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(1) (1) 2. Univariate Regressionsanalyse 2.1 Das statische Regressionsmodell Ziele: Erläuterung der Grundlagen der Regressionsanalyse; Kompetenzerwerb.

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1 (1) (1) 2. Univariate Regressionsanalyse 2.1 Das statische Regressionsmodell Ziele: Erläuterung der Grundlagen der Regressionsanalyse; Kompetenzerwerb für die Durchführung und Interpretation einer Regressionsanalyse; Verständnis der Möglichkeiten (und Grenzen) des Verfahrens;

2 (2) (2) Grundfragen Warum überhaupt Schätzungen? Welches Schätzprinzip liegt der Regressionsanalyse zugrunde? Wie werden die Koeffizienten der Regressionsgeraden berechnet? Welche Annahmen werden dabei getroffen? Welche Eigenschaften besitzt die Schätzung? Wie kann die Güte einer Regressionsschätzung beurteilt werden?

3 (3) (3) Das Sch ä tzprinzip (1) Eine einfache Darstellung eines Zusammenhangs zwischen zwei Variablen (X i und Y i ) ergibt sich, wenn jeweils zusammen- gehörige Paare von Beobachtungen als Punkte in ein Diagramm eingetragen werden (Scatterplot). Beispiel eines Punktes: X Y

4 (4) (4) Für mehrere Beobachtungspaare enthält man eine Punktewolke: XX Y Das Schätzprinzip (2)

5 (5) (5) Gesucht wird eine lineare Darstellung des Zusam- menhangs, d.h. eine Gerade; das folgende Bild zeigt die möglichen Verbindungen aller Punkte: X Y Das Schätzprinzip (3)

6 (6) (6) Das beschriebene Vorgehen ist offensichtlich nicht befriedigend; der Zusammenhang zwischen den beiden Variablen erscheint völlig diffus; Das Missverständnis liegt darin, dass fälsch-licherweise von einem exakt gemessenen und nicht von einem fehlerbehafteten Zusammenhang ausgegangen wird. Anders ausgedrückt: Wir bewegen uns nicht in einer deterministischen Welt, sondern einer stochastischen. Das Schätzprinzip (4)

7 (7) (7) Ziel der Analyse ist es, genau einen linearen Zusammenhang (eine Gerade) zu bestimmen, der die in der Punktewolke enthaltene Information möglichst gut beschreibt; Für die Festlegung dieser Geraden benötigen wir ein Kriterium; die gewöhnliche Kleinstquadratemethode wählt das folgende: Bestimme die Gerade so, dass die Summe des Quadrats der vertikalen Abstände minimiert wird. Das Schätzprinzip (5)

8 (8) (8) Eine Gerade soll so gelegt werden, dass die Summe der schraffierten Flächen minimal wird; diese Gerade heißt Regressionsgerade; X Y Das Schätzprinzip (6)

9 (9) (9) Jedes Punktepaar enthält Information über den Zusammenhang; diese Information ist jedoch durch einen Störprozess verunreinigt; das Signal wird durch Rauschen überlagert; je stärker das Rauschen ist, desto schwieriger wird es, das Signal zu erkennen; je mehr Beobachtungen (Punktepaare) wir zur Verfügung haben, desto besser können wir einen Zusammenhang erkennen; falls kein Zusammenhang zwischen X und Y besteht, wird die Steigung der Regressionsgeraden gegen Null gehen; d.h. es gibt ausschließlich Rauschen, kein Signal. Signal und Rauschen

10 (10) (10) Situation 1: Kein Zusammenhang zwischen X und Y Punktewolke diffus; kein Muster erkennbar; X Y

11 (11) (11) Klares Muster (entlang einer ansteigenden Linie) erkennbar; hohes X ist mit hohem Y verbunden und vice versa; steigende Regressionsgerade X Y Situation 2: Positiver Zusammenhang zwischen X und Y

12 (12) (12) Wiederum klares Muster erkennbar; hohes X ist mit niedrigem Y verbunden und vice versa ; fallende Regressionsgerade X Y Situation 3: Negativer Zusammenhang zwischen X und Y

13 (13) (13) Grundbegriffe (1) x heißt Regressor oder unabhängige Variable; y heißt Regressand oder abhängige Variable; der vertikale Abstand von der Gerade, die den tatsächlichen Zusammenhang beschreibt, wird als stochastischer Fehler oder stochastische Störung mit e bezeichnet.

14 (14) (14) Grundbegriffe (2)

15 (15) (15) Grundbegriffe (3)

16 (16) (16) Das Grundmodell in Matrixschreibweise

17 (17) (17) Definitionen

18 (18) (18) Sch ä tzprinzip der Kleinstquadrate-Methode:


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