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1 1. Splineglättung 1.1 Motivation 1.2 Notation 1.3 Splineglättung 1.4 Kriging-Ansatz 1.5 Spezialfall, bei dem Kriging und Splineglättung übereinstimmen.

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1 1 1. Splineglättung 1.1 Motivation 1.2 Notation 1.3 Splineglättung 1.4 Kriging-Ansatz 1.5 Spezialfall, bei dem Kriging und Splineglättung übereinstimmen 2. Räumliche Whittaker-Glättung – eine Anwendung in der Prämienberechnung

2 2 1.1 Motivation Daten können Messfehler enthalten Lösung der Spline-Interpolation ist unbrauchbar Spline-Interpolation Splineglättung Merkmale der Splineglättung Keine genaue Interpolation Anforderung an die Interpolationsfunktion f: Die Abweichungen zwischen den Funktionswerten und den beobachteten Werten dürfen an den Messstellen nicht zu groß von werden.

3 3 1.2 Notation D R d sei das Beobachtungsfenster f(x), x D Funktion x α ( =1,...,n) Messstellen in D z α =f(x α )+ α gemessenen Werte an den Stellen x ( =1,...,n) Sei α ein Messfehler ( =1,...,n), der folgende Eigenschaften hat: E( α ) = 0; Cov( α, ) = E( α ) = S α Var( α ) = S αα Const,

4 4 1.3 Splineglättung Ziel: Die Funktion f(x) mit einer glatten Funktion f*(x) zu approximieren, die folgende Voraussetzung erfüllt: der folgende Ausdruck wird minimiert: Wobei J(f*) die Krümmung der Spline-Interpolation darstellt. Die Splineglättung ist somit eine Mischung aus Spline- Interpolation und der Methode der kleinsten Quadrate.

5 5 Dabei steuert p das Verhältnis zwischen Glätte der Funktion und der Übereinstimmung mit den Messwerten an den Messstellen. Der Parameter p bestimmt also den Einfluss des Spline-Interpolanten und des MKQ-Schätzers auf die Lösung des Spline-Glättungs- Verfahrens: –p 0: Die Lösung ist annähernd ein MKQ-Schätzer (insbesondere p = 0 MKQ-Schätzer) –Mit wachsendem p nähert sich die Lösung der des Spline- Interpolationsverfahrens. In R²:

6 6 Lösung (Matheron, Wahba) Wobei: K(h)=|h|²log|h|, Basisfunktionen,z.B.: L=2, für x = (x 1,x 2 ) Problem des Splineglättungsverfahrens: Bestimmung des Parameters p

7 7 1.4 Kriging-Ansatz Man kann die formale Äquivalenz mit dem Modell des intrinsischen Kriging k-ter Ordnung in leicht modifizierter Form auf die Spline- Glättung anwenden; Wir betrachten nun das Zufallsfeld Z(x) und zerlegen es in ein intrinsisches Feld k-ter Ordnung Y(x) und einen zufälligen Fehler (x) Z(x) = Y(x) + (x) x D z(x 1 ),...,z(x n ): Gemessenen Werte an den Stellen x 1,..., x n Sei K(h)=Cov(Y(x),Y(x+h)) (h R d, x,x+h D) die Kovarianz des Zufalls-Feldes Y(x) Sei S(h)=Cov( (x), (x+h)) (h R d, x,x+h D) die Kovarianz des zufälligen Fehlers (x)

8 8 Der zufällige Fehler (x) genügt dabei folgenden Bedingungen: Das Zufallsfeld und der zufällige Fehler sind unkorreliert: Cov(Y(x), (x)) = 0 x D Der Fehler hat den Erwartungswert Null: E( (x)) = 0 x D Die Kovarianz des Fehlers hat somit folgende Form: S(h) = E( (x) (x+h)) x,x+h D, h R d

9 9 Ziel ist es, anhand der Messwerte z(x 1 ),...,z(x n ) das Zufallsfeld Y(x) durch intrinsisches Cokriging zu schätzen. Schätzer: Falls folgend Bedingungen erfüllt sind: { } ist zulässig, falls gilt: setze 0 = -1, f l (x 0 )=f l (x): h R d :

10 10 Lösung durch duales Kriging: Wobei im R 2 z.B.: f l (x) = (x 1 ) k 1 (x 2 ) k 2, k 1 +k 2 k; x = (x 1,x 2 ) D R ² (im Fall k=2: 1, x 1, x 2, (x 1 )², x 1 x 2,(x 2 )² )

11 Spezialfall: Übereinstimmung der Cokriging- Lösung und des Splineglättungsverfahrens Sei nun x R², L=2, k=1; Und wählt man im dualen Kriging für die Kovarianz von Y(x): Und für die Kovarianz von (x): Weißes Rauschen

12 12 So erkennt man, wenn man die beiden Schätzer Y*(x) und f*(x) vergleicht, dass die beiden Lösungen übereinstimmen, falls p=c 0 /b s


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