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Seminar Extrapolationsmethoden für zufällige Felder Vortragsthema Spline-Extrapolation und Kriging.

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Präsentation zum Thema: "Seminar Extrapolationsmethoden für zufällige Felder Vortragsthema Spline-Extrapolation und Kriging."—  Präsentation transkript:

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2 Seminar Extrapolationsmethoden für zufällige Felder Vortragsthema Spline-Extrapolation und Kriging

3 Rasa Zurumskas Januar 2003 Universität Ulm Seminar Stochastik 2 Inhalt 1. Notation 2. Wiederholung des Universal Kriging 3. Universal => Intrinsic Kriging 4. Duales Kriging 5. Spline-Interpolation 6. Vergleich: Spline-Interpolation & Kriging

4 Rasa Zurumskas Januar 2003 Universität Ulm Seminar Stochastik Notation_ Ein Zufallsfeld ist eine zufällige Funktion {Z(x, ) : x d, }, dabei bezeichnet Z(x,·) Zufallsvariable, kurz Z(x) Z(·, ) regionalisierte Variable (Realisierung der zufälligen Funktion), kurz z(x) Sei D d das Beobachtungsfenster, dann bezeichnen x 1,...,x n die Messstellen mit x i D, i=1,...,n, und z(x 1 ),...,z(x n ) die Messwerte an den Messstellen.

5 Rasa Zurumskas Januar 2003 Universität Ulm Seminar Stochastik Notation_ Sei ein Maß, (w i Gewichte) W k = {w: l=0,..,L} = { w:, w 0 = -1, l=0,..,L } k ist die höchste Ordnung der Funktionen f l mit l=0,..,L Und sei eine Linearkombination der gewichteten Zufallsvariablen Z(x i ) an den Messstellen x i D minus Z(x 0 ).

6 Rasa Zurumskas Januar 2003 Universität Ulm Seminar Stochastik Notation_ IRF-k: intrinsisches Zufallsfeld k-ter Ordnung Definition: Ein nicht stationäres Zufallsfeld Z(x) wird intrinsisches Zufallsfeld k-ter Ordnung genannt, wenn für jedes w W k die Linearkombination mit h d stationär 2-ter Ordnung ist und E[ ]=0.

7 Rasa Zurumskas Januar 2003 Universität Ulm Seminar Stochastik Notation_ Eine symmetrische Funktion K(h)=K(-h) ist eine verallgemeinerte Kovarianzfunktion eines IRF-k Z(x), wenn für jedes w W k folgendes gilt: Eigenschaften von K(h): bedingt positiv definite Funktion k-ter Ordnung: Var(Z(w)) >= 0 für w mit, l=0,..,L K(h) = - (h) für k=0 (äquivalent zu IRF-0 )

8 Rasa Zurumskas Januar 2003 Universität Ulm Seminar Stochastik 7 Verallgemeinerte K-Funktion_ Beispiele für K(h): 1)K (h) = (- /2)|h| mit 0< <2k+2 (k=Ordnung von Z) 2)K pol (h) = mit b u >0 Später werden wir K (h) mit k=1 und =3 benutzen: => K (h) = c|h|³ mit c (-3/2) = (-4 )/3

9 Rasa Zurumskas Januar 2003 Universität Ulm Seminar Stochastik Wiederholung: Universal Kriging_ Annahmen: Die Zufallsvariable Z(x) lässt sich wie folgt zerlegen: Z(x) = Y(x) + m(x), mit m(x) = E[Z(x)] : deterministische Komponente = Drift und Y(x) = Z(x) – m(x) : stochastische Komponente = Fluktuation Zusätzlich soll folgendes gelten: m(x) =, f l (x) bekannte Funktionen (f 0 (x) = 1) a l unbekannte Koeffizienten, mit a l 0 für l=0,..,L. Außerdem soll Y(x) stationär 2.Ordnung mit E[Y(x)] = 0 und Kovarianzfunktion C(h) sein.

10 Rasa Zurumskas Januar 2003 Universität Ulm Seminar Stochastik Wiederholung: Universal Kriging_ Kriging Schätzer (erwartungstreu): Universelle Bedingungen:, für l=0,..,L Sind diese erfüllt, so gilt: Var(Z*(x 0 )-Z(x 0 )) = E[(Z*(x 0 )-Z(x 0 )) ²] =

11 Rasa Zurumskas Januar 2003 Universität Ulm Seminar Stochastik Wiederholung: Universal Kriging_ Kriging System: für i=1,..,n für l=0,..,L In Matrix -Notation:

12 Rasa Zurumskas Januar 2003 Universität Ulm Seminar Stochastik Universal => Intrinsic Kriging_ Teufelskreis: Um ein Variogramm schätzen zu können,braucht man die Drift, und für die Schätzung der Drift wird wiederum ein Variogramm benötigt! Schätzung der Drifts Schätzung des Variogramms

13 Rasa Zurumskas Januar 2003 Universität Ulm Seminar Stochastik Universal => Intrinsic Kriging_ 1.) Die Klasse der Basis-Funktionen f l wird auf die Funktionen beschränkt, die gegenüber beliebigen Translationen invariant und paarweise zueinander orthogonal sind (z.Bsp. Klasse der Monome, oder der Exponential-Polynomen, auch trigonometrische Funktionen (cosx,sinx) sind möglich). 2.) Ein spezieller Tool der strukturellen Analysis ist die verallgemeinerte Kovarianzfunktion K(h), die die oben aufgeführten Funktionen hieraus filtert. (=> Man führt eine Datentransformation durch, mit dem Ziel die Drift auf Null zu bringen.)

14 Rasa Zurumskas Januar 2003 Universität Ulm Seminar Stochastik Universal => Intrinsic Kriging _ Beim Universal Kriging hatten wir Gewichte w i, die die Basisfunktionen interpoliert haben,, für l=0,..,L. (Setze w 0 = -1) => Nebenbedingungen:, für l=0,...,L Zusätzlich soll gelten: h d

15 Rasa Zurumskas Januar 2003 Universität Ulm Seminar Stochastik 14 Basisfunktionen_ Beispiel: Im 2-dim. Raum mit dem Koordinaten-Vektor X=(x 1,x 2 ) T und k = 2 werden oft die folgenden Monome als Basisfunktionen benutzt: f 0 =1, f 1 =x 1, f 2 =x 2, f 3 =(x 1 )², f 4 =x 1 x 2, f 5 =(x 2 )² Sie bilden einen translationsinvarianten Vektorraum. Die aktuelle Anzahl der Basisfunktionen der Drift hängen von dem Grad k der Drift wie folgt ab: k=0 => 1 Basisfunktion (=> L=0), k=1 => 3 Basisfunktionen (=> L=2), k=2 => 6 Basisfunktionen (=> L=5),...

16 Rasa Zurumskas Januar 2003 Universität Ulm Seminar Stochastik Intrinsic Kriging_ Intrinsic-Kriging Schätzer: Nebenbedingungen:, für l=0,...,L Sind diese erfüllt, so

17 Rasa Zurumskas Januar 2003 Universität Ulm Seminar Stochastik Intrinsic Kriging_ Intrinsic-Kriging System:, für i=1,..,n, für l=0,..,L Beachte: Die Systeme von universal und intrinsic Kriging sind identisch, nur anstelle von C(h) haben wir nun die verallgemeinerte Kovarianzfunktion K(h) des IRF-k stehen.

18 Rasa Zurumskas Januar 2003 Universität Ulm Seminar Stochastik Duales Kriging_ Der Interpolator in Matrix-Form : z*(x) = z T w x. Der Gewichte-Vektor ist die Lösung des folgenden Kriging- Systems: Problem: Da die mit x gekennzeichneten Terme von dem Schätzungsort abhängen, muss dieses Gleichungssystem für jedes neue x D\{x 1,...,x n } neu berechnet werden.

19 Rasa Zurumskas Januar 2003 Universität Ulm Seminar Stochastik Duales Kriging_ Ausweg: Orts-unabhängige Gewichte herleiten. Man berechne die Inverse (unter Existenz-Voraussetzung): Das Kriging-System lautet nun:

20 Rasa Zurumskas Januar 2003 Universität Ulm Seminar Stochastik Duales Kriging_ Der Interpolant kann dann wie folgt geschrieben werden: z*(x) = b T k x + d T f x, mit b T = z T V und d T = z T U. Kriging-System:, für i = 1,...,n

21 Rasa Zurumskas Januar 2003 Universität Ulm Seminar Stochastik Spline-Interpolation_ Geschichte: Das englische Wort Spline stammt aus der Verwendung eines Holzstabs als Kurvenlineal: Der Stab wird an vorhandene Fixpunkte durch Biegen angepasst, der Stab kann dann als Kurvenlineal für die Interpolation der Kurve in den Intervallen zwischen den Fixpunkten verwendet werden. w(x): C²-Funktion (x i,w i )-Fixpunkte j Punktkraft, die auf den Spline ausgeübt wird.

22 Rasa Zurumskas Januar 2003 Universität Ulm Seminar Stochastik Spline-Interpolation_ Problem: Es soll eine Funktion Z(x) mit Z(x i )=z i durch eine andere (glatte) Funktion f(x) approximiert werden, so dass f(x i )=z i, Stützstellen x i,1 i n f(x 0 )=z 0 mit x 0 D\{x 1,...,x n }. f wird als Interpolant bezeichnet (hier die --- Linie)

23 Rasa Zurumskas Januar 2003 Universität Ulm Seminar Stochastik Spline-Interpolation_ Unsere Definition: Sei x 1

24 Rasa Zurumskas Januar 2003 Universität Ulm Seminar Stochastik Spline-Interpolation_ Krümmungsflächen (diese verhalten sich parallel zu der Biegeenergie) im 1-dim. Fall: im 2-dim. Fall:

25 Rasa Zurumskas Januar 2003 Universität Ulm Seminar Stochastik Spline-Interpolation_ Da wir einen glatten Interpolanten berechnen wollen, ist der kubische Spline s S 3 (x 1,...,x n ) vorzuziehen. Diesen Spline bekommen wir, indem wir das folgende (Variatons-)Problem lösen: s(x i ) = z(x i ), i=1,...,n J(s) min Mit Hilfe der Euler-Lagrange-Gleichung folgt: d 4 /dx 4 s(x) = 0, für x D\{x 1,...,x n }.

26 Rasa Zurumskas Januar 2003 Universität Ulm Seminar Stochastik Spline-Interpolation_ Integriert man dies: s(x) = c 3 x³ + c 2 x² + c 1 x + c 0 s(x i ) = z i, i=1,..,n s(x) ist ein kubischer Spline für jedes Intervall-Segment [x i, x i+1 ] und x [x i, x i+1 ] (i=1,..,n), das den folgenden Forderungen genügt: s(x i ) = z i, s(x i+1 ) = z i+1, s(x i ) = b i, s(x i +1 ) = b i+1, mit Steigungen b i als noch unbekannten Koeffizienten. (Diese Werden mit Hilfe von Randbedingungen berechnet siehe S ) Die Menge aller Kurvensegmente s(x) bilden den kubischen Interpolations-Spline s(x) für den ganzen Intervall [x 1,x n ].

27 Rasa Zurumskas Januar 2003 Universität Ulm Seminar Stochastik Vergleich: Spline & Kriging-Schätzer_ Betrachte nun die 1-dimensionale verallgemeinerte Kovarianzfunktion K(h) = |h|³ und untersuche das Verhalten des Kriging-Interpolators z*(x). Sei x 1 <...

28 Rasa Zurumskas Januar 2003 Universität Ulm Seminar Stochastik Vergleich: Spline & Kriging-Schätzer_ Aus dem Kriging-System folgt: z*(x) 2mal stetig differenzierbar in D die 2.Ableitung an den Grenzpunkten x 1, x n gleich Null z*(x) ist außerhalb des Intervalls [x 1, x n ] linear (folgt aus den Nebenbedingungen für b i ) z*(x) stimmt mit dem kubischen Spline-Interpolator s(x), der die Funktion an den Punkte z 1,...,z n interpoliert, überein (innerhalb jeden Intervalls [x i,x i+1 ]).

29 Rasa Zurumskas Januar 2003 Universität Ulm Seminar Stochastik Vergleich im 2-dimensionalen Raum_ Analoges Problem in 2D: f(x i,y i ) = z i, i=1,..,n J(f) min Lösung : ( Duchon (1975) ) mit K( r) = r²log r und r i ² = (x-x i )²+(y-y i )²

30 Rasa Zurumskas Januar 2003 Universität Ulm Seminar Stochastik Vergleich im 2-dimensionalen Raum_ Die Spline –Interpolationsfunktion f (x,y) hat genau die gleiche Form, wie der Interpolator z*(x) des Universal Krigings mit k=1 und der verallgemeinerten Kovarianzfunktion K(h) mit K(h) = |h|²log|h|. Dieses Modell heißt thin-plate -Spline-Model.

31 Rasa Zurumskas Januar 2003 Universität Ulm Seminar Stochastik Gemeinsamkeiten_ Trotz unterschiedlichen Ansätze führen C²-Splines sowie Kriging zum gleichen Ergebnis. -Bei der Spline-Interpolation geht man von einer deterministischen Funktion aus. -Und beim Kriging konzentriert man sich auf die Modellierung einer zufälligen Funktion. Ist ein Operator gegeben, der den Spline definiert, so ist es einfach ein äquivalentes Kriging-System zu finden. Wohingegen es sehr schwer sein kann, ein Minimierungsproblem zu erkennen, das mit einer gegebenen Lösung eines Kriging-Systems im Zusammenhang steht.

32 Rasa Zurumskas Januar 2003 Universität Ulm Seminar Stochastik Berechne die Koeffizienten b i _ Mit klassischen Hermit-Polynomen als Basisfunktionen i (t) für t = (x i -x)/h i mit der Schrittweite h i := x i+1 –x i : 1 (t) = 1 - 3t² + 2t³, 2 (t) = 3t² - 2t³, 3 (t) = t – 2t² + t³, 2 (t) = - t² + t³ erhält man folgende Darstellung s i (x) = z i 1 (t) + b i h i 3 (t) + z i+1 2 (t) + b i+1 h i 4 (t), sowie die Ableitungen s i (x) = r i (6t - 6t²) + b i (1 - 4t + 3t²) + b i+1 (-2t +3t² ) s i (x) = (r i (6 - 12t) + b i (-4 +6t) + b i+1 (-2 +6t )) / h i, Dabei sei r i = (z i – z i+1 ) / h i. s (x) C 1 (D).

33 Rasa Zurumskas Januar 2003 Universität Ulm Seminar Stochastik Berechne die Koeffizienten b i _ Die Forderung s (x) C 2 (D) legt die noch freien Parameter b i, b i+1 wie folgt fest: In der Messstelle x i soll s(x i ) existieren, d.h. 0 = s(x i + 0) - s(x i - 0) = (6r i – 4b i –2b i+1 )/hi – (-6r i-1 + 2b i-1 + 4b i )/h i Die unbekannten Steigungen b i genügen also den Bedingungen: b i-1 /h i-1 + (2/h i-1 + 2/h i ) b i + b i+1 /h i = 3(r i-1 /h i-1 + r i /h i ) für i=2,..,n-1. Insgesamt liegen n-2 lineare Gleichungen für n Unbekannten vor.

34 Rasa Zurumskas Januar 2003 Universität Ulm Seminar Stochastik Berechne die Koeffizienten b i _ Die verbleibenden 2 Unbekannten werden durch die Wahl der Randbedingungen geliefert: Natürliche RB: s(x 1 ) = s(x n ) = 0 Vollständige RB: s(x 1 ) = z 1 (x 1 ), s(x n ) = z n (x n ) Das liefert explizit b 1 = z 1, b n = z n, und somit n-2 Gleichungen für n-2 Unbekannten. Periodische RB: s(x 1 ) = s(x n ) Am einfachsten ist der Fall der vollständigen RB (=> tridiagonales Gleichungssystem ).

35 Rasa Zurumskas Januar 2003 Universität Ulm Seminar Stochastik Berechne die Koeffizienten b i _ Löse dafür Ax = b mit unbekanntem Vektor x =(b 2,...,b n-1 ) T, und


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