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Physik der Musikinstrumente T. Lohse, M. zur NeddenSS 03 Vorbemerkung: Musikinstrument, schwingendes System Schalldruckwellen, Ausbreitung im Auditorium.

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1 Physik der Musikinstrumente T. Lohse, M. zur NeddenSS 03 Vorbemerkung: Musikinstrument, schwingendes System Schalldruckwellen, Ausbreitung im Auditorium Menschliches Ohr Wavelet-Trafo, Wandlung in Nervensignale

2 Physikalische Grundlagen: Schwingungen / Wellen in festen / gasförmigen elastischen Medien Hydrodynamik Lineare und nichtlineare Schwingungen Beispiele schwingender Systeme: Saiten Geige, Gittarre, Klavier,... Blattfedern Rohr / Zunge in Blasinstrumenten,... Membranen Pauke, Bongos, Trommelfell,... Platten, Stäbe Xylophon, Gitarrendeckel, Triangel,... Schalen Becken, Glocke,... Luft-Hohlraumresonatoren Geigenkörper, Orgelpfeife,... Luft-Wellenleiter Flöte, Trompete, Horn,...

3 Bewegungsgleichung: komplexe Lösung: ω 0 :Eigenfrequenz A = |A|·e iφ :komplexe Amplitude φ:Phase reelle (physikalische) Lösung: Anfangsbedingungen |A|, φ bzw. a, b 1. Schwingende Systeme 1.1. Eindimensionale harmonische Schwingung

4 Beispiele: D m z I Q C L Helmholtz-Resonator: L S Schallgeschwindigkeit

5 Bewegungsgleichung: 1.2. Dämpfung α: Dämpfungskonstante α < ω 0 : Schwingfall (musikalischer Normalfall) α > ω 0 : Kriechfall α = ω 0 : aperiodischer Grenzfall

6 Beispiele: D γ m z I L R Q C Musikinstrumente: Kleine Dämpfung α ω 0 quasi-statische Schwingung / kein Energieverlust während T = 2π / ω

7 Energieverlust bei kleiner Dämpfung: const. ½ Dämpfungszeit: #Schwingungen in τ D : Güte:

8 Impulsanregung Beispiel: T 37% = Q/π = 2τ D T 14% = Q/2π = 4τ D

9 1.3. Erzwungene Schwingungen Bewegungsgleichung: f(t): externe Anregung D γ m z F(t) Musikinstrument: f(t) periodisch Fourierzerlegung: f(t) harmonisch Übersicht

10 Lösung: x(t) = x h (t) + x s (t) x h (t): x s (t): Einschwingvorgang gedämpft Lösung der homogenen Gleichung ( f 0 ) festgelegt durch Anfangsbedingungen Asymptotische, stabile Schwingung für spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung unabhängig von Anfangsbedingungen festgelegt durch ω 0, α, f 0, ω

11 Gleichgewichtsschwingung ( t ) Komplexe... Amplitude:x 0 = | x 0 |·e iφ Geschwindigkeit:v 0 = iω·x 0 Beschleunigung:a 0 = iω·v 0 = - ω 2 x 0

12 Definitionen: (mechanische) Impedanz: Admittanz (bzw. Mobilität): Widerstand (dissipativer Teil): Reaktanz (reaktiver Teil):

13 Definitionen: Resonanzamplitude:Gleichgewichtsamplitude: Resonanzverstärkung: = Güte

14 Definitionen: Dämpfung in Dezibel (dB) Dämpfung Bemerkung: Analog für andere Größen (v, a,...) und andere Bezugspunkte

15 0,25 0, dB 1/Q 4 1,43 Resonanzkurve und Phasenschub: Resonanz- dominiert Feder- dominiert Masse- dominiert

16 0,25 0, dB 1/Q 4 1,43 Resonanzkurve und Phasenschub: ω 0 Steigungω Steigung |x 0 | const. 0 dB/Oktave 1/ω dB/Oktave |v 0 | ω 6 dB/Oktave 1/ω -6 dB/Oktave |a 0 | ω 2 12 dB/Oktave const. -0 dB/Oktave 1 Oktave Faktor 2 in ω [ ω, 2ω ] ω 0 Steigungω Steigung |x 0 | const. 0 dB/Oktave 1/ω dB/Oktave |v 0 | ω 6 dB/Oktave 1/ω -6 dB/Oktave |a 0 | ω 2 12 dB/Oktave const. -0 dB/Oktave 1 Oktave Faktor 2 in ω [ ω, 2ω ]

17 |Z| R = Re Z X = Im Z Darstellungen von Impedanz und Admittanz G = Re Y B = Im Y |Y| Q = 4 Nyquist-Diagramm ω Q ω = ω0ω = ω0 ω 0 ω

18 Der Einschwingvorgang von ω+ω 0 mit |ω-ω 0 | Form:Anfangsbedingungen (Anregung) Einschwingdauer:einige τ D Komponenten: Schwebung Q = 10 0,2 0,8 1,0 1,2 2,0 4,0 Plötzliche sin-Anregung ab t=0

19 Elektrisches Äquivalent mechanische Parallelschaltung elektrische Serienschaltung mechanische Serienschaltung elektrische Parallelschaltung vBvB vAvA v 1 = v B -v A v 2 = v 1 I1I1 I 2 = I 1 vCvC vAvA vBvB v 1 = v B -v A v 2 = v C -v B I1I1 I2I2 II I = I 1 +I 2 v = v C -v A = v 1 +v 2

20 Kraft elektrische Spannung Geschwindigkeitsverläufe Kräftegleichgewichte Analysiere im Einzelfall: m vmvm γ xγxγ D xDxD L ILIL IRIR R C QCQC + -

21 Beispiel 1: D γ m x F(t) v Feder = v Dämpfer = v Masse F = F Masse + F Dämpfer + F Feder ~

22 Beispiel 2: v = v Feder + v Masse, v Feder = v Dämpfer F = F Masse = F Dämpfer + F Feder x m D γ F(t) xmxm ~

23 Beispiel 3: v = v Masse + v Dämpfer, v Feder = v Masse F = F Dämpfer = F Masse + F Feder ~ m xmxm D γ F(t) x

24 1.4. Gekoppelte Schwingungen Zerlegung: stabile Schwingungskonfigurationen: (Eigen-)Moden Eine Eigenfrequenz pro Mode eine Mode pro Freiheitsgrad

25 Beispiel: Zwei gekoppelte Schwinger DaDa γaγa mama xaxa DKDK DbDb γbγb mbmb xbxb LaLa RbRb CKCK RaRa CbCb CaCa LbLb IaIa IbIb Bewegungsgleichung :

26 Musikinstrumente: kleine Dämpfung Vereinfachte Diskussion für α a = α b = 0 Ansatz: x a, x b e iωt Lösung: Zwei Eigenfrequenzen

27 Diskussion: keine Kopplung ω a,b K = 0, ω 1,2 = ω a,b Minimale Frequenzaufspaltung: bei ω a = ω b Kopplung 0 ω b /ω a 0:ω 1 ω b, ω 2 ω a ω b /ω a :ω 1 ω a, ω 2 ω b

28 Erzwungene gekoppelte Schwingungen Einfaches Beispiel (Dämpfung vernachlässigt): D1D1 m1m1 x1x1 D2D2 m2m2 x2x2 F 0 ·e iωt m1m1 1/D 2 1/D 1 m2m2 ~ F 0 ·e iωt Anwendungen: m 2 als Tilger Bass-Reflex-Lautsprecher Gitarre mit fixierten Rippen Anwendungen: m 2 als Tilger Bass-Reflex-Lautsprecher Gitarre mit fixierten Rippen Nach Einschwingen: Dämpfung vernachlässigt reell

29 D1D1 m1m1 x1x1 D2D2 m2m2 x2x2 F 0 ·e iωt Resonanzen Antiresonanz (x 1 0 = 0, x 2 0 = max) Konfigurationen (Moden): (Richtungen bezüglich F 0 ) ω = ω 1 – ε:ω = ω 1 + ε: ω = ω 2 – ε:ω = ω 2 + ε: ω = ω A :ω = ω A :

30 Theorem: In einem (beliebigen) gekoppelten System seien ω 1, ω 2 zwei aufeinanderfolgende Resonanzfrequenzen. Das System werde im Punkt P 1 angeregt und im Punkt P 2 gemessen. Sind die Schwingungsamplituden in P 2 relativ zu P 1 in beiden Moden ω = ω 1 – ε:ω = ω 1 + ε: ω = ω 2 – ε:ω = ω 2 + ε: ω = ω A :ω = ω A : D1D1 m1m1 x1x1 D2D2 m2m2 x2x2 F 0 ·e iωt entgegengesetzt |x 2 0 | durchläuft zwischen ω 1, ω 2 ein Minimum gleichgerichtet |x 2 0 | durchläuft zwischen ω 1, ω 2 eine Antiresonanz

31 Theorem: In einem (beliebigen) gekoppelten System seien ω 1, ω 2 zwei aufeinanderfolgende Resonanzfrequenzen. Das System werde im Punkt P 1 angeregt und im Punkt P 2 gemessen. Sind die Schwingungsamplituden in P 2 relativ zu P 1 in beiden Moden entgegengesetzt |x 2 0 | durchläuft zwischen ω 1, ω 2 ein Minimum gleichgerichtet |x 2 0 | durchläuft zwischen ω 1, ω 2 eine Antiresonanz Folgerung: P 2 = P 1 Der Treiberpunkt selbst durchläuft mit wachsender Frequenz eine Folge abwechselnder Resonanzen und Antiresonanzen. Beispiel: 2-D-System Treiberpunkt Transferpunkt

32 Charakterisierung des Frequenzgangs P 1 : Erreger P 2 : Sensor Wichtiger Spezialfall: P 1 = P 2 Auslenkung Geschwindigkeit Beschleunigung Impedanzkopf Messverfahren: Impedanzkopf Nahfeld Schallwellen (Mikrophon) mechanische Schreiber holographische Interferometrie

33 Charakteristische Frequenzgangs-Messgrößen: Nachgiebigkeit (Compliance)KapazitätMobilität, AdmittanzLeitwert Acceleranz1 / Induktivität Steifigkeit1 / Kapazität ImpedanzDynamische MasseInduktivität

34 P 1 = P 2 : Präfix Treiber(punkt)- P 1 P 2 : Präfix Transfer- Beispiel: D1D1 m1m1 x1x1 D2D2 m2m2 x2x2 F 0 ·e iωt Treiber-Mobilität: Transfer-Mobilität:

35 Asymptotisches Verhalten: ω min : kleinste Resonanzfrequenz ω min : größte Resonanzfrequenz ω < ω min ω > ω max ω < ω min ω > ω max Asymp- totischer Bereich Nachgiebigkeit Mobilität AcceleranzSteifigkeitImpedanzDynamische Masse ( Einheit: dB / Oktave )

36 Asymptotisches Verhalten: ω min : kleinste Resonanzfrequenz ω min : größte Resonanzfrequenz ω < ω min ω > ω max ω < ω min ω > ω max Asymp- totischer Bereich Nachgiebigkeit Mobilität AcceleranzSteifigkeitImpedanzDynamische Masse ( Einheit: dB / Oktave )

37 Beispiel: Transfer-Mobilität einer leicht gedämpften Struktur mit 4 Schwingungsmoden ω1ω1 ω2ω2 ω3ω3 ω4ω4 Antiresonanz 6 dB / Oktave -6 dB / Oktave bleibt gleichklappt um Schwingungsrichtung am Messpunkt relativ zum Treiberpunkt...

38 Darstellung der (i.a. komplexen) charakteristischen Parameter: z. B. Impedanz: Z = |Z| e iφ = R + i X |Z|(ω) und φ(ω) Re Z(ω) und Im Z(ω) Nyquist-Diagramme Im Re ω ωRωR Nachgiebigkeit x / F Re ω ωRωR Mobilität v / F Im Re ω ωRωR Acceleranz a / F, z.B. für einzelne Resonanz:

39 1.5. Nichtlineare Schwingungen Lineare Systeme:... Superpositionsprinzip Eigenfrequenzen unabhängig von Moden-Amplituden komplexe Schreibweisen geeignet x Lösung zu F x' Lösung zu F' x + x' Lösung zu F + F'

40 Realistische Systeme: Nichtlineare Beiträge a)Grenzen des Hookeschen Gesetzes b)Turbulenz c)Bogenkraft auf Saite = f (Saitenposition,Relativgeschwindigkeit) d)Strömung in Rohrventilen (Blasinstrumente) = f (Druckabfall) Konsequenzen: a)ω 0 = ω 0 ( x 0 ) b)Hysterese-Verhalten in ( x 0, ω 0 ) –Diagramm c)Bifurkationen und chaotisches Verhalten (seltsame Attraktoren) (d.h., System schwingt sich nicht immer auf periodische Bewegung ein!)

41 Analytische Methoden Bewegungsgleichung:

42 a)Spezialfall: F periodisch, z.B. F = F 0 ·cos(ωt) Störungsrechnung bei kleinen Nichtlinearitäten Ansatz: Fourierentwicklung Einsetzen Koeffizientenvergleich

43 b)Allgemeines Verfahren: wobei: Beweis: Einsetzen und Nachrechnen!

44 & noch nichts gewonnen (Gesetz der konstanten Mühsal) Folge: Näherung: -Terme in g klein (inklusive γ) a, φ const. während Periode

45 Beispiel:Schwach gedämpfter, freier, linearer Oszillator D γ=2mα m x Also: Korrekt für ! (vgl. 1.2.)

46 Der Duffing-Oszillator (Paradebeispiel für Chaos und seltsame Attraktoren) Physikalischer Ansatz: D D + β m x 2 (nicht-lineare Dämpfung) d.h. oft: Analytisches Verfahren Frequenz hängt von Amplitude ab Hysterese bei großen Amplituden

47 ( f (t) = f 0 ·cos(ωt), α 0 ) Störungsrechnung: Ansatz: Koeffizientenvergleich der cos(ωt)-Terme: Freier Oszillator ( f 0 = 0 ):

48 Selbsterregung: Van-der-Pol-Oszillator Physikalischer Ansatz: 2α α·( 1 – x 2 ) (nicht-lineare Dämpfung) d.h. Konstanter äußerer Energiefluss (Luftströmung, Bogenstrich,...) Musikinstrument Modulation des Energieflusses Nichtlineare Rückkopplung selbstangeregte stabile Schwingung x 0 ist stets Lösung, aber nicht stabil geeignete α Grenzzyklen Grenzzyklen fast harmonisch, mit anharmonischen Beimischungen

49 Van-der-Pol-Oszillator

50 Moden-Stabilisierung selbsterregende Multi-Moden-Systeme... mit annähernd linearem Moden-Verhalten... und mit einigermaßen harmonischen Frequenzverhältnissen (Anharmonizitäten störende niederfrequente Schwebungen) Musikinstrumente sind... ω 1 ω 2 Selbstadjustierung der Eigenfrequenzen notwendig Selbststabilisierung relativer Phasen notwendig Musikinstrumente erfordern periodisches, schwebungsfreies Signal: Moden-Einrastung (mode-locking) Notwendige Voraussetzung hierfür: Starke nichtlineare Modenkopplung

51 ... treibt die ω m -Mode... treibt die ω n -Mode Beispiel: Der Term... Nichtlineare Kopplungsterme: Moden:ω n, ω m Amplituden: a n, a m n·ω m m·ω n n, m I fast harmonisch: 1

52 Wann ist ein Musikinstrument gut ? ( möglichst schnelles Erreichen eines periodischen Signals ) Wann ist ein Musikinstrument gut ? ( möglichst schnelles Erreichen eines periodischen Signals ) Inharmonizitäten der natürlichen Frequenzen möglichst klein Fundamentalmode ( n = 1 ) möglichst stark an nichtlinearer Kopplung beteiligt Amplituden der gekoppelten Moden ( a n, a m ) möglichst groß Nichtlinearität der Kopplungsfunktion möglichst groß ( Kopplungskoeffizienten c m-1,n, c m,n-1 möglichst groß ) Koeffizienten n, m der gekoppelten Moden möglichst klein ( Kopplungsamplituden möglichst groß )

53 2. Saiten und Stäbe 2.1. Transversale Saitenschwingungen Wellengleichung x y(x,t) unendliche homogene Saite Massendichte: Spannung: T = Kraft von Segment zu Segment Kleine Auslenkung ( lineare Näherung ): xx + dx ds dy T T θ(x) θ(x+dx) dF y Wellengleichung

54 Allgemeine Lösung (nach d´Alembert) c f1f1 c f2f2 y(x,t) = f 1 ( c t – x ) + f 2 ( c t – x ) = Superposition von rechts/links-laufenden Wellenpaketen Fouriertransformation Zerlegung in harmonische (ebene) Wellen ( Re(y) = physikalischer Teil ) wobei: Dispersionsrelation ( hier linear, ω k )

55 Spezialfall: Stehende Wellen Phasen: Reelle Schreibweise:

56 Energie der stehenden Welle: Energie des Saitenstücks der Länge :

57 Impedanz (Verwende komplexe Schreibweise!) Definition: Charakteristische Impedanz bzw. Wellenwiderstand Bemerkung: Z 0 ist reell ( verlustfreie Saite ) Charakteristische Admittanz x y T θ horizontale Fixierung ( x = 0 ) u(t) f(t) Definition: Eingangsimpedanz Geschwindigkeit des Eingangs- Aufhängepunktes: Externe Treiberkraft (kompensiert Vertikalkomponente vonT)

58 x y T θ horizontale Fixierung ( x = 0 ) u(t) f(t) Beispiel: Nach rechts unenedliche Saite nur rechtslaufende Welle

59 x y T θ horizontale Fixierung ( x = 0 ) u(t) f(t) Definition: Abschlussimpedanz Z ab physikalische Eigenschaften der nachgiebigen Aufhängung (z.B. Elastizität & innere Reibung des Stegs der Geige, Energietransfer auf Klangkörper der Geige etc.)

60 Reflexion am Abschlusspunkt: Einlaufend:a e i ( ωt – kx ) reflektiert:R·a e i ( ωt + kx ) y(x,t) = a e i ω t ( e – i kx + R·e i kx ) Reflexionskoeffizient: fixiertes Ende: y(0,t) = 0 u = 0 Z ab = R = –1 offenes Ende: f = 0 Z ab = 0 R = +1

61 Beispiel: Eingangsimpedanz der abgeschlossenen Saite Z ab R Saite: Z 0 L x = 0 fixiertes Ende: R = –1 Z in = – i Z 0 cot ( k L ) (rein reaktiv) Resonanzen:Z in = 0 k L = ( n – ½ ) π λ n = 2L / ( n – ½ ) Antiresonanzen:Z in = k L = n π λ n = 2L / n offenes Ende: R = +1 Z in = i Z 0 tan ( k L ) (rein reaktiv) Resonanzen, Antiresonanzen vertauscht angepasster Abschluss: R = 0 Z in = Z 0 = Z ab fixiertes Ende: R = –1 Z in = – i Z 0 cot ( k L ) (rein reaktiv) Resonanzen:Z in = 0 k L = ( n – ½ ) π λ n = 2L / ( n – ½ ) Antiresonanzen:Z in = k L = n π λ n = 2L / n offenes Ende: R = +1 Z in = i Z 0 tan ( k L ) (rein reaktiv) Resonanzen, Antiresonanzen vertauscht angepasster Abschluss: R = 0 Z in = Z 0 = Z ab

62 Eigenschwingungen der endlichen Saite a) fixierte / offene Enden fix - fix offen - offenoffen - fix fix - offen harmonisch nicht ganz harmonisch klingt eine Oktave tiefer

63 x y T θ Z ab : horizontale Halterung ( x = L ) u(t) f(t) Z0Z0 Fixierung bei x = 0 b) Nachgiebiges (verlustfreies) Ende

64 i) Massenartiger Abschluss Also: x y u(t) Z 0 = μ c m Saitenmasse: M = μ L 0 L

65 ii) Federartiger Abschluss Also: x y u(t) Z0Z0 0 L D/2

66 k0k0 k1k1 k2k2 k1k1 k2k2 k3k3 massenartig: harmonisch angehobene Frequenz federartig: harmonisch abgesenkte Frequenz

67 Dämpfung a)Luftdämpfung: b)Interne Dämpfung c)Energietransfer zur Halterung (Brücke, Resonator) ν=Frequenz ρ=Saitendichte r=Saitenradius ν=Frequenz ρ=Saitendichte r=Saitenradius E( ν, T,...) = komplexer Elestizitätsmodul G = Re( Y ) Y = Admittanz der Stützstruktur der Saite

68 Anfangsauslenkung freie Saitenschwingung Anregung a) Einmalige Auslenkung bei t = 0 (allgemeines Verfahren): Fourier- Analyse Fourier- Synthese Modenamplituden Frequenzspektrum Zeitentwicklung der Modenamplituden

69 Beispiel: Gezupfte Saite β = 1/3 n β = 1/10 n L h β·L

70 Beispiel: Gezupfte Saite L h β·L β = 1/3 lg(n) β = 1/10 lg(n) –6 dB / Oktave E n ( dB )

71 Bewegung der gezupften Saite:

72 b) Hammer-Anregung: β = 1/3 n β = 1/10 n Idealfall: L V β·L Δ

73 b) Hammer-Anregung: Idealfall: β = 1/3 lg(n) β = 1/10 lg(n) 0 dB / Oktave E n ( dB ) L V β·L Δ

74 Anschlagsdynamik eines harten, spitzen Hammers: v(t) c T M T T x xHxH y Bremszeit: t / τ = 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 Weitere Komplikationen: Hammer-Nachgiebigkeit Hammermaße Reflexionen an Einspannung, Rückwirkung auf Hammer

75 Modenspektrum stets flacher ( reicher, voller ) als beim Zupfen M Hammer « M Saite M Hammer = 0,4/β · M Saite – 6 dB/Oktave Bemerkung: Fehlende Moden bei Vielfachen von, nicht nur von n = 0,73 M Saite / M Hammer Beim Anschlag Beim Anschlag Anregung beendet Anregung beendet

76 c) Bogen-Anregung: Helmholtz-Bewegung Periode Teil 1: Saite haftet am Bogen und wird mitgeführt Periode Teil 2: Saite löst sich und schnellt zurück Ruheposition der Saite Mittlere Auslenkung Zeit Auslenkung beim Bogen Streichgeschwindigkeit Schwingungsamplitude Spektrum ähnlich zum Zupfen ( – 6 dB/Oktave ) Mehrfachsprünge möglich

77 2.2. Saiten und dünner Stäbe: Longitudinalschwingungen Rückstellkraft bei Dehnung: Molekulare Bindungskräfte Elastizitätsmodul (reine Materialeigenschaft, Saitenspannung nicht relevant) dx S dw F(t) Hookesches Gesetz: E = Youngsches Modul Wellengleichung: Dichte ρ = μ / S Lösungen, Randbedingungen,... analog zu transversalen Saitenschwingungen

78 Querschnitt S u v Dichte ρ 2.3. Biegewellen von Balken und Stäben x z Neutrale Faser gedehnt gestaucht Neutrale Faser:z ( x, t ) Ruhelage: z 0 ( x, t ) Auslenkung:y ( x, t ) = z ( x, t ) – z 0 ( x, t ) v NF Rücktreibende Kraft pro Länge: E = Young-Modul Wellengleichung:

79 Lösung der Wellengleichung: Einsetzen: Dispersionsrelation: (nichtlinear) Phasengeschwindigkeit: Gruppengeschwindigkeit:

80 zwei Randbedingungen pro Endpunkt, z.B.: frei: unterstützt / eingehängt: eingeklemmt:

81 Eigenmoden und Eigenfrequenzen: ω n in Einheiten von beidseitig frei beidseitig unterstützt bzw. eingehängt L Frequenzverhältnisse nicht exakt harmonisch Knotenpositionen nicht äquidistant Klanghöhe sehr stark abhängig von Randbedingungen einseitig eigeklemmt

82 2.4. Transversalschwingung steifer Saiten Rückstellkraft = Spannungskraft + elastische Rückstellkraft eingeklemmte Enden n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 eingehängte Enden n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5

83 2.4. Transversalschwingung steifer Saiten Rückstellkraft = Spannungskraft + elastische Rückstellkraft eingeklemmte / eingehängte Enden B = 0 B = 0,005 B = 0,01

84 Beeinflussung der Dispersionsrelation: k ω ideale Saite steife Saite massen-belastete Saite (z.B. Ummantelung) Grenz- Frequenz

85 2.5. Torsionsschwingungen von Saiten und Stäben Young-Modul E Torsionsmodul G homogenes, isotropes Material: ( ν = Poisson-Zahl ) Dispersionsrelation linear: Saiten: c T typisch mal so groß wie c starke innere Dämpfung Abhängigkeit von c T von Querschnittsform:

86 3. Membranen, Platten und Schalen Analogien: 1-D-System2-D-System ideale Saite ideale Membran steife Saite steife Membran Stab Platte gekrümmter Stab Schale, Glocke Knotenpunkt Knotenlinie

87 3.1. Membranen Massendichte: Spannung: T ds= Spannkraft senkrecht zu Rand jedes Flächenelements = (konstante) Oberflächenspannung der Membran Kleine Auslenkung ( lineare Näherung ): 2-D-Wellengleichung: Koordinatenwahl Form der Einspannung (Transversalschwingung) x y z Einspannung Rechteckmembran Kreismembran

88 θ T ds F Statische Auslenkung: Membran widersteht keiner Kraft mit Angriffspunkt Saite Membran = 0 für Angriffspunkt

89 Schwingungsmoden von Rechteckmembranen: x y z LxLx LyLy m = 1 n = 1m = 2 n = 1 m = 1 n = 2m = 2 n = 2 m = 3 n = 1 m = 3 n = 2 Quadratische Membran L x = L y Entartung ω mn = ω nm Modenüberlagerung möglich

90 Schwingungsmoden von Kreismembranen: m = 0 n = 1m = 1 n = 1 m = 2 n = 1m = 3 n = 1 m = 0 n = 2 m = 3 n = 2 2R x y z ξ mn = n-te Nullstelle der Besselfunktion J m

91 Frequenzfolge bei idealen Kreismembranen:

92 3.2. Dünne isotrope Platten x y z frei / einfach unterstützt / eingespannt h Massendichte: a) Longitudinale Wellen: nicht-dispersiv; keine signifikante Schallabstrahlung Unendliches Medium (rel. zu λ)Dünne (rel. zu λ) Balken / Platten

93 Massendichte: b) Transversale Wellen: nicht-dispersiv; keine signifikante Schallabstrahlung (zweidimensionales Analogon zu Torsionsschwingungen von Stäben) Unendliches Medium oder unedlich große, flache Platten (rel. zu λ) x y z frei / einfach unterstützt / eingespannt h

94 x y z h Massendichte: c) Biege/Verformungs-Wellen: dispersiv; signifikante Schallabstrahlung (zweidimensionale Verallgemeinerung der Balken-Biegeschwingung) Wellengleichung: Dispersionsrelation: (nichtlinear) Phasengeschwindigkeit: Gruppengeschwindigkeit:

95 Beispiel: Die dünne Kreisplatte z h R Hyperbolische Besselfunktionen: I m (k r) = i – m J m (k r) eingespannt einfach unterstützt frei

96 z h R Asymptotisches Spektrum: Lord Rayleigh (1894): Frequenzzunahme durch Zufügen eines Kotenrings ist ungefähr identisch mit der durch Zufügen zweier Knotendiagonalen (Chladnis Gesetz) Empirischer Ansatz für Kreisplatten, -schalen, -glocken:

97 Beispiel: Die dünne Rechteckplatte z h LxLx LyLy Einfache Unterstützung: Knotenlinien (m,n) wie Membran Andere Randbedingungen: Gekrümmte Knotenlinien durch Mischung der (m,n) und (n,m) Membranmoden für |m – n| = 2,4,6,... Freie Platte: ( i.a. schwieriges Problem ) (x,y) – Kopplung

98 Messung an freier Aluminiumplatte L x / L y L x = const. (x,y) – Kopplung bei L x L y : Ringmode Diagonal- Mode (X-Mode) Modenaustausch

99 Fundamentalmoden quadratischer Platten: frei ( ν = 0,3 )einfach unterstützteingespannt ( 1, 1 )( 1, 1 )( 0, 0 )( 0, 0 )( 0, 0 )( 0, 0 )

100 Moden quadratischer Platten: frei ( ν = 0,3 ) eingespannt

101 Modenspektren quadratischer Platten: eingespannt einfach unterstützt frei ( ν = 0,3 )

102 3.3. Dünne Holzplatten Fichtenholz (orthotrop, 9 elastische Parameter) Deckelplatten von Geigen: Fasern entlang Plattenlänge Jahresringe senkrecht zur Platte Länge / Breite 3 / 1 Deckelplatten von Geigen: Fasern entlang Plattenlänge Jahresringe senkrecht zur Platte Länge / Breite 3 / 1 Qualitative Eigenschaften ähnlich,... aber E E x, E y ν 2 ν xy ν yx

103 Beispiel: Freie Viola-Deckel (2,0) – (0,2) X-Mode(2,0) + (0,2) Ring-Mode RückenFrontRückenFront Rücken Front Dritte wichtige Mode: (1,1) - Verwindungsmode

104 3.4. Schalen Sehr komplexes Problem, aber hochrelevant: Geigen-Frontplatte / gesamter Resonanzkörper Kugelschalensegmente (Becken,...) Zylinderschalen (Zylinderglocken,...) Kirchenglocken Schalendimension:a Schalendicke:h Schalenwölbung:H Schalendimension:a Schalendicke:h Schalenwölbung:H Modenklassifizierung (Love, Rayleigh): Dehnungsmoden: Längenänderungen in erster Ordnung Linienmasse h Federkonstante h Biegungsmoden: Keine Längenänderungen in erster Ordnung Schalenmasse h Federkonstante h 3 ω(h) = const. ω(h) h 2 Empirische Modenparametrisierung:

105 Beispiel: Flache sphärische Schale Niedrigste Mode: k a = μ (abhängig von Einspannung) Spezialfall der flachen Platte ( H = 0 ): k a = μ 0 Sehr starke Frequenzzunahme (d.h. Steifigkeitszunahme) mit H gewölbter Geigendeckel benötigt keine innere Verstrebung flacher Gitarrendeckel erfordert starke innere Verstrebung

106 4. Schall in Luft 4.1. Schallwellen Elastischer Scherungswiderstand Reibungswiderstand Eleastischer Kompressionswiderstand Schallwellen = longitudinale Druckwellen Wellengleichung: Schallgeschwindigkeit c: Kompressionsmodul K: Dichte ρ: Gesamtluftdruck: p L Akustischer Druck:

107 Schallgeschwindigkeit Isothermer Fall ( T = const. ): Luft ist ideales Gas p L V = N k T Luft zweiatomig 1. Hauptsatz Für Musikinstrumente nur in Extremfällen interessant Adiabatischer Fall ( δQ = 0 ):

108 Wellengleichung: c 2 proportional zur (absoluten) Temperatur c unabhängig vom Luftdruck m L und somit c abhängig von Luftfeuchtigkeit Taylorentwicklung um 0°C bei 50% relativer Luftfeuchtigkeit:

109 Strömungsfeld Wellengleichung: Strömungsgeschwindigkeitsdichte-Feld Bewegungsgleichung: Lösung (Superposition ebener Wellen): Folge: (spezifische akustische) Impedanz p Potential Spannung u Geschwindigkeit Strom Ohmsches Gesetz

110 Kugelwellen Wellengleichung: Sphärisch symmetrische Quelle Bewegungsgleichung: Lösung (Kugelwelle): auslaufendeinlaufend Akustische Impedanz:

111 Druckpegel, Lautstärke, Intensität Druckpegel: Druckpegel (dB) Frequenz (Hz) Empfindlichkeit des Ohrs: Kurven konstanter Lautstärke (in Phon) Hörschwelle: 0 Phon Schmerzgrenze: 120 Phon

112 Intensität an einer Fläche: dA Komplexe Schreibweise: Intensitätspegel: Ebene Wellen: L I L P

113 Ebene Welle: Kugelwelle:

114 Reflexion, Brechung, Beugung Randstrukturen Gesetze der geometrischen Optik z 1 = c 1 ρ 1 z 2 = c 2 ρ 2 Ebene Wellen gegen ebene Grenzfläche α α' β Reflexionsgesetz: α = α' Brechungsgesetz: ReflexionskoeffizientTransmissionskoeffizient Amplitude: Intensität:

115 Randstrukturen Beugung an Rändern FrequenzWellenlänge 20 Hz17 m 1 kHz34 cm 15 kHz2,3 cm

116 Dämpfung Ursachen: Viskosität thermische Verluste Molekularer Energieaustausch z.B. Wände von Musikinstrumenten Beispiel: Dämpfung in Luft (relative Luftfeuchtigkeit > 50%) α( 10 kHz ) 0,1 dB / m relevant für große Konzertsäle

117 Hohlraummoden Starre Wand Impedanz: z W An der Wand: Randbedingung:Spezialfall der festen Wand:

118 Beispiel: Quaderförmiges Auditorium mit festen Wänden a c b a : b : c = 1 : 1 : 1 a : b : c = 1 : 2 : 3 Design von Konzertsälen: Gleichmäßige Modendichte bei niedrigen Frequenzen Schlechtes Design Besseres Design

119 4.2. Schallausstrahlung Kugelstrahler: Wichtiges Modellsystem Multipol-Quellen:Konfiguration von Punktquellen, Abstände klein gegen Wellenlänge Überlagerte Punktquellen: Beliebig ausgedehnte Konfigurationen von Punktquellen Ebene Quellen: Quellfläche in unendlicher Schallwand Unabgeschirmte Quellfläche Unendlich große Platten

120 Kugelstrahler Gutes Modellsystem für pulsierende Hohlkörper jeder Form! a Definition: Quellstärke Abgestrahlte Kugelwelle: Intensität:

121 k ak a 0 P / Fläche v(a) = const a Gesamtstrahlungsleistung Punktquelle Sättigung Musikinstrumente ( möglichst große Abstrahlfläche günstig ) Musikinstrumente ( möglichst große Abstrahlfläche günstig )

122 a Mechanische Last an schwingender Oberfläche: X = Im ( Z m ): Reaktivität der mitschwingenden Luft X = Im ( Z m ): Reaktivität der mitschwingenden Luft R = Re ( Z m ): Dissipation durch Abstrahlung R = Re ( Z m ): Dissipation durch Abstrahlung

123 Multipol-Quellen a Monopol Abgestrahlte Kugelwelle: Amplitude unabhängig von Quellgröße a,,Punktquelle Quellstärke

124 Multipolkonfigurationen: +Q Q Q δzδz δxδx Monopol: +QDipol: +Q Q δzδz Quadrupol: δzδz +Q Q Q δzδz δzδz Punktquelle: zunehmend komplexere Winkelverteilung zunehmend ineffizient bei niedrigen Frequenzen

125 Überlagerte Punktquellen Strahlung zweier Punktquellen bei : + Q+ Q + Q+ Q Q Q Gesamtstrahlungsleistung durch Kugelfäche mit : Komplexes Interferenzmuster P unabhängig von r

126 Monopol Monopol 2Q Dipol Q·d Inkohärente Überlagerung Kohärente Überlagerung Strahlung zweier Punktquellen

127 θ p+p+ p+p+ d + – + – + – p–p– p–p– θ Strahlung von 2N Punktquellen bei :

128 θ p+p+ p+p+ d

129 d < λ / 2 völlig ineffizient! Lokale Strömungen zwischen +Q und Q d < λ / 2 völlig ineffizient! Lokale Strömungen zwischen +Q und Q + – + – + – p–p– p–p– θ d

130 Linienquellen ( schwingende Saite) a)Fundamentalmode: Näherung starrer dünner Zylinder mit L φ 2a L I, P a 4 ω 3 sehr ineffizient !

131 b)Höhere Moden: +Q Q Q Q d Transversalwelle auf Saite Schallwelle zusätzlich Auslöschungseffekt (Kette alternierender Punktquellen) Noch viel ineffizienter !

132 Ebene Quelle mit Schallwand,,Unendliche Schallwand (Abschirmung vom Rückraum) Starrer,,Kolben oder elastische Membran Abstrahlung zum Auditorium Effekt der Schallwand: Effiziente Abstrahlung auch bei niedrigen Frequenzen

133 Praktische Realisierung: (Teil-)Separation des rückwärtigen Luftraums Kesselpauke (Timpani) Cello Konzertgitarre Piano Systeme ohne Schallwand: Niedrige Effizienz bei niedrigen Frequenzen Starke Anregung bei niedrigen Frequenzen ermöglicht ausgeglichenes Klangspektrum Wenig Abstrahlung sehr langes Nachklingen Glocke Becken

134 Mathematische Behandlung: Fresnel-Kirchhoffsches Beugungsintegral Raumwinkel der Abstrahlung Elementare Kugelwellen Volumenfluss (Quellstärke) Relevanter Spezialfall: Fraunhofer-Beugung: r >> Quellgröße dS

135 Beispiel: Starre Kreisplatte mit Radius a (Fraunhofer-Beugung) Optisches Analogon: Fraunhofer-Beugung an Lochblende Hauptabstrahlungskegel 1.Nebenkeule bei –18 dB Insignifikant ! 1.Nebenkeule bei –18 dB Insignifikant !

136 Starre Kreisquelle in Schallwand Pulsierende Kugel X = Im ( Z m ): Reaktivität der mitschwingenden Luft X = Im ( Z m ): Reaktivität der mitschwingenden Luft R = Re ( Z m ): Dissipation durch Abstrahlung R = Re ( Z m ): Dissipation durch Abstrahlung Akustischer Widerstand der Luft

137 Strahlung einer Kreismembran in einer Schallwand m = 0 n = 1 Fundamentalmode Qualitativ wie starre Kreisplatte Effizienter Strahler Quantitativ unterschiedlich: u( r' ) J 0 ( k r' ) m = 0 n = 2 m = 0 Moden: Verbleibende Netto-Monopolkomponente Schwache Strahler m = 1 n = 1 m = 2 n = 1m = 3 n = 1 m = 3 n = 2 m > 0 Moden: Keine Monopolkomponente Völlig ineffiziente Strahler

138 Unabgeschirmte ebene Quellen Umschlossener Rückraum Unendliche Schallwand Hohe Frequenz ( ka > 4 ): fast ungeändertes Verhalten Niedrige Frequenz ( ka < 4 ): Abstrahlraumwinkel 2π 4π ½ Strahlungswiderstand ½ Gesamtstrahlungsleistung ( 3 dB ) ¼ Intensität ( 6 dB ) Kompensation:Bassreflexwand, Fussboden,... offene Platte Dipolquelle bei kleinen Frequenzen offene Platte Dipolquelle bei kleinen Frequenzen Starre Platte:

139 Strahlung von (unendlich) großen Platten Einfachstes Beispiel: Ebene Biegewelle der Platte Platte ( Dicke h, Dichte ρ P ) Luft ( Dichte ρ ) Schallgeschwindigkeit: Phasengeschwindigkeit: Abstrahlungsbedingung: λ λ P (ω) bzw.k k P (ω) bzw.c v P (ω)

140 Strahlungsmuster der Überschallbiegewelle ( v P c ) (Analogon: Machscher Kegel) Abschneide- bzw. Koinzidenzfrequenz:

141 Orgel 4.3. Schallwellenleiter ( Pfeifen, Flöten, Hörner) Französ. Horn Flügelhorn Querflöte Oboe Klarinette Blockflöte Saxophon

142 Unendliche Zylinderrohre Perfekt steife Wand: analog zur Kreismembran k r = k mn quantisiert k z unbeschränkt (keine z-Randbedingung) 2a z r φ Ruhende oder gleichmäßig strömende Luft

143 Wichtiger Spezialfall m = n = 0: q 00 = 0, J 0 (0) = 1 Ebene Welle: Volumenfluss: Bemerkung: In allen anderen Moden ist U = 0 Definition: (Wellen-)ImpedanzCharakteristische Impedanz

144 Kritische Frequenz: ω > ω c :k mn, z reell ungedämpfte Ausbreitung ω < ω c :k mn, z imaginär gedämpfte Ausbreitung ( keine Wellenleitung ) k mn = 0 q 00 = 0 ebene (0,0)-Mode wird bei allen Frequenzen geleitet !

145 J0J0 J1J1 J2J2 J3J3 J4J4 01,843,05 3,83 4,20 ( 0, 0 )( 0, 0 )( 0, 0 )( 1, 0 )( 0, 0 )( 1, 0 ) ( 0, 0 )( 1, 0 )( 2, 0 )( 0, 0 )( 1, 0 )( 2, 0 ) ( 0, 1 ) ( 3, 0 ) +( 1, 1 )( 2, 0 )+( 1, 1 )( 2, 0 ) etc. Single-Mode- Leitung Ebene Welle Single-Mode-Leitung: 5,32 5,33

146 Querschnitt Flussmuster im Längsschnitt Ebene Fundamental- Mode ω > ω c ω < ω c

147 Wandverluste in unendlichen Zylinderrohren a)Reibungsverluste b)Thermische Verluste Verluste in dünnen Randschichten an der Wand: a δVδV Viskosität η a δTδT Thermische Leitfähigkeit κ Zusammenhang:

148 Konsequenz: Z 0 reell Z 0 komplex und: k reell k komplex: v / c α / f [ m -1 Hz -1 ] Einfluss auf Z 0 wichtig für r V 10 Phasengeschwindigkeit sinkt für r V 10 α λ -1 für r V 10

149 Frequenz [ Hz ] a = 0,1 mm a = 1 mm a = 1 cm a = 10 cm Frequenz [ Hz ] a = 0,1 mm a = 1 mm a = 1 cm a = 10 cm Größenordnungen bei Zimmertemperatur ( 20 °C ): Kritischer Bereich

150 Endliche Zylinderrohre L Reflexionskoeffizient: ZLZL R Saite: Z 0 L ( Abschnitt ) Eingangsimpedanz:

151 L Ideal abgeschlossener Rohr: Z L = Ideal offenes Rohr: Z L = 0 Ideal offener Eingang: p 00 U U

152 Realistische offene Rohre: endlicher Außendruck, Z L 0 L Schallwand a)Abschluss durch Schallwand (vgl ) R L, X L [ Z 0 = ρc/S ] Musikinstrumente (Fundamentalmoden) Schallwand wirkt wie ein kurzer ideal offener Zylinder

153 Realistische offene Rohre: endlicher Außendruck, Z L 0 L b)Offener Abschluss Musikinstrumente (Fundamentalmoden) Außenluft wirkt wie ein kurzer ideal offener Zylinder

154 Impedanzkurven realistischer Zylinderrohre Typische Situation: r V > 10 Charakteristische Impedanz Z 0 (ungeändert) Kleine Dämpfung α: Ideal abgeschlossener Rohr: Z L = Ideal offenes Rohr: Z L = 0

155 L = 1 m a = 5 cm L = 1 m a = 1 cm (Anti-)Resonanzstruktur durch Wanddämpfung! Auswaschung durch Strahlungsdämpfung! (Anti-)Resonanzen nicht ganz harmonisch (gestreckt)

156 Abstrahlcharakteristik offener Zylinderrohre Richtungs-Index

157 Schallwellen in Hörnern Französ. Horn Vereinfachung: gerade, unendlich lang Wellengleichung für Frequenz ω: Randbedingung für ideal steifes Horn: Separierbarkeit/Single-Mode-Leitung: Spezielle Koordinaten Hornfläche = Koordinatenfläche konfokale quadratische Oberflächen (11 Varianten)

158 Beispiele: Kreis/Ellipsen/Rechteck-Zylinderrohre Single-Mode ebene Wellen Konische Hörner Single-Mode Kugelwellen Hyperbolische Hörner Single-Mode Welle oblat spheroidal zylindrisch konisch eben sphärisch Single-Mode Welle oblat spheroidal zylindrisch konisch eben sphärisch Glatter Zylinder- Übergang

159 Analytische Näherung: Wellenfront x S a(x) x 0 (x) Wellenfront: p const. Lokaler Konus: x 0, θ Sphärische Näherung: x 0, θ nur schwach x-abhängig S annähernd sphärisch Webster-Gleichung: Für kleine θ: Sphärische Näherung Ebene Näherung

160 Wellenfront x S a(x) x 0 (x) Konstante Intensität I p 2 S Ansatz: F(x) = Potentialbarriere = Hornfunktion F(x) = Potentialbarriere = Hornfunktion RTRT RLRL Leitung oberhalb Abschneide-Frequenz:

161 Salmon-Hörner Wellenfront x S a(x) x 0 (x) ( konstanter Abschneidefrequenz ) Lösung: m = Hornkonstante Wellenleitung k 2 > m 2 Wichtige Spezialfälle: T = 1:Exponentialhorn T = 1:Katenoidalhorn ( glatter Zylinderanschluss ) Konisches Horn mit Apex in x 0 ( F = 0 kein Frequenzabschnitt ) Hörner = kontinuierliche Impedanzwandler effiziente Abstrahlung oberhalb ω C

162 Endliche konische Hörner L = 1 m a = 5 cm Z in / Z 0 L = 1 m a 1 = 0,5 cm a 2 = 5 cm Z in / Z 1 L S S2S2 S1S1 L

163 Abhängigkeit der Resonanzfrequenzen vom Öffnungsverhältnis ( Vereinfachte Darstellung für Z L = 0 ) a 1 / a 2 ω1ω1 ω2ω2 ω3ω3 ω4ω4 ω1ω1 ω2ω2 ω3ω3 ω4ω4 Beidseitig offene Hörner ( Flöten, Orgel-Rohrpfeifen ) Einseitig geschlossene Hörner ( Rohrblatt- / Lippen- getriebene Blasinstrumente )

164 Besselhörner γ = 0: Zylinderrohr γ = 1: konisches Horn mit Apex bei x = 0 γ > : stark divergente Mündung bei x = 0 ( realistische Beschreibung moderner Blasinstrumente )

165 Besselhörner: Analytische Lösung für γ > 0 (ebene-Wellen-Näherung): Bessel-Funktion Neumann-Funktion Ideal offenes unendliches Besselhorn:

166 Besselhornfunktion bei offener Mündung: Ebene-Welle-Näherung Kugelwellen-Näherung Totalreflexion bei F(x) k 2 F Horn strahlt nicht ab ! Freie Abstrahlung für k 2 > F max Tunneleffekt Teilabstrahlung für k 2 < F max

167 Netzwerkanalyse Allgemeiner Wellenleiter ( passiver ) elektrischer Vierpol x1x1 x2x2 S1S1 S2S2 Impedanzmatrix:

168 Beispiel: Beidseitig offenes konisches Horn S2S2 S1S1 L x x2x2 x1x1 0 Reziprozitäts-Theorem: Für beliebige (passive) Hörner gilt Beobachtung: Z 12 = Z 21 gilt auch allgemein

169 Transportmatrix: Behandlung zusammengesetzter Hörner: Z (1), A (1) Z (2), A (2) U1U1 U2U2 U3U3 p1p1 p2p2 p3p3 Verkettungsregel: Bemerkung:

170 Beispiel: Ideal offenes konisches Rohr mit Zylinder-Eingang f max von Z in (Trompetenmaße) Harmonisches Spektrum bei L 1 L 2

171 Beispiel: Horn mit Abschlussimpedanz Z L ZLZL p2p2 p1p1 U2U2 U1U1 ZLZL Horn Eingangsimpedanz:

172 Beispiel: Ideal abgeschlossenes konisches Horn S2S2 S1S1 L x x2x2 x1x1 0 Quasistatischer Grenzfall: Hohlraumform in diesem Grenzfall irrelevant = akustische Impedanz eines Hohlraums = akustische Nachgiebigkeit elektrische Kapazität

173 Beispiel: Ideal offenes konisches Horn Quasistatischer Grenzfall: S2S2 S1S1 L x x2x2 x1x1 0 Spezialfall offenes Zylinderrohr: S 1 = S 2 = S Allgemein: = akustische Impedanz eines ideal offenen Horns = akustische Trägheit elektrische Induktivität

174 Quasistatische Netzwerke: Beispiel 1 Helmholtz-Resonator getrieben durch äußeres Schallfeld p ext L S V Z cav Z pipe Z rad p ext U U ~ Z cav Z pipe Z rad p ext U U p ext Wechselspannungsquelle Z rad komplexer Widerstand Z pipe Induktivität Z cav Kapazität p ext Wechselspannungsquelle Z rad komplexer Widerstand Z pipe Induktivität Z cav Kapazität

175 Quasistatische Netzwerke: Beispiel 2 Helmholtz-Resonator intern getrieben durch vibrierende Wand U 0 Wechselstromquelle Z rad komplexer Widerstand Z pipe Induktivität Z cav Kapazität U 0 Wechselstromquelle Z rad komplexer Widerstand Z pipe Induktivität Z cav Kapazität L S V Z cav Z pipe Z rad U U U0U0 Z cav Z pipe Z rad U0U0 U0U0 U U


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