Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Konfidenzintervalle Intervallschätzung Jeder Beobachtung wird ein Intervall C( ) der reellen Zahlen zugeordnet Niveau Dabei ist die Wahrscheinlichkeit,

Kopien: 5
Statistische Methoden II SS 2008 Vorlesung:Prof. Dr. Michael Schürmann Zeit:Freitag (Pause: ) Ort:Hörsaal Makarenkostraße (Kiste)

Die Student- oder t-Verteilung Hängt von Parameter n ab!

Konfidenzintervalle Intervallschätzung Jeder Beobachtung wird ein Intervall C( ) der reellen Zahlen zugeordnet Niveau Dabei ist die Wahrscheinlichkeit,

Achtung Vorlesung am Montag, den 21. Juni Zeit: Uhr Ort: Kiste.

Die Vorlesung am 14. Mai (Tag nach Himmelfahrt) wird auf Montag, den 17. Mai verlegt! Zeit: 16 Uhr Ort: Kiste Nächste Woche!!!!

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "Konfidenzintervalle Intervallschätzung Jeder Beobachtung wird ein Intervall C( ) der reellen Zahlen zugeordnet Niveau Dabei ist die Wahrscheinlichkeit,"—  Präsentation transkript:

1 Konfidenzintervalle Intervallschätzung Jeder Beobachtung wird ein Intervall C( ) der reellen Zahlen zugeordnet Niveau Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, eine Beobachtung zu machen, für die der wahre Parameter im zugehörigen Intervall liegt, größer oder gleich 1 -

2 Tschebyschev Die Ungleichung von Tschebyschev

3 Niveau klein Das Niveau wird klein gewählt. (Wir nehmen in unseren Beispielen in den meisten Fällen = 0.05 oder = 0.1) Zusammenhang Es gibt aber einen Zusammenhang zwischen der Breite der Konfidenzintervalle und dem Niveau: Niveau kleiner Intervall breiter Die Intervallbreite soll möglichst gering sein.

4 Beispiel Äpfeln Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet Schätzer von

5 Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung Für unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen X und Y hat man

6 Konfidenzintervall für den Erwartungswert Varianz bekannt Annahme: Konfidenzintervalle: wobei

7 In unserem Beispiel: Bei einem Niveau von = 0.05 ist 1 - /2 = Es ergibt sich: und

8 Verwendung der Tafel für die Normalvertreilung

9 Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

10 Beispiel Kaufhaus-Konzern Kauf würde in Erwägung gezogen Kauf würde nicht in Erwägung gezogen

11 Der Zentrale Grenzwertsatz

12 Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall I Konfidenzintervall zum Niveau

13 Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall II Vereinfachung für großes n n 100

14 Die Chi-Quadrat-Verteilung Hängt von Parameter n ab!

15 Die Chi-Quadrat-Verteilung Wahrscheinlichkeitsdichte Die Konstante c ist dabei: : Gamma-Funktion

16

17 Die Student- oder t-Verteilung Hängt ebenfalls von Parameter n ab!

18 Die Student- oder t-Verteilung Wahrscheinlichkeitsdichte Die Konstante d ist dabei:

19

20 unabhängige Für n unabhängige Zufallsvariablen mit hat man: Mathematische Bedeutung der Chi-Quadrat-Verteilung

21 unabhängige Für unabhängige Zufallsvariablen W und U mit hat man: Mathematische Bedeutung der t-Verteilung

22 Konfidenzintervall für den Erwartungswert Varianz unbekannt Student-Verteilung (oder t-Verteilung)

23 Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert bekannt Einseitig Chi-Quadrat- Verteilung

24 Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert bekannt zweiseitig Chi-Quadrat- Verteilung

25 Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert unbekannt Einseitig Chi-Quadrat- Verteilung

26 Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert unbekannt Zweiseitig Chi-Quadrat- Verteilung

27 Übersicht I Konfidenzintervalle für den Erwartungswert

28 Übersicht II Konfidenzintervalle für die Varianz

29 Rechenbeispiel Stichprobe vom Umfang n = Stichprobenfunktionen

30 Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

31

32 Fehler: 0,831

33 Fehler: 0,831

34 Fehler: 0,831

35 Fehler: 0,831

36 Konfidenzintervalle für diese konkrete Stichprobe 1.Fall 2.Fall 3.Fall

37 6.Fall Fall 4.Fall

38 Beispiel Äpfeln Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

39 Konfidenzintervalle für diese konkrete Stichprobe Die anderen Fälle zur Übung empfohlen!! 2.Fall 5.Fall

40 TESTS

41 Beispiel Äpfeln Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten Anbaugebiet

42 Der Besitzer P einer Apfelplantage im Kraichgau behauptet gegenüber dem Großhändler G aus Sinsheim, dass die Äpfel seiner Sorte Cox-Orange aus der Lage Sonnenstrahl dieses Jahr ein mittleres Gewicht von wenigstens 142 g aufweisen. G schlägt daraufhin P das folgende Verfahren vor: Die beiden greifen zufällig 16 Äpfel aus der diesjährigen Sonnenstrahl-Lage heraus und bestimmen deren Gewicht. Das arithmetische Mittel x und die empirische Streuung s der Apfelgewichte setzen Sie dann in die folgende Zauber- formel ein: y = x + 0,438 s

43 Ist 142 größer als der errechnete Wert y, dann wird G nicht kaufen, andernfalls kommen G und P ins Geschäft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass G nicht kauft, obwohl das mittlere Apfelgewicht in Wirklichkeit über 142 g lag?

44

45 Worum es geht Man möchte testen, ob eine bestimmte Annahme (Hypothese) über Parameter der Realität entspricht oder nicht. Beobachtung (Stichprobe) Entscheidung Vorgabe: Irrtumswahrscheinlichkeit Formulierung einer HypotheseNullhypothese In der Statistik kann man nie ganz sicher sein. Die Irrtumswahrscheinlichkeit sollte wenigstens klein sein.

46 Mathematischer Rahmen I TESTS Statistische Struktur Testproblem (Hypothese)Nullhypothese Gegeben sind: Stetiger Fall Diskreter Fall Niveau

47 Mathematischer Rahmen II TESTS Test Test gegeben durch: Ablehnungsbereich Teilmenge der Grundgesamtheit : Menge aller Beobachtungen, die zur Ablehnung der Hypothese führen

48 Mathematischer Rahmen III TESTS Beobachtung (Stichprobe) Entweder Oder Beobachtung liegt im Annahmebereich Beobachtung liegt im Ablehnungsbereich Hypothese annehmen! Hypothese ablehnen!

49 Fehler erster und zweiter Art

50 Hypotheseakzeptiert Hypothese abgelehnt Hypothesewahr Hypothese falschEntscheidungRealität Fehler 1. Art Fehler 2. Art

51 Niveau und Macht Obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit, Fehler 1. Art einen Fehler 1. Art zu begehen Niveau Wahrscheinlichkeit, Fehler 2. Art einen Fehler 2. Art zu begehen, wenn der wahre Parameterwert in dem Punkt liegt Macht Macht in einem Punkt der Alternative

52 2 Würfel Fairer Würfel Gezinkter Würfel 1/6 1/5 ? ?

53 Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung


Herunterladen ppt "Konfidenzintervalle Intervallschätzung Jeder Beobachtung wird ein Intervall C( ) der reellen Zahlen zugeordnet Niveau Dabei ist die Wahrscheinlichkeit,"

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen