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K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 1 Zusammenfassung 9. Vorlesung (24.6) 6.Kapitel: Methode der kleinsten Quadrate anderes wichtiges Verfahren.

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1 K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 1 Zusammenfassung 9. Vorlesung (24.6) 6.Kapitel: Methode der kleinsten Quadrate anderes wichtiges Verfahren zur Parameterschätzung Problemstellung: - N unabhängige gaussverteilte Zufallsvariablen y i, i=1,…,N - Jedes y i bezieht sich auf ein anderes (exakt bekanntes) x i - Jedes y i hat unbekannten Mittelwert I - Jedes y i hat bekannte Varianz i 2 - I vorhergesagt durch Funktion (x; ) Aufgabe: schätze (x; ) x y i i

2 K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 2 Zusammenfassung 9. Vorlesung (24.6) Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte, genau diesen Satz (y 1,…,y N ) zu messen: Bestimme : Maximiere Log-Likelihood-Funktion: Identisch zur Aufgabe zu minimieren. Methode der kleinsten Quadrate Verfahren wird verallgemeinert auf beliebige (auch nicht-gaussische) Verteilungen

3 K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 3 Zusammenfassung 9. Vorlesung (24.6) Korrelierte y i mit bekannter Kovarianzmatrix V ij : Wichtiger Spezialfall: Lineare kleinste Quadrate: kann mit kleinsten Quadraten analytisch gelöst werden - Die LS (least square)-Schätzer sind verzerrungsfrei! -haben minimale Varianz (im Sinne der RCF-Grenze) Schreibe: Dann ist Minimum bei: Lösung: wenn exisitiert

4 K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 4 Kovarianzmatrix: ergibt sich als Es gilt: also wird die RCF-Grenze erreicht für gaussverteilte Variablen Da linear in ist 2 quadratisch in. Die Hyperfläche beschreibt ein Ellipsoid mit Tangenten Zusammenfassung 9. Vorlesung (24.6)

5 K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 5 Zusammenfassung 9. Vorlesung (24.6) Beispiel: Geradenanpassung (x;m,c) = mx + c x y i i y Annahmen: y i statistisch unabhängig, Fehler i gesucht: wenn alle i =

6 K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 6 Zusammenfassung 9. Vorlesung (24.6) Varianzen: Kovarianz: Fehler für beliebigen Punkt auf der Garaden

7 K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 7 Zusammenfassung 9. Vorlesung (24.6) x y Fehler auf x und y: hihi Rezept: 1.skaliere x,y so, dass x = y 2.minimiere Funktioniert nur für Geraden und wenn alle i gleich Sonst: ML-Methode: Wahrscheinlichkeit, dass irgendein Punkt auf der Geraden den Messwert i ergibt ausrechnen

8 K. Desch - Statistik und Datenanalyse SS05 8 Zusammenfassung 9. Vorlesung (24.6) x y Fehler auf x und y: hihi Rezept: 1.skaliere x,y so, dass x = y 2.minimiere Funktioniert nur für Geraden und wenn alle i gleich Sonst: ML-Methode: Wahrscheinlichkeit, dass irgendein Punkt auf der Geraden den Messwert i ergibt ausrechnen


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