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Mathias Pennekamp ~ Kriging1 d 12 d 34 d 56 d 12 = ca. 60km d 34 = ca. 61km d 56 = ca. 66km ? Kalifornien Abb.2 Ozonwerte in Kalifornien Quelle: ArcGIS.

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1 Mathias Pennekamp ~ Kriging1 d 12 d 34 d 56 d 12 = ca. 60km d 34 = ca. 61km d 56 = ca. 66km ? Kalifornien Abb.2 Ozonwerte in Kalifornien Quelle: ArcGIS (Beispieldatensatz)

2 Mathias Pennekamp ~ Kriging2 Geostatistik 2 Kriging

3 Mathias Pennekamp ~ Kriging3 I. Einstieg in Kriging -was ist Kriging -Rückblick auf deterministische Verfahren -Ziel des Krigings II. Signalbehandlung -Statistische Grundbegriffe -Semivarianz -Semivariogramm III. Kriging -Analysen im Semivariogramm -Beispielrechnung -verschiedene Krigingverfahren -ArcInfo Inhaltsübersicht dieses Vortrags:

4 Mathias Pennekamp ~ Kriging4 Kriging (1) Benannt nach D. G. Krige : Bergbauingenieur, Südafrika Der Name: Kriging Kriging (2) Oberbegriff für stochastische Interpolationsverfahren seit Anfang der 60er entwickelt durch G. Matheron, Frankreich für geodätische Fragestellungen durch Krarup und Moritz über Kovarianzfunktionen weiterentwickelt (um 1969) Man unterscheidet Kriging von den deterministischen Verfahren. I. Kriging – Einstieg -Der Name :Kriging -Rückblick -Ziel II. Signalbehandlung -statistische Grundbegriffe -Semivarianz -Semivariogramm III. Kriging -Analysen im Semivariogramm -Beispielrechnung -verschiedene Krigingverfahren

5 Mathias Pennekamp ~ Kriging5 Rückblick: deterministische Verfahren Globale Methoden (z.B. Regression) Lokale Methoden (z.B. IDW, nearest neighbours) Grundsätze: Bestimmung von Attributwerten [z] an nicht beprobten Stellen (x u,y u ) Flächenhafte Information aus Punktdaten (x i,y i ) Verschiedene Möglichkeiten die Punktdaten (x i,y i ) zu berücksichtigen ( Gewichtung) I. Kriging – Einstieg -Der Name :Kriging -Rückblick -Ziel II. Signalbehandlung -statistische Grundbegriffe -Semivarianz -Semivariogramm III. Kriging -Analysen im Semivariogramm -Beispielrechnung -verschiedene Krigingverfahren

6 Mathias Pennekamp ~ Kriging6 Bei deterministischen Verfahren wird subjektiv gewichtet. Deterministisches VerfahrenGewichtung der Punktdaten Polynom-InterpolationUnterschiedlich (Funktionswerte) Invers distance weightingÜber die Distanz (i. A. Kehrwert) nearest neighboursEinheitlich für Voronoi-Region Kriging optimiert die Gewichtung der Punktdaten. ? ? ? I. Kriging – Einstieg -Der Name :Kriging -Rückblick -Ziel II. Signalbehandlung -statistische Grundbegriffe -Semivarianz -Semivariogramm III. Kriging -Analysen im Semivariogramm -Beispielrechnung -verschiedene Krigingverfahren

7 Mathias Pennekamp ~ Kriging7 Ziel des Krigings: Gewichtsoptimierung bei der Attributbestimmung eines Punktes, der nicht beobachtet wurde. Genauigkeit des geschätzten Attributwertes Motivationsbeispiel: Es wird die Ozonbelastung einer Region bestimmt: Ist die aus den Punktdaten prädizierte Fläche jetzt genau genug, um in Bereichen mit kritischen Ozonwerten noch in die Sonne zu gehen. I. Kriging – Einstieg -Der Name :Kriging -Rückblick -Ziel II. Signalbehandlung -statistische Grundbegriffe -Semivarianz -Semivariogramm III. Kriging -Analysen im Semivariogramm -Beispielrechnung -verschiedene Krigingverfahren

8 Mathias Pennekamp ~ Kriging8 II. Das Signal Statistik: Deterministisches Modell:l + v = f(x) oder l = f(x) + v bzw. l + v = Ax Neu: Stochastisches Signal: s Formel:l = f(x) + s + n Approximation [Annäherung] der Beobachtung [ l ] durch eine Funktion unter Minimierung der Verbesserungen [ v ]. Die Verbesserungen [v] werden in ein lokales Signal [s] und ein normalverteiltes Rauschen [n] aufgespaltet. v I. Kriging – Einstieg -Der Name :Kriging -Rückblick -Ziel II. Signalbehandlung -statistische Grundbegriffe -Semivarianz -Semivariogramm III. Kriging -Analysen im Semivariogramm -Beispielrechnung -verschiedene Krigingverfahren

9 Mathias Pennekamp ~ Kriging9 Der Attributwert einer Zufalls- variablen wird mit z bezeichnet: z(x) = f (x) + s + n Unterschied von z(x) und l: l... Beobachtung z(x)... Attributwert auch für unbeprobte Stellen Abb. 1 Geostatistik-Modell Quelle: Prof. Dr. W.-D. Schuh

10 Mathias Pennekamp ~ Kriging10 II. Signalbehandlung - statistische Grundbegriffe l = f(x) +s + n Der Erwartungswert [ E ]: Der Erwartungswert der Summe aller Signale über das Gebiet ist null E { s } = 0 vgl. E { v } = 0 E { s } = 0 E { s i } = s i Lokal jedoch existiert ein Erwartungswert für das Signal E { s i } = s i I. Kriging – Einstieg -Der Name :Kriging -Rückblick -Ziel II. Signalbehandlung -statistische Grundbegriffe -Semivarianz -Semivariogramm III. Kriging -Analysen im Semivariogramm -Beispielrechnung -verschiedene Krigingverfahren

11 Mathias Pennekamp ~ Kriging11 P1P1 P2P2 P3P3 P4P4 P5P5 P6P6 II. Signalbehandlung - statistische Grundbegriffe Lokale Betrachtung des Signals: Idee 1: Die Beobachtungen l benachbarter Punkte sind ähnlich Korrelationen (Abhängigkeit) zwischen den benachbarten Punkten P i (x i,y i ) Idee 2: Je größer der Punktabstand, desto geringer die Ähnlichkeit der Beobachtungen Distanzabhängigkeit l = f(x) +s + n I. Kriging – Einstieg -Der Name :Kriging -Rückblick -Ziel II. Signalbehandlung -statistische Grundbegriffe -Semivarianz -Semivariogramm III. Kriging -Analysen im Semivariogramm -Beispielrechnung -verschiedene Krigingverfahren

12 Mathias Pennekamp ~ Kriging12 z4z4 z3z3 z2z2 z1z1 II. Signalbehandlung - statistische Grundbegriffe Stationarität: Idee 3: Die Lage der Punkte spielt für die Korrelation keine Rolle, es interessiert nur die Distanz StationaritätLage der Punkte P3P3 P4P4 P1P1 P2P2 d 12 d 34 Stationarität heißt, wenn d 12 = d 34 E{ z 12 } = E{ z 34 } und ist eine Voraussetzung für Kriging l = f(x) +s + n In P i wird z i beobachtet: I. Kriging – Einstieg -Der Name :Kriging -Rückblick -Ziel II. Signalbehandlung -statistische Grundbegriffe -Semivarianz -Semivariogramm III. Kriging -Analysen im Semivariogramm -Beispielrechnung -verschiedene Krigingverfahren

13 Mathias Pennekamp ~ Kriging13 Definition: (d) = ½ { z(P) – z(P+d) } ² (d)... Semivarianz für die Distanz d z(P)... Attributwert im Punkt P(x,y) z(P+d)... Attributwert in einem Punkt, der um d von P(x,y) entfernt ist Verknüpfung von Distanz und Signal (1) - Semivarianz - Problem: Die Semivarianz muss für alle Punkte des Datensatzes und für alle Distanzen bestimmt werden.alle Punkte des Datensatzes [Komplexität] = O(n²) ; n... Anzahl der Punkte Vereinfachung: Bildung von Entfernungs- klassen:Entfernungs- klassen: Bsp.: km km I. Kriging – Einstieg -Der Name :Kriging -Rückblick -Ziel II. Signalbehandlung -statistische Grundbegriffe -Semivarianz -Semivariogramm III. Kriging -Analysen im Semivariogramm -Beispielrechnung -verschiedene Krigingverfahren

14 Mathias Pennekamp ~ Kriging14 Verknüpfung von Distanz und Signal (2) - Entfernungsklassen (Bsp.) - 1.Einordnen der Distanzen zwischen den Punkten in die zugehörige Klasse 42, 44, 49, 51, 57, 67, Berechnung des arithmetischen Mittels von allen Distanzen in einer Klasse 54,43 3.Bestimmung der Semivarianzen zwischen allen Punkten in der Klasse = 21 Semivarianzen 4.Berechnung der mittleren Semivarianz einer Entfernungsklasse eine Semivarianz pro Entfernungsklasse I. Kriging – Einstieg -Der Name :Kriging -Rückblick -Ziel II. Signalbehandlung -statistische Grundbegriffe -Semivarianz -Semivariogramm III. Kriging -Analysen im Semivariogramm -Beispielrechnung -verschiedene Krigingverfahren

15 Mathias Pennekamp ~ Kriging15 Verknüpfung von Distanz und Signal (3) - Semivariogramm - Ein Semivariogramm ist ein Diagramm, bei dem Semivarianz und Distanz gegeneinander aufgetragen wird. P1P1 P2P2 d 12 z1z1 z2z2 d 12 (d) d ( d 12 ) ( d 12 ) = ½ { z 1 – z 2 } ² I. Kriging – Einstieg -Der Name :Kriging -Rückblick -Ziel II. Signalbehandlung -statistische Grundbegriffe -Semivarianz -Semivariogramm III. Kriging -Analysen im Semivariogramm -Beispielrechnung -verschiedene Krigingverfahren

16 Mathias Pennekamp ~ Kriging16 Empirisches Semivariogramm d (d) Problem (u.a.): nur punkthafte Information ? Lösung (u.a.): Theoretisches Semivariogramm - Approximation der Punkte durch eine Funktion d I. Kriging – Einstieg -Der Name :Kriging -Rückblick -Ziel II. Signalbehandlung -statistische Grundbegriffe -Semivarianz -Semivariogramm III. Kriging -Analysen im Semivariogramm -Beispielrechnung -verschiedene Krigingverfahren

17 Mathias Pennekamp ~ Kriging17 III. Kriging Idee: Optimierung der Gewichte mit Hilfe des Semivariogramms Vorteil:Genauigkeit der geschätzten Fläche ist bestimmbar. Größen des Semivariogramms sind Nugget, Range und Sill. I. Kriging – Einstieg -Der Name :Kriging -Rückblick -Ziel II. Signalbehandlung -statistische Grundbegriffe -Semivarianz -Semivariogramm III. Kriging -Analysen im Semivariogramm -Beispielrechnung -verschiedene Krigingverfahren

18 Mathias Pennekamp ~ Kriging18 Analysen im Semivariogramm Nugget ist ein Maß für Streuung des Signals im Nahbereich (Messfehler): Semivarianz für d = 0: (d) = ½ { z(P) – z(P+d) } ² (d) = 0 Range gibt an, wie weit die Punkte korrelieren: Bestimmung der Größe der Nachbarschaft, dessen Punkte ich zur Interpolation verwende. Sill gibt das Maximum des Semivariogramms an. Sie ist ein Maß für die Varianz der beobachteten Attributwerte. I. Kriging – Einstieg -Der Name :Kriging -Rückblick -Ziel II. Signalbehandlung -statistische Grundbegriffe -Semivarianz -Semivariogramm III. Kriging -Analysen im Semivariogramm -Beispielrechnung -verschiedene Krigingverfahren

19 Mathias Pennekamp ~ Kriging19 ? Range Beispiel zur Bestimmung der optimalen Gewichte: geg.: Punktdatensatz ges.: Attributwert an einem unbeprobten Ortunbeprobten Ort 2)Bestimmung der Semivarianzen für alle Distanzen [ ij ] 3)Aufstellen einer Matrix, die diese Semivarianzen enthält 4)Bestimmung der optimalen Gewichte mit dem Kriging- Schätzer Zu 1) Im Normalfall Entfernungsklassen berücksichtigen Zu 2) Semivarianzen aus dem Semivariogramm bestimmen 1)Bestimmung der Distanzen zwischen den Punkten I. Kriging – Einstieg -Der Name :Kriging -Rückblick -Ziel II. Signalbehandlung -statistische Grundbegriffe -Semivarianz -Semivariogramm III. Kriging -Analysen im Semivariogramm -Beispielrechnung -verschiedene Krigingverfahren

20 Mathias Pennekamp ~ Kriging : :: : : * 6 = m 1 ? Semivarianz für die Punkte 1 und Zu 4) Die zu berechnenden, optimalen Gewichte sind : Lösung: z 0 = 1 *l *l *l 6 Warum ? Ausarbeitung Zu 3) Matrix der Semivarianzen I. Kriging – Einstieg -Der Name :Kriging -Rückblick -Ziel II. Signalbehandlung -statistische Grundbegriffe -Semivarianz -Semivariogramm III. Kriging -Analysen im Semivariogramm -Beispielrechnung -verschiedene Krigingverfahren

21 Mathias Pennekamp ~ Kriging21 l s Verschiedene Krigingverfahren 1. Verfahren mit unterschiedlicher TrendeliminationTrendelimination 1.1 Simple Kriging 1.2 Ordinary Kriging 1.3 Universal Kriging 2. Indicator Kriging 3. Probability Kriging 4. Disjunctive Kriging 5. Co-Kriging 1. Verfahren mit unterschiedlicher TrendeliminationTrendelimination 1.1 Simple Kriging 1.2 Ordinary Kriging 1.3 Universal Kriging 2. Indicator Kriging 3. Probability Kriging 4. Disjunctive Kriging 5. Co-Kriging 1.1 Simple Kriging Der Trend f(x) wird beim Simple Kriging konstant gesetzt, d.h. man setzt den globalen Mittelwert als Trend ein: f (x) = 1.1 Simple Kriging I. Kriging – Einstieg -Der Name :Kriging -Rückblick -Ziel II. Signalbehandlung -statistische Grundbegriffe -Semivarianz -Semivariogramm III. Kriging -Analysen im Semivariogramm -Beispielrechnung -verschiedene Krigingverfahren

22 Mathias Pennekamp ~ Kriging22 1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination 1.1 Simple Kriging 1.2 Ordinary Kriging 1.3 Universal Kriging 2. Indicator Kriging 3. Probability Kriging 4. Disjunctive Kriging 5. Co-Kriging Verschiedene Krigingverfahren 1.2 Ordinary Kriging Der Trend f(x) wird beim Ordinary Kriging durch eine Funktion (z.B. Polynom 3. Grades) global approximiert und vorm Kriging eliminiert. I. Kriging – Einstieg -Der Name :Kriging -Rückblick -Ziel II. Signalbehandlung -statistische Grundbegriffe -Semivarianz -Semivariogramm III. Kriging -Analysen im Semivariogramm -Beispielrechnung -verschiedene Krigingverfahren l

23 Mathias Pennekamp ~ Kriging23 1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination 1.1 Simple Kriging 1.2 Ordinary Kriging 1.3 Universal Kriging 2. Indicator Kriging 3. Probability Kriging 4. Disjunctive Kriging 5. Co-Kriging Verschiedene Krigingverfahren 1.3 Universal Kriging Der Trend f(x) wird wie beim Ordinary Kriging eliminiert, mit dem Unterschied, dass lokale Trends (Signal) berücksichtigt werden können. Möglich- keit der iterativen Trendbestimmung: l I. Kriging – Einstieg -Der Name :Kriging -Rückblick -Ziel II. Signalbehandlung -statistische Grundbegriffe -Semivarianz -Semivariogramm III. Kriging -Analysen im Semivariogramm -Beispielrechnung -verschiedene Krigingverfahren -Parameterschätzung -verbleibendes Signal liefert Abhängigkeiten -Iterationsprozess möglich mit neuen Parametern

24 Mathias Pennekamp ~ Kriging24 1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination 1.1 Simple Kriging 1.2 Ordinary Kriging 1.3 Universal Kriging 2. Indicator Kriging 3. Probability Kriging 4. Disjunctive Kriging 5. Co-Kriging Verschiedene Krigingverfahren 2. Indicator Kriging Entwirft eine Karte, die angibt mit welcher Wahrscheinlichkeit ein wähl- barer Schwellenwert (Threshold), wie z.B. ein kritischer Ozonwert erreicht wird. l I. Kriging – Einstieg -Der Name :Kriging -Rückblick -Ziel II. Signalbehandlung -statistische Grundbegriffe -Semivarianz -Semivariogramm III. Kriging -Analysen im Semivariogramm -Beispielrechnung -verschiedene Krigingverfahren

25 Mathias Pennekamp ~ Kriging25 1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination 1.1 Simple Kriging 1.2 Ordinary Kriging 1.3 Universal Kriging 2. Indicator Kriging 3. Probability Kriging 4. Disjunctive Kriging 5. Co-Kriging Verschiedene Krigingverfahren 5. Co-Kriging Co-Kriging benutzt zur Interpolation der Fläche einen zweiten Datensatz eines Attributs (z.B. Cd-Belastung), welches sich ähnlich zum ersten Datensatz (z.B. Pb-Belastung) verhält. l Vorteil: Schwach beprobte Stellen können effizienter geschätzt werden. [Multivariates Kriging] I. Kriging – Einstieg -Der Name :Kriging -Rückblick -Ziel II. Signalbehandlung -statistische Grundbegriffe -Semivarianz -Semivariogramm III. Kriging -Analysen im Semivariogramm -Beispielrechnung -verschiedene Krigingverfahren


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