L-Schätzer

4 Der Parameter beste Erklärung ist die beste Erklärung für die Beobachtung

5 Schätzung der Zahl der Fische in einem See in Mecklenburg N Fische werden gefangen und markiert Die Fische werden in den See zurückgegeben. Man wartet, bis die markierten Fische sich (möglichst gleichmäßig) im See verteilt haben. Man geht erneut auf Fischzug und fäng m Fische. Von diesen seien k markiert.

6 Schätzung für die Gesamtzahl der Fische im See: ist M-L-Schätzer !

7 Der Logharithmus ln x ist streng monoton wachsend

8 Beispiel Poisson-Verteilung Stichprobe vom Umfang n mit Poisson-verteilter Stich- Probenvariablen (Intensität: ) M-L-Schätzer für oder

9 Likelihood-Funktion

10 Beispiel Bernoulli-Verteilung Stichprobe vom Umfang n mit Bernoulli-verteilter Stichprobenvariablen (p: Wahrscheinlichkeit des Ereignisses) M-L-Schätzer für p wieder gegeben durch:

11 Maximum-Likelihood-Schätzer (stetiger Fall) Likelihood-Funktion mit oder M-L-Schätzer

12 Der Parameter beste Erklärung ist die beste Erklärung für die Beobachtung

13 Die Gauß- oder Normalverteilung

14 Gauß-Bildnis und –Kurve auf 10 DM-Schein

15 Dichte Verteilung Verteilungsfunktion

16 Erwartungswert Varianz

17 Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung Für unabhängige normalverteilteZufallsvariablen X und Y hat man

18 Verwendung der Tafel für die Normalvertreilung

19 Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Erwartungswert Hier spielt es keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt:

20 Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Varianz bekannt

21 Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Varianz unb ekannt

22 Übersicht

23 Beispiel Äpfeln Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

24 Erwartungstreue Schätzer Wenn der Parameter selbst geschätzt werden soll: Wenn ein allgemeines statistisches Problem vorliegt: Dabei bedeutet der Index, dass der Erwartungswert bzgl. des W.maßes zum Parameter genommen wird.

25 Schätzung des Erwartungswertes der Stichprobenvariablen X Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer:

26 Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer: Erwartungswert bekannt

27 Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer: Erwartungswert unbekannt

28 Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für den Erwarungswert Hier spielt es wieder keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt: erwartungstreu ist erwartungstreu

29 Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz bekannt erwartungstreu ist erwartungstreu

30 Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz unb ekannt erwartungstreu ist erwartungstreu Kein M-L-Schätzer!!

31 Übersicht erwartungstreu erwartungstreu erwartungstreu nicht erwartungstreu