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1 Portfoliomodelle Faktormodelle Jan Wosnitza Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells.

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Präsentation zum Thema: "1 Portfoliomodelle Faktormodelle Jan Wosnitza Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells."—  Präsentation transkript:

1 1 Portfoliomodelle Faktormodelle Jan Wosnitza Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells

2 2 Quelle: Wehn, C. S.: Einführung in die finanzmathematische Messung von Kreditrisiken..., Siegen 2006 Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells

3 3 Stochastischer Prozess = Betrachtung von Zufallsvariablen im zeitlichen Verlauf Irrfahrten = Einfache zeitdiskrete stochastische Prozesse zur idealisierten Modellierung von Kursen oder Bewegung physikalischer Teilchen Ausgehend von einem Startwert X(t=0) werden die Zufallsvariablen X(t), für Zeitpunkte t=1,2,… rekursiv nach einfachen Konstruktionsprinzipien erzeugt. Erwartungswert und Varianz: Credit Event = Ereigniss Default = Ausfall Downgrading = Bonitätsverschlechterung Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells

4 4 Z(t) = Zufälliger binärer Zuwachs, der die Werte u (up) und – d (down) annehmen kann: Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells

5 5 sbewegung,

6 6 Wiederholung: 66 Für den Erwartungswert und die Varianz ergibt sich ein linearer Trend: Wegen der Unabhängigkeit der einzelnen Zuwächse und der Linearität des Erwartungswertes gilt: Satz 1 Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells

7 7 Satz 2 Für zwei unabhängige Zufallsvariablen gilt: Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells

8 8 Beweis 2 Nebenrechnung für den Integranden: Nebenrechnung für Erwartungswerte: Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells

9 9 Beweis 2 Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells

10 10 Wiederholung: Für die Varianz erhält man unter Berücksichtigung der Unabhängigkeit der Zuwächse: Beweis 1 Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells

11 11 Wiederholung: Beweis 1 Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells

12 12 Binomialprozesse sind zur Modellierung von positiven Zufallsvariablen bzw. Prozessen nur bedingt geeignet, da auch negative Realisationen möglich sind, und die Größe der Zuwächse unabhängig vom momentanen Wert sind, was empirischen Erfahrungen widersprechen kann (z.B. Aktienkurse Geometrische Binomialprozesse sind durch eine multiplikative Rekursion definiert: Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells

13 13 Wiederholung: Aus der Linearität des Erwartungswertes und der Unabhängigkeit der Zufallsvariablen folgt: Dabei gilt: Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells

14 14 Durch Logarithmieren erhält man einen Binomialprozess (=Random Walk): Für große t ist Y t approximativ normalverteilt (Zentraler Grenzwertsatz!) und somit X t approximativ lognormalverteilt. Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells

15 15 Allgemeinere Irrfahrten ergeben sich zum Beispiel, wenn die Zuwächse weiterhin als unabhängig und identisch verteilt angenommen werden, Eine Gaußsche Irrfahrt erhalten wir, wenn wir normalverteilte Zuwächse annehemen: Wenn der Startwert X 0 gleich Null ist, folgt: Wegen des zentralen Grenzwertsatzes gilt für beliebig identisch verteilte Zuwächse: Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells

16 16 Stochstische Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen, besitzen die Markov-Eigenschaft: Bei bekannter Gegenwart sind Zukunft und Vergangenheit (bedingt) unabhängig. Insbesondere Irrfahrten der Form sind stochstische Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen. Geometrische Irrfahrten sind zwar keine Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen, sie besitzen jedoch gemäß ihrer Definition offensichtlich die Markov-Eigenschaft: Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells

17 17 Ein stochastischer Prozess {W(t), t 0} heißt Wiener-Prozess, wenn gilt: a)W(t)~N(0; ²t) b)W(0)=0 c)Der Prozess hat unabhängige Zuwächse, d.h. für 0 s

18 18 ener-Prozess,

19 19 Wiederholung: Bestimmung der Kovarianz des Wiener-Prozess W(t)-W(s) ist per Definition unabhängig von W(s). Daraus folgt, dass der Korrelationskoeffizient zwischen den beiden Größen Null ist. Per Definition des Korrelationskoeffizenten ist nun auch die Kovarianz der beiden Größen Null. (Die Verweise in der Gleichung beziehen sich auf die Definition des Wiener-Prozess a) und c)

20 20 Auch die Markov-Eigenschaft überträgt sich von der Irrfahrt auf den Wiener-Prozess Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells

21 21 Ein stochastischer Prozess {X(t), t 0} heißt geometrische Brownsche Bewegung, wenn gilt: a)X(0)=1 b)Für 0

22 22 Die geometrische Brownsche Bewegung ist auch Lösung der speziellen stochastischen Differentialgleichung der Form: ? Stochastische Prozesse Einführung Grundlegendebegriffe Random Walk Geometrische Irrfahrten Allgemeine Irrfahrten Markov-Eigenschaften Wiener Prozess Geometrisch Brownsche Bewegung Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells

23 23 etrische_brownsche_Bewegung,

24 24 Aktienkurs von Henkel AG &Co. KGAA https://www.cortalconsors.de/ euroWebDe/-,

25 25 Bilanz AktivaPassiva Vermögen = A Eigenkapital = S Fremdkapital = K Unternehmenswert zum Zeitpunkt T = A T : Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

26 26 Im Zeitpunkt T sind folgende Fälle zu unterscheiden: a)A T K Das Fremdkapital K wird zurückgezahlt Der Restwert des Unternehmens für die Aktionäre beträgt A T -K 0 b)A T

27 27 Das Auszahlungsprofil ist in der Abbildung dargestellt. Links: aus Sicht der Eigenkapitalgeber Rechts: aus Sicht der Fremdkapitalgeber Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells Put- und Calloption

28 28 Annahmen im Modell von Black-Scholes: a)Markt lässt keine Arbitragemöglichkeit zu b)Keine Dividenden c)Zinssatz r bekannt und fest d)Volatilität des Underlyings bekannt und fest e)Keine Transaktionskosten f)Zeitlich kontinuierlicher Handel möglich g)Beliebig kleine Stückelung des Underlyings h)Leerverkauf des Underlyings möglich i)Geldleihe j)Lognormalverteilung des Aktienkurses Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

29 29 Lognormalverteilung des Aktienkurses Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

30 30 Black-Scholes-Merton-Formel: (Herleitung: Lemm, J. (2006): Binomialmodell für Optionen)

31 31 Satz 3 Erwartungswert der Lognormalverteilung: Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

32 32 Beweis 3

33 33 Eine besondere Rolle spielt die Standardnormalverteilung. Oftmals führt man normalverteilte Zufallsvariablen auf ihr standardisiertes Analogon zurück. Dies ist in der Regel ohne Informationsverlust möglich, da die Standardisierung lediglich eine lineare Transformation ist. Zur Transformation der Log-Renditen in eine standardnormalverteilte Zufallsvariable definieren wir Z durch: Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

34 34 Damit lässt sich die Verteilungsfunktion F einer N(, 2 )-verteilten Zufallsvariable X durch die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ausdrücken: Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

35 35 Für die risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeit gilt im Merton-Modell bei einem zur Zeit 0 noch nicht ausgefallenen Unternehmen: Man beachte, dass es sich hierbei um risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeiten handelt.Die Distance to Default –d2 gibt einen Abstand bis zum Ausfall des Unternehmens an. Dies ist ein zentraler Parameter im Merton-Modell

36 36 Beweis 5 Beweis für: Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

37 37 Satz 4 Man beachte, dass es sich hierbei um risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeiten handelt. Die Distance to default –d 2 gibt einen Abstand bis zum Ausfall des Unternehmens an

38 38 Wiederholung: Satz 4 Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

39 39 Wiederholung: Beweis 4 Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

40 40 Beweis 4 Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

41 41 Beweis 4 Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

42 42 Beweis 4 Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

43 43 Satz 5 Der Barwert der Kreditrisikobehafteten Nullkuponanleihe P T =K- (K-A T ) + zum Zeitpunkt t [0;T] ist: Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

44 44 Wiederholung: Beweis 5 Per Konstruktion ist P t bei Fälligkeit die Differenz aus einem Zerobond mit Nominal K und einer Put-Option auf den Firmenwert mit Strike K. Dann ist P t zur Zeit t T damit gleich der Differenz der Barwerte dieser Instrumente: Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells ?

45 45 Das Ein-Faktor-Merton-Modell geht als Spezialfall der Asset- Wert-Modelle davon aus, dass das ökonomische Geschick eines Kreditnehmers von der Realisierung eines zugrunde liegenden latenten Prozesses abhängt. Dieser Prozess wird als stochastischer Prozess modelliert, wobei die Stochastik dieses Prozesses die allgemeine Unsicherheit bzgl. zukünftiger Entwicklungen ausdrücken soll Sobald das Vermögen einer Firma eine gewisse kritische Schranke c i unterschreitet, wird die Firma als insolvent oder zahlungsunfähig angesehen und alle zugehörigen Kredite werden als ausgefallen markiert. Beschränkt man sich bei dieser Betrachtungsweise auf einen festen Evaluierungshorizont auf der Zeitachse, reduziert sich der latente Prozess auf eine zugrunde liegende latente Variable, die einer gewissen Verteilung folgt. Das klassische Meron-Modell nimmt als latenten Prozess die log-Renditen einer geometisch Brownschen Bewegung an, woraus für einen festen Evaluierungshorizont T>0 normalverteilte Variablen resultieren. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

46 46 Wir gehen von einem Portfolio mit m Kreditnehmern aus. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass jeder Kreditnehmer nur einen Kredit bei der Bank aufgenommen hat. Die latente Variable von Kreditnehmer i ist R i Sobald der Score R i unter eine gewisse, kritische Schranke ci fällt, R i

47 47 Die Variablen i bezeichnen hierbei unabhängige identisch verteilte Zufallsvariablen, unabhängig von Y, welche die residuale, nicht durch Schwankungen des systematischen Faktors Y erklärbare Schwankungen der latenten Variablen R i widerspiegeln. Der Faktor i quantifiziert das Maß der Abhängigkeit der latenten Variablen R i von dem systematischen Faktor Y Merton hat in seinem Modell folgende Normalverteilungsannahme getroffen: Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

48 48 Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

49 49 https://www.cortalconsors.de/, Blau: Bear Stearns Cos. Inc.

50 50 https://www.cortalconsors.de/, Grün: DAX Blau: Deutsche Bank

51 51 https://www.cortalconsors.de/, Grün: SMI Blau: Novartis

52 52 https://www.cortalconsors.de/, Grün: Dow Jones Industrial Average Blau: General Electrics

53 53 Wiederholung: Aus den getroffenen Normalverteilungsannahmen erhalten wir: Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

54 54 Mit Hilfe der Fouriertransformation erhalten wir eine andere Darstellung für die Delta-Funktion: Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

55 55 Satz 6 Die Variable R i ist als Linearkombination zweier unabhängiger standardnormalverteilter Zufallsvariablen ebenfalls standardnormalverteilt: Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

56 56 Wiederholung: Beweis 6

57 57 Als Quantil der Ordnung p (oder p-Quantil)wird in der Statistik ein Merkmalswert bezeichnet unterhalb dessen ein vorgegebner Anteil p aller Fälle der Verteilung liegt. Dabei ist p eine reelle Zahl zwischen 0 und 1. Allgemeiner wird in der Mathematik das p-Quantil wie folgt definiert: Sei X eine Zufallsvariable und F ihre Verteilungsfunktion, so heißt für p {0; 1} die durch unten angegebene Funktion definierte Funktion F -1 Quantilfunktion. F -1 (p) wird als p-Quantil von F bezeichnet Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

58 58 antil,

59 59 Wiederholung: Der Schwellenwert c i ist folglich ein Quantil der Standardnormalverteilung: Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

60 60 Satz 7 Die Korrelation der latenten Variablen zweier verschiedener Kreditnehmer ist: Man spricht bei dieser Korrelation auch von Assetkorrelation zweier Kreditnehmer Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

61 61 Beweis 7

62 62 Ausfallwahrscheinlichkeit im Einfaktormodell Erwähnenswert ist die Eigenschaft der bedingten Unabhängigkeit der Kreditnehmer, gegeben eine Realisierung Y=y des systematischen Faktors Y. Die Unabhängigkeit der Kreditausfälle – gegeben Y=y – legt nahe die bedingten Ausfallwahrscheinlichkeiten etwas näher zu betrachten: Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

63 63 Wiederholung: Die unbedingte Ausfallwahrscheinlichkeit geht in die bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit über folgenden Zusammenhang ein: Ein gemeinsamer Ausfall tritt dann und nur dann ein, wenn am Evaluierungshorizont T die Ausfallereignisse für beide Kreditnehmer eingetreten sind. Stochastisch gesprochen hängt also die Wahrscheinlichkeit für das simultane Ausfallereignis von der gemeinsamen Verteilung von R i und R j ab. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

64 64 Zufallsvektor: Ein p-dimensonaler Zufallsvektor setzt sich aus p eindimensionalen Zufallsvariablen zusammen: Erwartungswertvektor: Existiert für jede Zufallsvariable X i eines Zufallsvektors X der Erwartungswert i so schreiben wir: Kovarianzmatrix: Die Kovarianz Cov(X i, X j ) zweier Zufallsvariablen X i und X j wird mit ij bezeichnet. Die Kovarianzmatrix enthält alle Kovarianzen und Varianzen eines Zufallsvektors: Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

65 65 Korrelationsmatrix: Die Korrelaionsmatrix R enthält anstelle der Kovarianzen die Korrelationen ij der Zufallsvariablen X i und X j Die Kovarianzmatrix und Korrelationsmatrix enthalten unter- und oberhalb der Hauptdiagonalen genau die gleichen Elemente, da: Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

66 66 Die Mehrdimensionale Normalverteilung ist ebenso wie ihr eindimensionales Pendant eine stetige Verteilung, so dass eine Dichte existiert: Für p=2 sprechen wir von einer bivarianten Normalverteilung: Für den Fall, dass X 1 und X 2 standardnormalverteilt sind, vereinfacht sich die Dichte der bivarianten Normalverteilung:

67 67 ardnormalverteilung,

68 68 Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit: Da c i und c j über c i = -1 (p i ) und c j = -1 (p j ) von den Ausfallwahrscheinlichkeiten abhängen, hängt auch die gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit von den Ausfallwahrscheinlichkeiten p i und p j ab. Als dritter Parameter geht in die gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit die Assetkorrelation zwischen den betrachteten Kreditnehmern ein. Eine analoge Gleichung kann für die gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit für k der m Kreditnehmer im Portfolio (k m) hergeleitet werden. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

69 69 Satz 8 Cauchy-Schwarz-Ungleichung: Für zwei Zufallsgrößen X und Y gilt: Gleichheit gilt genau dann, wenn es reelle Zahlen a,b gibt, die nicht beide Null sind, sodass P(aX+bY=0)=1, d.h. wenn X und Y konstante Vielfache von einander sind. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

70 70 Beweis 8 Wir dürfen annehmen, dass >0, denn sonst wäre P(Y=0)=1, also auch E(XY)=0, und die behauptete Ungleichung stimmt trivalerweise. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

71 71 Falls Gleichheit gilt, so ist der Erwartungswert von ( X- Y) 2 gleich Null, also folgt P( X- Y=0)=1. Falls >0, so können wir =a und b= wählen. Falls =0, so können wir a=0 und b=1 wählen. Beweis 8 Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

72 72 Aus einer Anwendung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung auf die Zufallsgrößen X-E(X) und Y-E(Y) folgt insbesondere die Ungleichung: Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

73 73 Wir stellen nun einen Zusammenhang zwischen Ausfall- und Assetkorrelation her: Die Standardabweichung erhält man über das Modell Bernoulli- verteilter Ausfälle Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

74 74 Wiederholung: Umrechnung von Assetkorrelationen ij in Ausfallkorrelationen Corr(1 D i,1 D j ): Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

75 75 Wiederholung: Die Faktordarstellung erlaubt die Zerlegung der latenten Variablen R i in eine systematische Komponente (gegeben durch die Variable Y) und einen kreditnehmerspezifischen Effekt i. Man kann die (quadrierte) Schwankung der latenten Variablen eines Kreditnehmers wie folgt zerlegen Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Unternehmenswert Black-Scholes-Modell Lognormalverteilung Standardnormalverteilung Herleitung der Ausfallwahrscheinlichkeit Barwert einer Nullkuponanleihe Einführung in das Einfaktormodell Nebenrechnungen Quantil Assetkorrelation Bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit Mehrdimensionaler Zufallsvektor Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit Chauchy-Schwarz Wertebereich Korrelationskoeffizient Zusammenhang zwischen Asset und Ausfallkorrelation Zerlegung der latenten Variablen Anwendungen des Faktormodells

76 76 Wir betrachten ein Portfolio mit m Kreditnehmern: Wir nehmen also vereinfachend an, dass die Assetkorrelation für alle Kreditnehmer gleich ist. Im Weiteren nehmen wir an, dass für alle Kreditnehmer die Kredithöhe (Exposure) L i =1 und die Schwellenwerte gleich sind: c i =c. Mit Hilfe des Satzes der Totalen Wahrscheinlichkeit, erhalten wir für die Wahrscheinlichkeit für genau n Ausfälle: Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+

77 77 Bei gegebenem treibendem Faktor Y=y ist die Wahrscheinlichkeit für genau n Ausfälle in dem Portfolio, wenn wir annehmen, dass p i =p j für alle i,j {1,2,…,m} Hier ist auch die bedingte Unabhängigkeit der Ausfälle im Portfolio eingegangen (Unabhängig bis auf die Ausprägung von Y) Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+

78 78 Die bedingte Aufallwahrscheinlichkeit eines einzelnen Kreditnehmers ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass der Wert der Firma R i unter den Schwellenwert c sinkt, unter der Bedingung, dass Y=y ist. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+

79 79 Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+

80 80 In einem Portfolio mit sehr vielen Kreditnehmern (m ) liefert das Gesetz der großen Zahlen, wobei X jetzt die relative Häufigkeit der Ausfälle darstellt. Somit kommen wir zu: Wir haben y so gewählt, dass p(-y )=x und p(y) x für y>y Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+

81 81 Wiederholung: Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+

82 82 Wiederholung: Mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse, erhalten wir für die Verlustfunktion, des realtiven Verlustes X Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+

83 83 Die bisherigen Ergebnisse können auf mehrere treibende Faktoren Y j der Assetwerte der Kreditnehmer erweitert werden Die Assetwerte (asset values) eines Kreditnehmers (einer Firma) werden duch einen Faktor Y von J möglichen treibenden Faktoren beeinflusst. Jeder treibende Faktor beeinflusst den Wert des Assets der n-ten Firma mit einem Gewicht n j. n nennt man den Gewichtsvektor der n-ten Firma. Die n-te Firma ist genau dann ausgefallen, wenn der Firmenwert unter die kritische Schranke c n. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+

84 84 Wenn eine Realisierung des Faktor-Vektors Y=y gegeben ist, dann ist die Ausfallwahrscheinlichkeit des n-ten Kreditnehmers: Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+

85 85 Wir können nun die Wahrscheinlichkeit für genau m Ausfälle in dem gesamten Portfolio angeben: (jetzt hat das Portolio genau N Kreditnehmer) Dabei geht die Summe über alle Teilmengen M {1,…,N} mit genau m Elementen. Man bezeichnet |M| als die Kardinalität |M|=m Die unbedingte Wahrscheinlichkeit genau m Ausfälle zu erleiden ist somit: Die numerische Implementierung dieser Gleichung ist oft unmöglich, wegen der großen Anzahl an Summationselementen in der Gleichung. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+

86 86 Beispiel. Angenommen, dass Portfolio besteht aus zwei Klassen von Kreditnehmern C 1 und C 2. N 1 Kreditnehmer befinden sich in Klasse C 1 und N 2 in C 2. Kreditnehmer der selben Klasse haben die selben Schwellenwerte c 1 oder c 2 und die selben Faktorbeladungen (factor loadings): Die Kreditnehmer werden in verschiedene risikoklassen bzgl. der Kriterien Industrie, Länder, Rating. Aber in den einzelnen Risikoklassen wird keine Unterscheidung bzgl. der Kreditnehmer getroffen. Ähnliche Klasseneinteilungen (Klassifikationen werden auch bei CreditMetrics oder CreditRisk+ getroffen. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+

87 87 Die Assetwerte der Kreditnehmer innerhalb einer Klasse sind korreliert mit einem Korrelationskoeffizient 1 bzw. 2 Die bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit in Klasse 1 und 2 sind: Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+

88 88 Die bedingte Wahrscheinlichkeit genau m 1 Ausfälle in Klasse 1 zu haben ist durch die Binomialwahrscheinlichkeit bestimmt: Insgesamt ergibt sich für die bedingte Wahrscheinlichkeit m Ausfälle in gesamten Portfolio zu beobachten Wenn m 1 Ausfälle in Klasse 1 geschehen, dann benötigen wir m- m 1 Ausfälle in Klasse 2 um gesamt Anzahl an Ausfällen m zu erhalten. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+

89 89 Die unbedingte Wahrscheinlichkeit m Ausfälle im gesamten Portfolio zu beobachten ergibt sich mit Hilfe des Satzes der Totalen Wahrscheinlichkeit zu: Analog lässt sich dieser Ansatz auf mehr als zwei Klassen von Kreditnehmern (Obligors) übertragen. Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+

90 90 Eine weitere Verallgemeinerung des Modells erhalten wir, wenn wir Ratingklassen einführen, die es uns ermöglichen Veränderungen im Marktwert der Werte im Portfolio vor einem Ausfall zu modellieren. Wir führen Ratingklassen-Übergänge ein, die beeinflusst werden durch Veränderungen der Vermögenswerte (asset values) R n, wenn die Firmenwerte bestimmte Schwellenwerte c kl unterschreiten. c kl ist der Schwellenwert für einen Übergang von Ratingklasse k zu Ratingklasse l. Wenn sich das Rating des Obligors (Kreditnehmers) n von der Ratingklasse k zu l verändert, dann verliert der Kredit (die Anleihe) den Wert (L n =Exposure=Höhe des Kredits) kl ·L n : Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+

91 91 Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert des Obligors n unter die Schwelle c kl, bei gegebenem Y=y, ist: Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+

92 92 Von der bedingten Wahrscheinlichkeit der Ratingklassenübergänge und der dazugehörigen Wertveränderung der Anleihe kl, können wir den bedingten Erwartungswert und die bedingte Varianz des Wertes der Anleihe des Kreditnehmers n angeben: Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+

93 93 The normal approximation now approximates the conditional distribution of the change in the value of the portfolio with a normal distribution with the same conditional mean and variance as the conditional mean and variance of the portfolio. Wenn die Anzahl der Kredite (Anleihen) in dem Portfolio groß ist, ist dies eine gute Approximation Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+

94 94 Wir nehmen für die bedingte Verteiteilung (bedingt bezüglich einer Realsiation der Zufallsvariablen Y) des Portfoliowerts eine Normalverteilung mit folgendem Mittelwert und Varianz an: Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+ Wenn die Anzahl der Kredite (Anleihen) in dem Portfolio groß ist, ist dies eine gute Approximation

95 95 Wiederholung: Bei Verwendung dieser Approximation wird die bedingte Verteilung des Portfoliowertes eine Standard-normalverteilung Die unbedingte Verteilungsfunktion des Portfolio Wertes ist: Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+

96 96 Asset-Wert-bassiertAusfallraten-basiert Credit Metrics (J.P.Morgan)CreditRisk+ (Credit Suisse First Boston) Insolvebz tritt ein, wenn das Vermögen eines Unternehmens seine Schu´lden unterschreitet. Deshalb hängt das Ausfallrisiko von der stochastischen Entwicklung der Aktiva eines Unternehmens ab. Da diese Entwicklung nicht direkt zu beobachten ist, werden andere Größen, z.B. der Börsenkurs als Indikatorvariable verwendet Die Schätzung des Ausfallwahrscheinlichkeit eines Kredites oder Kreditnehmers werden auf Basis historischer Ausfallhäufigkeiten vorgenommen Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+

97 97 Nach dem Risikokonzept bei der Definition des Modellierungsziels unterscheidet man Modelle, die einen möglichen Verlust aus dem Kreditausfall analysieren (Default models [DM]) und Modelle, die bereits eine Verschlechterung der Kreditqualität während der Laufzeit (z.B. Downgrading) als Kreditereignis betrachten und damit den Credit Spread von gehandelten Kreditinstrumenten wie Anleihen modellieren (Mark to Market Models [MTM]) CreditRisk+CreditMetrics Definition Risiko Verlust aus Kreditausfällen Marktwertänderung Risikotreiber Keiner (Default Rates)Asset-Wert Kreditausfälle Ja Bonitätsveränderungen Nein (integrierbar)Ja (Credit Spread) Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+

98 98 Bezüglich der Modellierung unterscheiden sich die einzelnen Modelle auch in den Datenquellen, wobei die Ausfallraten-Modelle bestimmte Abhängigkeiten über die Branchen und Sektoren oder auch makroökonomische bzw. konjunkturelle Abhängigkeiten unterstellen, während die Asset-Wert-basierten Modelle die multivariate Normalverteilung von Aktienrenditen und ihre Korrelation mit Aktienindizes unterstellen. Die Verluste bei Ausfall eines einzelnen Kredits (Loss Given Default [LGD]) sind ebenfalls a priori unbekannt. Für sie kann eine Korrelation mit anderen Einflussgrößen unterstellt werden oder der relative Verlust, der mit dem Rückgewinnungsanteil, der Recovery Rate, negativ korrespondiert, wird als konstant (zumindest pro Branche, Sektor, etc.) angenommen. Credit Risk+CreditMetrics Zuordnung der Ausfallraten Internes Scoring/RatingRating Korrelation von Ausfällen Stochastische Abhängigkeit der Ausfallraten Multivariate Normalverteilung der Asset-Renditen Korrelation der Kreditereignisse Volatile Ausfallraten und Sektorzuordnungen Korrelation der Aktienindizes (Region, Branche) Recovery Raten Zufälligkonstant Stochastische Prozesse Vorbereitungen für das Faktormodell Anwendungen des Faktormodells Analytische Herleitung der Verlsutverteilung Mehrfaktormodell Ausfallwahrscheinlichkeiten im Mehrfaktormodell Beispiel Ratingklassenübergänge Vergleich von CreditMetrics mit CreditRisk+

99 99

100 100 Vielen Dank!

101 101 VIELEN DANK UND VIEL ERFOLG!


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