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Genetische Algorithmen für die Variogrammanpassung Inhalt: Einleitung: zufälliges Feld, Isotropie,... Motivation: Variogramm-Anpassung Genetische (Such-)Algorithmen:

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Präsentation zum Thema: "Genetische Algorithmen für die Variogrammanpassung Inhalt: Einleitung: zufälliges Feld, Isotropie,... Motivation: Variogramm-Anpassung Genetische (Such-)Algorithmen:"—  Präsentation transkript:

1 Genetische Algorithmen für die Variogrammanpassung Inhalt: Einleitung: zufälliges Feld, Isotropie,... Motivation: Variogramm-Anpassung Genetische (Such-)Algorithmen: Zielstellung Beschreibung des Algorithmus anhand eines Beispiels Anwendung: Variogramm-Anpassung

2 Einleitung Ein Zufallsfeld Z(x, ) ist eine zufällige Funktion, die sowohl von den Elementarereignissen als auch von einem Vektor x abhängt. Z(x, ) ist also eine Zufallsvariable. Ein stationäres Zufallsfeld heißt isotrop, falls Z(x, ) seine Eigenschaften bei Verschiebungen und Drehungen nicht ändert; dies wird bei diesem Vortrag stets vorausgesetzt.

3 Einleitung Als empirisches Variogramm bezeichnet man die Funktion Diese Funktion soll durch x (h) approximiert werden Nimmt man als Funktionenklasse für x (h) exponentielle Funktionen mit Nugget-Effekt, so ergibt sich mit x = (a, b, c)

4 exponentiell mit Nuggeteffekt: x = (a, b, c) empirisches Variogramm: (mit im Bild: theoretisches Variogramm: sphärisch mit Nugget-Effekt)

5 Motivation: Variogrammanpassung gegeben: -empirisches Variogramm -parametrisches isotropes Variogramm-Modell x (h) z.B. exponentiell mit Nugget-Effekt: mit x = (a, b, c); a, b, c gesucht: -möglichst gute Parameter für das theoretische Variogramm- Modell

6 Parameteranpassung z. B. mittels GAen Bewertungsfunktion soll minimiert werden mit oder

7 GAen: Grundidee Nachbau der genetischen Selektion: -Überleben der Stärksten -Kreuzung / Paarung -Mutation (selten)

8 Gegeben: -diskreter Parameterraum P; meist: P={0,1} b -Bewertungsfunktion f: P R + -Populationen Pop k : m-Tupel mit Elementen aus P, Pop 1 zufällig Zielstellung: -Bewertungsfunktion f maximieren Problem- und Zielstellung des Algorithmus

9 Beispiel: Blackbox -Blackbox mit 5 Schaltern -Schalter entsprechen Bits => P={0,1} 5 ={0,...,31} -Bewertungsfkt: f(x) = x² Bild: x = (10110) 2 = 22 => f(x) = 22² = 484 Die Eigenschaften (z.B. lokale Minima o. ä.) sind dem GA unbekannt!

10 Vorab: 1. Population m=Populationsgröße; Pop k =(x k,1,...,x k,m ); x k,i =(x k,i,1,...,x k,i,b ) hier: m=4; b=5 => Pop 1 = (x 1,1,...,x 1,4 ) und - zufällig gewählt: x 1,1 = (0, 1, 1, 0, 0) = 13; x 1,2 = (1, 1, 0, 0, 0) = 24; x 1,3 = (0, 1, 0, 0, 0) = 8; x 1,4 = (1, 0, 0, 1, 1) = 19

11 Grundmuster der GAen Ein GA besteht aus 3 Teilen: 1.Reproduktion 2. Kreuzung 3.Mutation

12 1. Teil: Reproduktion -Population Pop k bewertet mit f(x k,i ) (i=1,...,m) -x k,i erhält Reproduktionswkt. p i : -neue Population Pop k+1 : x k+1,i = x k,j mit Wkt. p j (i,j=1,...,m)

13 Bsp: Berechnung der Wkten p i x 1,1 = (0, 1, 1, 0, 0)=> f(x 1,1 ) = 169=> p 1 = 0,14 x 1,2 = (1, 1, 0, 0, 0)=> f(x 1,2 ) = 576=> p 2 = 0,49 x 1,3 = (0, 1, 0, 0, 0)=> f(x 1,3 ) = 64=> p 3 = 0,06 x 1,4 = (1, 0, 0, 1, 1) => f(x 1,4 ) = 361=> p 4 = 0,31 =>

14 Bsp: Reproduktion x 1,1 = (0, 1, 1, 0, 0) => p 1 = 0,14 => 1 x 1,2 = (1, 1, 0, 0, 0) => p 2 = 0,49 => 2 x 1,3 = (0, 1, 0, 0, 0) => p 3 = 0,06 => 0 x 1,4 = (1, 0, 0, 1, 1) => p 4 = 0,31 => 1 => Pop 2 = (x 1,1, x 1,2, x 1,2, x 1,4 )- vorerst!

15 2. Teil: Kreuzung -Paare werden zufällig gebildet -Eigenschaften (x k,i,j ), k fest werden zufällig gekreuzt -mit zufälliger Wkt. p c (meist p c 0,9) -angepasst an Problem

16 Bsp: Kreuzung x 2,1 = (0, 1, 1, 0, 1)=> (0, 1, 1, 0, 0) x 2,2 = (1, 1, 0, 0, 0) => (1, 1, 0, 0, 1) x 2,3 = (1, 1, 0, 0, 0) => (1, 1, 0, 1, 1) x 2,4 = (1, 0, 0, 1, 1) => (1, 0, 0, 0, 0) Kreuzungen: -nach zufälliger Stelle -mit zufälliger Wkt. p c = 0,9

17 3. Teil: Mutation -zufällige Änderung jedes Parameters x k,i,j mit Wkt. p m 0,001 -Ziel: ungewöhnliche Maxima finden (Sprungstelle o. ä.)

18 Bsp: Mutation x 2,1 = (0, 1, 1, 0, 0) bleibt x 2,2 = (1, 1, 0, 0, 0) bleibt x 2,3 = (1, 1, 0, 1, 1) =>(1, 1, 0, 1, 0) x 2,4 = (1, 0, 0, 1, 1) bleibt

19 Endpopulation nach 1. Schritt x 2,1 = (0, 1, 1, 0, 0) = 12=> f(x 2,1 ) = 144 x 2,2 = (1, 1, 0, 0, 1) = 25=> f(x 2,2 ) = 625 x 2,3 = (1, 1, 0, 1, 0) = 26=> f(x 2,3 ) = 676 x 2,4 = (1, 0, 0, 0, 0) = 16=> f(x 2,4 ) = 256 Ergebnis nach 1. Durchlauf: x 2,2 (=26).

20 Abbruchbedingung Z. B.: -Verbesserung der Bewertung gering (~0,1%) -feste Anzahl von Durchläufen

21 Besonderheiten von GAen mehrere Elemente gleichzeitig (im Gegensatz zum Newton-Verfahren o. ä.) direkte Bewertungsfunktion probabilistischer Ansatz

22 Vor- und Nachteile von GAen +finden globale Maxima +Unempfindlichkeit gegenüber Störungen und Rauschen +universelle Einsetzbarkeit -keine Verwendung von Zusatzinformationen => gut geeignet für Variogrammanpassung

23 Anwendung: exponentielles Variogramm mit Nuggeteffekt Gegeben: -Messdaten z(x 1 ),...,z(x n ) => zu approximierendes empirisches Variogramm -Parameterraum P=R + ³ mit: -Nugget-Effekt-Parameter: Sill a -exponentielle Parameter: Sill b & Range c x=(a, b, c)

24 Anpassung des Algorithmus diskreter Parameterraum Anfangspopulation Bewertungsfunktion Reproduktion Kreuzung Mutation Abbruchbedingung

25 1. Parameterraum 3 Parameter: Nugget-Sill a, exp. Sill b, exp. Range c sinnvollen Parameterbereich definieren Abbildung vom 2 b in den jeweiligen Parameterbereich

26 2. Anfangspopulation Pop 1 =(x 1,1,..., x 1,m ); x 1,i = (a 1,i, b 1,i, c 1,i ) zufällig gewählt aus der Erfahrung ergibt sich: mindestens m=100 (je nach Rechenzeit)

27 3. Bewertungsfunktion Es gilt: wobei f(x) minimiert werden soll!! : Wert der Modellfunktion bei h i : Wert der empirischen Funktion bei h i

28 4. Reproduktion Wegen Minimierung anders: mit

29 5. Kreuzung findet mit p c statt (p c 0,9) Möglichkeit 1: Parameter vertauschen Möglichkeit 2: innerhalb der Parameter kreuzen jeweils an Stelle j mit Wahrscheinlichkeit q j

30 vorher nachher Beispiel zu Möglichkeit 1:

31 6. Mutation an jeder Stelle mit Wkt. r j 0,001

32 7. Abbruchbedingung nur minimale Verbesserung des besten theoretischen Variogramms (~0,1%) feste Anzahl von Durchläufen


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