Mathias Pennekamp ~ Kriging

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1 Mathias Pennekamp ~ Kriging
d12 d34 d56 d12 = ca. 60km d34 = ca. 61km d56 = ca. 66km Kalifornien ? Abb.2 Ozonwerte in Kalifornien Quelle: ArcGIS (Beispieldatensatz) Mathias Pennekamp ~ Kriging

2 Mathias Pennekamp ~ Kriging
Geostatistik 2 Kriging Mathias Pennekamp ~ Kriging

3 Mathias Pennekamp ~ Kriging
Inhaltsübersicht dieses Vortrags: I. Einstieg in Kriging was ist Kriging Rückblick auf deterministische Verfahren Ziel des Krigings II. Signalbehandlung Statistische Grundbegriffe Semivarianz Semivariogramm III. Kriging Analysen im Semivariogramm Beispielrechnung verschiedene Krigingverfahren ArcInfo Mathias Pennekamp ~ Kriging

4 Mathias Pennekamp ~ Kriging
Der Name: „Kriging“ I. Kriging – Einstieg Der Name :“Kriging“ Rückblick Ziel II. Signalbehandlung statistische Grundbegriffe Semivarianz Semivariogramm III. Kriging Analysen im Semivariogramm Beispielrechnung verschiedene Krigingverfahren Kriging (1) Benannt nach D. G. Krige : Bergbauingenieur, Südafrika Kriging (2) Oberbegriff für stochastische Interpolationsverfahren seit Anfang der 60er entwickelt durch G. Matheron, Frankreich für geodätische Fragestellungen durch Krarup und Moritz über Kovarianzfunktionen weiterentwickelt (um 1969) Man unterscheidet Kriging von den deterministischen Verfahren. Mathias Pennekamp ~ Kriging

5 Rückblick: deterministische Verfahren
Globale Methoden (z.B. Regression) Lokale Methoden (z.B. IDW, nearest neighbours) I. Kriging – Einstieg Der Name :“Kriging“ Rückblick Ziel II. Signalbehandlung statistische Grundbegriffe Semivarianz Semivariogramm III. Kriging Analysen im Semivariogramm Beispielrechnung verschiedene Krigingverfahren Grundsätze: Bestimmung von Attributwerten [z] an nicht beprobten Stellen (xu,yu) Flächenhafte Information aus Punktdaten (xi,yi) Verschiedene Möglichkeiten die Punktdaten (xi,yi) zu berücksichtigen ( Gewichtung) Mathias Pennekamp ~ Kriging

6 Mathias Pennekamp ~ Kriging
Deterministisches Verfahren Gewichtung der Punktdaten Polynom-Interpolation Unterschiedlich (Funktionswerte) Invers distance weighting Über die Distanz (i. A. Kehrwert) nearest neighbours Einheitlich für Voronoi-Region I. Kriging – Einstieg Der Name :“Kriging“ Rückblick Ziel II. Signalbehandlung statistische Grundbegriffe Semivarianz Semivariogramm III. Kriging Analysen im Semivariogramm Beispielrechnung verschiedene Krigingverfahren ? ? ?  Bei deterministischen Verfahren wird subjektiv gewichtet. Kriging optimiert die Gewichtung der Punktdaten. Mathias Pennekamp ~ Kriging

7 Genauigkeit des geschätzten Attributwertes
Ziel des Krigings: Gewichtsoptimierung bei der Attributbestimmung eines Punktes, der nicht beobachtet wurde. Genauigkeit des geschätzten Attributwertes I. Kriging – Einstieg Der Name :“Kriging“ Rückblick Ziel II. Signalbehandlung statistische Grundbegriffe Semivarianz Semivariogramm III. Kriging Analysen im Semivariogramm Beispielrechnung verschiedene Krigingverfahren Motivationsbeispiel: Es wird die Ozonbelastung einer Region bestimmt: Ist die aus den Punktdaten prädizierte Fläche jetzt genau genug, um in Bereichen mit kritischen Ozonwerten noch in die Sonne zu gehen. Mathias Pennekamp ~ Kriging

8 Mathias Pennekamp ~ Kriging
II. Das Signal I. Kriging – Einstieg Der Name :“Kriging“ Rückblick Ziel II. Signalbehandlung statistische Grundbegriffe Semivarianz Semivariogramm III. Kriging Analysen im Semivariogramm Beispielrechnung verschiedene Krigingverfahren Statistik: Deterministisches Modell: l + v = f(x) oder l = f(x) + v bzw l + v = Ax Approximation [Annäherung] der Beobachtung [ l ] durch eine Funktion unter Minimierung der Verbesserungen [ v ]. Neu: Stochastisches Signal: s Formel: l = f(x) + s + n v Die Verbesserungen [v] werden in ein lokales Signal [s] und ein normalverteiltes Rauschen [n] aufgespaltet. Mathias Pennekamp ~ Kriging

9 Unterschied von z(x) und l:
Abb. 1 Geostatistik-Modell Quelle: Prof. Dr. W.-D. Schuh Der Attributwert einer Zufalls-variablen wird mit z bezeichnet: z(x) = f (x) + s + n Unterschied von z(x) und l: l ... Beobachtung z(x) ... Attributwert auch für unbeprobte Stellen Mathias Pennekamp ~ Kriging

10 Der Erwartungswert [ E ]:
II. Signalbehandlung - statistische Grundbegriffe l = f(x) +s + n I. Kriging – Einstieg Der Name :“Kriging“ Rückblick Ziel II. Signalbehandlung statistische Grundbegriffe Semivarianz Semivariogramm III. Kriging Analysen im Semivariogramm Beispielrechnung verschiedene Krigingverfahren Der Erwartungswert [ E ]: Der Erwartungswert der Summe aller Signale über das Gebiet ist null E { s } = 0 vgl. E {  v } = 0 Lokal jedoch existiert ein Erwartungswert für das Signal E { si } = si E { si } = si E { s } = 0 Mathias Pennekamp ~ Kriging

11 Lokale Betrachtung des Signals:
II. Signalbehandlung - statistische Grundbegriffe I. Kriging – Einstieg Der Name :“Kriging“ Rückblick Ziel II. Signalbehandlung statistische Grundbegriffe Semivarianz Semivariogramm III. Kriging Analysen im Semivariogramm Beispielrechnung verschiedene Krigingverfahren l = f(x) +s + n Lokale Betrachtung des Signals: Idee 1: Die Beobachtungen l benachbarter Punkte sind ähnlich Korrelationen (Abhängigkeit) zwischen den benachbarten Punkten Pi(xi,yi) Idee 2: Je größer der Punktabstand, desto geringer die Ähnlichkeit der Beobachtungen  Distanzabhängigkeit P1 P2 P3 P4 P5 P6 Mathias Pennekamp ~ Kriging

12 II. Signalbehandlung - statistische Grundbegriffe
I. Kriging – Einstieg Der Name :“Kriging“ Rückblick Ziel II. Signalbehandlung statistische Grundbegriffe Semivarianz Semivariogramm III. Kriging Analysen im Semivariogramm Beispielrechnung verschiedene Krigingverfahren l = f(x) +s + n Stationarität: Idee 3: Die Lage der Punkte spielt für die Korrelation keine Rolle, es interessiert nur die Distanz  Stationarität z4 z3 z2 z1 P3 P4 P1 P2 d12 d34 In Pi wird zi beobachtet: Stationarität heißt, wenn d12 = d34  E{ z12 } = E{ z34 } und ist eine Voraussetzung für Kriging Mathias Pennekamp ~ Kriging

13 Verknüpfung von Distanz und Signal (1)
- Semivarianz - I. Kriging – Einstieg Der Name :“Kriging“ Rückblick Ziel II. Signalbehandlung statistische Grundbegriffe Semivarianz Semivariogramm III. Kriging Analysen im Semivariogramm Beispielrechnung verschiedene Krigingverfahren Definition: (d) = ½{ z(P) – z(P+d) } ² (d) Semivarianz für die Distanz d z(P) Attributwert im Punkt P(x,y) z(P+d) ... Attributwert in einem Punkt, der um d von P(x,y) entfernt ist Problem: Die Semivarianz muss für alle Punkte des Datensatzes und für alle Distanzen bestimmt werden. [Komplexität] = O(n²) ; n ... Anzahl der Punkte Vereinfachung: Bildung von Entfernungs-klassen: Bsp.: km km 80 ... Mathias Pennekamp ~ Kriging

14 Verknüpfung von Distanz und Signal (2) - Entfernungsklassen (Bsp.) -
I. Kriging – Einstieg Der Name :“Kriging“ Rückblick Ziel II. Signalbehandlung statistische Grundbegriffe Semivarianz Semivariogramm III. Kriging Analysen im Semivariogramm Beispielrechnung verschiedene Krigingverfahren Einordnen der Distanzen zwischen den Punkten in die zugehörige Klasse 42, 44, 49, 51, 57, 67, 71  Berechnung des arithmetischen Mittels von allen Distanzen in einer Klasse 54,43 Bestimmung der Semivarianzen zwischen allen Punkten in der Klasse = 21 Semivarianzen Berechnung der mittleren Semivarianz einer Entfernungsklasse eine Semivarianz pro Entfernungsklasse Mathias Pennekamp ~ Kriging

15 Verknüpfung von Distanz und Signal (3)
- Semivariogramm - I. Kriging – Einstieg Der Name :“Kriging“ Rückblick Ziel II. Signalbehandlung statistische Grundbegriffe Semivarianz Semivariogramm III. Kriging Analysen im Semivariogramm Beispielrechnung verschiedene Krigingverfahren Ein Semivariogramm ist ein Diagramm, bei dem Semivarianz und Distanz gegeneinander aufgetragen wird.  (d12) = ½ { z1 – z2 } ² P1 P2 d12 z1 z2 (d) d  (d12) d12 Mathias Pennekamp ~ Kriging

16 Empirisches Semivariogramm
I. Kriging – Einstieg Der Name :“Kriging“ Rückblick Ziel II. Signalbehandlung statistische Grundbegriffe Semivarianz Semivariogramm III. Kriging Analysen im Semivariogramm Beispielrechnung verschiedene Krigingverfahren d (d) Problem (u.a.): - ... - nur punkthafte Information ? Lösung (u.a.): Theoretisches Semivariogramm - Approximation der Punkte durch eine Funktion d Mathias Pennekamp ~ Kriging

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III. Kriging I. Kriging – Einstieg Der Name :“Kriging“ Rückblick Ziel II. Signalbehandlung statistische Grundbegriffe Semivarianz Semivariogramm III. Kriging Analysen im Semivariogramm Beispielrechnung verschiedene Krigingverfahren Idee: Optimierung der Gewichte mit Hilfe des Semivariogramms Vorteil: Genauigkeit der geschätzten Fläche ist bestimmbar. Größen des Semivariogramms sind Nugget, Range und Sill. Mathias Pennekamp ~ Kriging

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Analysen im Semivariogramm I. Kriging – Einstieg Der Name :“Kriging“ Rückblick Ziel II. Signalbehandlung statistische Grundbegriffe Semivarianz Semivariogramm III. Kriging Analysen im Semivariogramm Beispielrechnung verschiedene Krigingverfahren Nugget ist ein Maß für Streuung des Signals im Nahbereich (Messfehler): Semivarianz für d = 0: (d) = ½{ z(P) – z(P+d) } ²  (d) = 0 Range gibt an, wie weit die Punkte korrelieren: Bestimmung der Größe der Nachbarschaft, dessen Punkte ich zur Interpolation verwende. Sill gibt das Maximum des Semivariogramms an. Sie ist ein Maß für die Varianz der beobachteten Attributwerte. Mathias Pennekamp ~ Kriging

19 Mathias Pennekamp ~ Kriging
Beispiel zur Bestimmung der optimalen Gewichte: I. Kriging – Einstieg Der Name :“Kriging“ Rückblick Ziel II. Signalbehandlung statistische Grundbegriffe Semivarianz Semivariogramm III. Kriging Analysen im Semivariogramm Beispielrechnung verschiedene Krigingverfahren geg.: Punktdatensatz ges.: Attributwert an einem unbeprobten Ort ? 1) Bestimmung der Distanzen zwischen den Punkten Range 2) Bestimmung der Semivarianzen für alle Distanzen [ij] 3) Aufstellen einer Matrix, die diese Semivarianzen enthält 4) Bestimmung der optimalen Gewichte mit dem Kriging-Schätzer Zu 1) Im Normalfall  Entfernungsklassen berücksichtigen Zu 2) Semivarianzen aus dem Semivariogramm bestimmen Mathias Pennekamp ~ Kriging

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Zu 3) Matrix der Semivarianzen I. Kriging – Einstieg Der Name :“Kriging“ Rückblick Ziel II. Signalbehandlung statistische Grundbegriffe Semivarianz Semivariogramm III. Kriging Analysen im Semivariogramm Beispielrechnung verschiedene Krigingverfahren    10 : : : : :   * 6 = 60 m 1 6 2 3 4 5 ? Semivarianz für die Punkte 1 und 6 Zu 4) Die zu berechnenden, optimalen Gewichte sind 1- 6 .: Lösung: z0 = 1*l1 + 2*l 6*l6 Warum ?  Ausarbeitung Mathias Pennekamp ~ Kriging

21 Verschiedene Krigingverfahren
I. Kriging – Einstieg Der Name :“Kriging“ Rückblick Ziel II. Signalbehandlung statistische Grundbegriffe Semivarianz Semivariogramm III. Kriging Analysen im Semivariogramm Beispielrechnung verschiedene Krigingverfahren 1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination 1.1 Simple Kriging 1.2 Ordinary Kriging 1.3 Universal Kriging 2. Indicator Kriging 3. Probability Kriging 4. Disjunctive Kriging 5. Co-Kriging 1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination 1.1 Simple Kriging 1.2 Ordinary Kriging 1.3 Universal Kriging 2. Indicator Kriging 3. Probability Kriging 4. Disjunctive Kriging 5. Co-Kriging 1.1 Simple Kriging 1.1 Simple Kriging Der Trend f(x) wird beim Simple Kriging konstant gesetzt, d.h. man setzt den globalen Mittelwert als Trend ein: f (x) =  l s  Mathias Pennekamp ~ Kriging

22 Verschiedene Krigingverfahren
I. Kriging – Einstieg Der Name :“Kriging“ Rückblick Ziel II. Signalbehandlung statistische Grundbegriffe Semivarianz Semivariogramm III. Kriging Analysen im Semivariogramm Beispielrechnung verschiedene Krigingverfahren 1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination 1.1 Simple Kriging 1.2 Ordinary Kriging 1.3 Universal Kriging 2. Indicator Kriging 3. Probability Kriging 4. Disjunctive Kriging 5. Co-Kriging 1.2 Ordinary Kriging Der Trend f(x) wird beim Ordinary Kriging durch eine Funktion (z.B. Polynom 3. Grades) global approximiert und vorm Kriging eliminiert. l Mathias Pennekamp ~ Kriging

23 Verschiedene Krigingverfahren
I. Kriging – Einstieg Der Name :“Kriging“ Rückblick Ziel II. Signalbehandlung statistische Grundbegriffe Semivarianz Semivariogramm III. Kriging Analysen im Semivariogramm Beispielrechnung verschiedene Krigingverfahren 1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination 1.1 Simple Kriging 1.2 Ordinary Kriging 1.3 Universal Kriging 2. Indicator Kriging 3. Probability Kriging 4. Disjunctive Kriging 5. Co-Kriging 1.3 Universal Kriging Der Trend f(x) wird wie beim Ordinary Kriging eliminiert, mit dem Unterschied, dass lokale Trends (Signal) berücksichtigt werden können. Möglich- keit der iterativen Trendbestimmung: l -Parameterschätzung -verbleibendes Signal liefert Abhängigkeiten -Iterationsprozess möglich mit neuen Parametern Mathias Pennekamp ~ Kriging

24 Verschiedene Krigingverfahren
I. Kriging – Einstieg Der Name :“Kriging“ Rückblick Ziel II. Signalbehandlung statistische Grundbegriffe Semivarianz Semivariogramm III. Kriging Analysen im Semivariogramm Beispielrechnung verschiedene Krigingverfahren 1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination 1.1 Simple Kriging 1.2 Ordinary Kriging 1.3 Universal Kriging 2. Indicator Kriging 3. Probability Kriging 4. Disjunctive Kriging 5. Co-Kriging 2. Indicator Kriging Entwirft eine Karte, die angibt mit welcher Wahrscheinlichkeit ein wähl- barer Schwellenwert (Threshold), wie z.B. ein kritischer Ozonwert erreicht wird. l Mathias Pennekamp ~ Kriging

25 Verschiedene Krigingverfahren
I. Kriging – Einstieg Der Name :“Kriging“ Rückblick Ziel II. Signalbehandlung statistische Grundbegriffe Semivarianz Semivariogramm III. Kriging Analysen im Semivariogramm Beispielrechnung verschiedene Krigingverfahren 1. Verfahren mit unterschiedlicher Trendelimination 1.1 Simple Kriging 1.2 Ordinary Kriging 1.3 Universal Kriging 2. Indicator Kriging 3. Probability Kriging 4. Disjunctive Kriging 5. Co-Kriging 5. Co-Kriging Co-Kriging benutzt zur Interpolation der Fläche einen zweiten Datensatz eines Attributs (z.B. Cd-Belastung), welches sich ähnlich zum ersten Datensatz (z.B. Pb-Belastung) verhält. l Vorteil: Schwach beprobte Stellen können effizienter geschätzt werden. [Multivariates Kriging] Mathias Pennekamp ~ Kriging