Physik der Musikinstrumente

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1 Physik der Musikinstrumente
T. Lohse, M. zur Nedden SS 03 Physik der Musikinstrumente Vorbemerkung: Menschliches Ohr Wavelet-Trafo, Wandlung in Nervensignale Musikinstrument, schwingendes System Schalldruckwellen, Ausbreitung im Auditorium

2 Beispiele schwingender Systeme:
Saiten Geige, Gittarre, Klavier, ... Blattfedern Rohr / Zunge in Blasinstrumenten, ... Membranen Pauke, Bongos, Trommelfell, ... Platten, Stäbe Xylophon, Gitarrendeckel, Triangel, ... Schalen Becken, Glocke, ... Luft-Hohlraumresonatoren Geigenkörper, Orgelpfeife, ... Luft-Wellenleiter Flöte, Trompete, Horn, ... Physikalische Grundlagen: Schwingungen / Wellen in festen / gasförmigen elastischen Medien Hydrodynamik Lineare und nichtlineare Schwingungen

3 1.1. Eindimensionale harmonische Schwingung
1. Schwingende Systeme 1.1. Eindimensionale harmonische Schwingung Anfangsbedingungen  |A|, φ bzw. a, b reelle (physikalische) Lösung: komplexe Lösung: ω0: Eigenfrequenz A = |A|·eiφ: komplexe Amplitude φ: Phase Bewegungsgleichung:

4 Beispiele: L m D I Q C z S L Helmholtz-Resonator:
Schallgeschwindigkeit

5 1.2. Dämpfung Bewegungsgleichung: α: Dämpfungskonstante
α < ω0: Schwingfall (musikalischer Normalfall) α = ω0: aperiodischer Grenzfall α > ω0: Kriechfall

6 Beispiele: I L R Q C z D γ m Musikinstrumente: „Kleine Dämpfung“ α  ω0  quasi-statische Schwingung / kein Energieverlust während T = 2π / ω

7  Energieverlust bei kleiner Dämpfung: ½ Güte: Dämpfungszeit:
 const.  Dämpfungszeit: Güte: #Schwingungen in τD:

8 Beispiel: Güte: T37% = Q/π = 2τD T14% = Q/2π = 4τD Impulsanregung

9 m 1.3. Erzwungene Schwingungen z 1.3.1. Übersicht D F(t) γ
Bewegungsgleichung: f(t): externe Anregung Musikinstrument: f(t) periodisch Fourierzerlegung: f(t) harmonisch

10 xh(t): xs(t): Lösung: x(t) = xh(t) + xs(t) Einschwingvorgang
gedämpft  Lösung der homogenen Gleichung ( f  0 ) festgelegt durch Anfangsbedingungen xs(t): Asymptotische, stabile Schwingung für spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung unabhängig von Anfangsbedingungen festgelegt durch ω0, α, f0, ω

11 1.3.2. Gleichgewichtsschwingung ( t   )
Komplexe... Amplitude: x0 = | x0|·eiφ Geschwindigkeit: v0 = iω·x0 Beschleunigung: a0 = iω·v0 = -ω2 x0

12 Definitionen: (mechanische) Impedanz: Admittanz (bzw. Mobilität):
Widerstand (dissipativer Teil): Reaktanz (reaktiver Teil):

13 Definitionen: = Güte Resonanzamplitude: Gleichgewichtsamplitude:
Resonanzverstärkung: = Güte

14  Definitionen: Dämpfung in Dezibel (dB) Dämpfung
Bemerkung: Analog für andere Größen (v, a, ...) und andere Bezugspunkte

15 Resonanzkurve und Phasenschub:
Resonanz-dominiert 0,25 0,70 3 dB 1/Q 4 1,43 Feder-dominiert Masse-dominiert

16 Resonanzkurve und Phasenschub:
0,25 0,70 3 dB 1/Q 4 1,43 ω  0 Steigung ω   Steigung |x0| const. 0 dB/Oktave  1/ω2 -12 dB/Oktave |v0|  ω 6 dB/Oktave  1/ω -6 dB/Oktave |a0|  ω2 12 dB/Oktave const dB/Oktave 1 Oktave  Faktor 2 in ω  [ ω , 2ω ]

17 Darstellungen von Impedanz und Admittanz
R = Re Z X = Im Z Nyquist-Diagramm ω Q ω = ω0 ω  0 ω   Q = 4 G = Re Y B = Im Y |Y|

18 Plötzliche sin-Anregung ab t=0
Der Einschwingvorgang von ω+ω0 mit |ω-ω0| Form: Anfangsbedingungen (Anregung) Einschwingdauer: einige τD Komponenten:  Schwebung Q = 10 0,2 0,8 1,0 1,2 2,0 4,0 Plötzliche sin-Anregung ab t=0

19 1.3.4. Elektrisches Äquivalent
mechanische Parallelschaltung  elektrische Serienschaltung vB vA v1 = vB-vA v2 = v1 I1 I2 = I1 mechanische Serienschaltung  elektrische Parallelschaltung I1 I2 I I = I1+I2 v = vC-vA = v1+v2 vC vA vB v1 = vB-vA v2 = vC-vB

20 L m γ R C D - + IL vm xγ IR xD QC Kraft  elektrische Spannung
Geschwindigkeitsverläufe Kräftegleichgewichte Analysiere im Einzelfall:

21 F = FMasse + FDämpfer + FFeder
Beispiel 1: vFeder = vDämpfer = vMasse F = FMasse + FDämpfer + FFeder D γ m x F(t) ~

22 v = vFeder + vMasse , vFeder = vDämpfer
Beispiel 2: v = vFeder + vMasse , vFeder = vDämpfer F = FMasse = FDämpfer + FFeder x m D γ F(t) xm ~

23 ~ m Beispiel 3: xm x v = vMasse + vDämpfer , vFeder = vMasse
F = FDämpfer = FMasse + FFeder m xm D γ F(t) x ~

24 1.4. Gekoppelte Schwingungen
Zerlegung: stabile Schwingungskonfigurationen: (Eigen-)Moden Eine Eigenfrequenz pro Mode eine Mode pro Freiheitsgrad

25 1.4.1. Beispiel: Zwei gekoppelte Schwinger
Da γa ma xa DK Db γb mb xb La Rb CK Ra Cb Ca Lb Ia Ib Bewegungsgleichung:

26 Lösung: Zwei Eigenfrequenzen
Musikinstrumente: kleine Dämpfung  Vereinfachte Diskussion für αa = αb = 0 Ansatz: xa , xb  eiωt  Lösung: Zwei Eigenfrequenzen

27 Diskussion: keine Kopplung  ωa,b K = 0, ω1,2 = ωa,b Kopplung  0 
ωb/ωa  0: ω1ωb , ω2ωa ωb/ωa  : ω1ωa , ω2ωb keine Kopplung  ωa,b K = 0, ω1,2 = ωa,b Minimale Frequenzaufspaltung: bei ωa = ωb

28 ~ 1.4.2. Erzwungene gekoppelte Schwingungen
Einfaches Beispiel (Dämpfung vernachlässigt): D1 m1 x1 D2 m2 x2 F0·eiωt Anwendungen: m2 als Tilger Bass-Reflex-Lautsprecher Gitarre mit fixierten Rippen m1 1/D2 1/D1 m2 ~ F0·eiωt Nach Einschwingen: Dämpfung vernachlässigt reell

29 D1 m1 x1 D2 m2 x2 F0·eiωt Resonanzen Antiresonanz (x10 = 0, x20 = max) Konfigurationen (Moden): (Richtungen bezüglich F ) ω = ω1 – ε: ω = ω1 + ε: ω = ω2 – ε: ω = ω2 + ε: ω = ωA: ω = ωA:

30 Theorem: In einem (beliebigen) gekoppelten System seien ω1, ω2 zwei aufeinanderfolgende Resonanzfrequenzen. Das System werde im Punkt P1 angeregt und im Punkt P2 gemessen. Sind die Schwingungsamplituden in P2 relativ zu P1 in beiden Moden gleichgerichtet  |x20| durchläuft zwischen ω1, ω2 eine Antiresonanz entgegengesetzt  |x20| durchläuft zwischen ω1, ω2 ein Minimum ω = ω1 – ε: ω = ω1 + ε: ω = ω2 – ε: ω = ω2 + ε: ω = ωA: ω = ωA: D1 m1 x1 D2 m2 x2 F0·eiωt

31 Theorem: In einem (beliebigen) gekoppelten System seien ω1, ω2 zwei aufeinanderfolgende Resonanzfrequenzen. Das System werde im Punkt P1 angeregt und im Punkt P2 gemessen. Sind die Schwingungsamplituden in P2 relativ zu P1 in beiden Moden entgegengesetzt  |x20| durchläuft zwischen ω1, ω2 ein Minimum gleichgerichtet  |x20| durchläuft zwischen ω1, ω2 eine Antiresonanz Folgerung: P2 = P1  Der Treiberpunkt selbst durchläuft mit wachsender Frequenz eine Folge abwechselnder Resonanzen und Antiresonanzen. Beispiel: 2-D-System Treiberpunkt Transferpunkt

32 1.4.3. Charakterisierung des Frequenzgangs
P1: Erreger P2: Sensor  Wichtiger Spezialfall: P1 = P2 Auslenkung Geschwindigkeit Beschleunigung Messverfahren: Impedanzkopf Impedanzkopf Nahfeld Schallwellen (Mikrophon) mechanische Schreiber holographische Interferometrie

33 Charakteristische Frequenzgangs-Messgrößen:
Nachgiebigkeit (Compliance) Kapazität Mobilität, Admittanz Leitwert Acceleranz 1 / Induktivität Steifigkeit 1 / Kapazität Impedanz Impedanz Dynamische Masse Induktivität

34 P1 = P2: Präfix „Treiber(punkt)-“
P1  P2: Präfix „Transfer-“ Beispiel: D1 m1 x1 D2 m2 x2 F0·eiωt Treiber-Mobilität: Transfer-Mobilität:

35 Asymptotisches Verhalten:
ωmin: kleinste Resonanzfrequenz ωmin: größte Resonanzfrequenz ω < ωmin ω > ωmax Asymp- totischer Bereich Nachgiebigkeit Mobilität Acceleranz Steifigkeit Impedanz Dynamische Masse ( Einheit: dB / Oktave )

36 Asymptotisches Verhalten:
ωmin: kleinste Resonanzfrequenz ωmin: größte Resonanzfrequenz ω < ωmin ω > ωmax Asymp- totischer Bereich Nachgiebigkeit Mobilität Acceleranz Steifigkeit Impedanz Dynamische Masse ( Einheit: dB / Oktave )

37 Beispiel: Transfer-Mobilität einer leicht gedämpften Struktur
mit 4 Schwingungsmoden Schwingungsrichtung am Messpunkt relativ zum Treiberpunkt ... bleibt gleich klappt um ω1 ω2 ω3 ω4 6 dB / Oktave Antiresonanz -6 dB / Oktave

38 z. B. Impedanz: Z = |Z|eiφ = R + i X
Darstellung der (i.a. komplexen) charakteristischen Parameter: z. B. Impedanz: Z = |Z|eiφ = R + i X |Z|(ω) und φ(ω) Re Z(ω) und Im Z(ω) , z.B. für einzelne Resonanz: Nyquist-Diagramme Im Re ω ωR Nachgiebigkeit x / F Re ω ωR Mobilität v / F Im Im Re ω ωR Acceleranz a / F

39  1.5. Nichtlineare Schwingungen Lineare Systeme: ...
Superpositionsprinzip Eigenfrequenzen unabhängig von Moden-Amplituden komplexe Schreibweisen geeignet x Lösung zu F x' Lösung zu F'  x + x' Lösung zu F + F'

40 Realistische Systeme: Nichtlineare Beiträge
Grenzen des Hookeschen Gesetzes Turbulenz Bogenkraft auf Saite = f (Saitenposition,Relativgeschwindigkeit) Strömung in Rohrventilen (Blasinstrumente) = f (Druckabfall) Konsequenzen: ω0 = ω0( x0 ) Hysterese-Verhalten in ( x0 , ω0 ) –Diagramm Bifurkationen und chaotisches Verhalten (seltsame Attraktoren) (d.h., System schwingt sich nicht immer auf periodische Bewegung ein!)

41 Analytische Methoden Bewegungsgleichung:

42 Koeffizientenvergleich
Spezialfall: F periodisch, z.B. F = F0·cos(ωt)  Störungsrechnung bei kleinen Nichtlinearitäten Ansatz: Fourierentwicklung Einsetzen Koeffizientenvergleich

43 Allgemeines Verfahren:
wobei: Beweis: Einsetzen und Nachrechnen!

44  noch nichts gewonnen (Gesetz der konstanten Mühsal)
&  noch nichts gewonnen (Gesetz der konstanten Mühsal) Näherung: Terme in g „klein“ (inklusive γ)  a, φ  const. während Periode  Folge:

45 m D γ=2mα x Beispiel: Schwach gedämpfter, freier, linearer Oszillator
Also: Korrekt für ! (vgl. 1.2.)

46 1.5.2. Der Duffing-Oszillator
(Paradebeispiel für Chaos und seltsame Attraktoren) Physikalischer Ansatz: D  D + β m x2 (nicht-lineare Dämpfung) d.h. Analytisches Verfahren  oft: Frequenz hängt von Amplitude ab Hysterese bei großen Amplituden

47 Störungsrechnung: Ansatz: ( f (t) = f0·cos(ωt) , α  0 ) Koeffizientenvergleich der cos(ωt)-Terme: Freier Oszillator ( f0 = 0 ):

48 1.5.3. Selbsterregung: Van-der-Pol-Oszillator
Konstanter äußerer Energiefluss (Luftströmung, Bogenstrich, ...) Musikinstrument  Modulation des Energieflusses Nichtlineare Rückkopplung  selbstangeregte stabile Schwingung Physikalischer Ansatz: 2α  α·( 1 – x2 ) (nicht-lineare Dämpfung) d.h. x  0 ist stets Lösung, aber nicht stabil geeignete α  Grenzzyklen Grenzzyklen fast harmonisch, mit anharmonischen Beimischungen

49 Van-der-Pol-Oszillator

50 Starke nichtlineare Modenkopplung
Moden-Stabilisierung ω1  ω2 Musikinstrumente sind ... selbsterregende Multi-Moden-Systeme ... mit annähernd linearem Moden-Verhalten ... und mit einigermaßen harmonischen Frequenzverhältnissen (Anharmonizitäten  störende niederfrequente Schwebungen) Musikinstrumente erfordern periodisches, schwebungsfreies Signal: Selbstadjustierung der Eigenfrequenzen notwendig Moden-Einrastung (mode-locking) Selbststabilisierung relativer Phasen notwendig Notwendige Voraussetzung hierfür: Starke nichtlineare Modenkopplung

51 Beispiel: Moden: ωn , ωm Amplituden: an , am n·ωm  m·ωn n, m   I
fast harmonisch: Nichtlineare Kopplungsterme: Der Term ... ... treibt die ωn-Mode  1 Der Term ... ... treibt die ωm-Mode

52 Wann ist ein Musikinstrument gut ?
(  möglichst schnelles Erreichen eines periodischen Signals ) Inharmonizitäten der natürlichen Frequenzen möglichst klein Koeffizienten n, m der gekoppelten Moden möglichst klein (  Kopplungsamplituden möglichst groß ) Amplituden der gekoppelten Moden ( an , am ) möglichst groß Nichtlinearität der Kopplungsfunktion möglichst groß (  Kopplungskoeffizienten cm-1,n , cm,n-1 möglichst groß ) Fundamentalmode ( n = 1 ) möglichst stark an nichtlinearer Kopplung beteiligt

53 unendliche homogene Saite
2. Saiten und Stäbe 2.1. Transversale Saitenschwingungen Wellengleichung x y(x,t) unendliche homogene Saite Massendichte: Spannung: T = Kraft von Segment zu Segment Kleine Auslenkung (  lineare Näherung ): x x + dx ds dy T θ(x) θ(x+dx) dFy „Wellengleichung“

54 Allgemeine Lösung (nach d´Alembert)
f1 f2 y(x,t) = f1( c t – x ) + f2( c t – x ) = Superposition von rechts/links-laufenden Wellenpaketen Fouriertransformation  Zerlegung in harmonische (ebene) Wellen ( Re(y) = physikalischer Teil ) wobei: Dispersionsrelation ( hier linear, ω  k )

55 Spezialfall: Stehende Wellen
Phasen: Reelle Schreibweise:

56 Energie der stehenden Welle:
Energie des Saitenstücks der Länge :

57 2.1.2. Impedanz (Verwende komplexe Schreibweise!)
Definition: Charakteristische Impedanz bzw. Wellenwiderstand Bemerkung: Z0 ist reell (  verlustfreie Saite ) Charakteristische Admittanz Definition: Eingangsimpedanz x y T θ horizontale Fixierung ( x = 0 ) u(t) f(t) Geschwindigkeit des Eingangs-Aufhängepunktes: Externe Treiberkraft (kompensiert Vertikalkomponente vonT)

58 Beispiel: Nach rechts unenedliche Saite  nur rechtslaufende Welle
x y T θ horizontale Fixierung ( x = 0 ) u(t) f(t)

59 Definition: Abschlussimpedanz
x y T θ horizontale Fixierung ( x = 0 ) u(t) f(t) Zab  physikalische Eigenschaften der nachgiebigen Aufhängung (z.B. Elastizität & innere Reibung des Stegs der Geige, Energietransfer auf Klangkörper der Geige etc.)

60 Reflexionskoeffizient:
Reflexion am Abschlusspunkt: y(x,t) = a ei ω t ( e – i kx + R·ei kx ) Einlaufend: a ei ( ωt – kx ) reflektiert: R·a ei ( ωt + kx ) Reflexionskoeffizient: fixiertes Ende: y(0,t) = 0  u = 0  Zab =   R = –1 offenes Ende:  f = 0  Zab = 0  R = +1

61 Beispiel: Eingangsimpedanz der abgeschlossenen Saite
Zab R Saite: Z0 L x = 0 fixiertes Ende: R = –1  Zin = – i Z0 cot ( k L ) (rein reaktiv) Resonanzen: Zin = 0  k L = ( n – ½ ) π  λn = 2L / ( n – ½ ) Antiresonanzen: Zin =   k L = n π  λn = 2L / n offenes Ende: R = +1  Zin = i Z0 tan ( k L ) (rein reaktiv) Resonanzen, Antiresonanzen vertauscht angepasster Abschluss: R = 0  Zin = Z0 = Zab

62 2.1.3. Eigenschwingungen der endlichen Saite
a) fixierte / offene Enden fix - fix offen - offen offen - fix fix - offen nicht ganz harmonisch harmonisch klingt eine Oktave tiefer

63 b) Nachgiebiges (verlustfreies) Ende
x y T θ Zab: horizontale Halterung ( x = L ) u(t) f(t) Z0 Fixierung bei x = 0

64 i) Massenartiger Abschluss
x y u(t) Z0 = μ c m Saitenmasse: M = μ L L Also:

65 ii) Federartiger Abschluss
x y u(t) Z0 L D/2 Also:

66 k2 k1 k0 k3 massenartig:  harmonisch angehobene Frequenz
federartig:  harmonisch abgesenkte Frequenz

67 2.1.3. Dämpfung Luftdämpfung: Interne Dämpfung
ν = Frequenz ρ = Saitendichte r = Saitenradius Luftdämpfung: Interne Dämpfung Energietransfer zur Halterung (Brücke, Resonator) E( ν, T, ...) = komplexer Elestizitätsmodul G = Re( Y ) Y = Admittanz der Stützstruktur der Saite

68 Anregung a) Einmalige Auslenkung bei t = 0 (allgemeines Verfahren): Fourier-Analyse Anfangsauslenkung Modenamplituden  Frequenzspektrum Fourier-Synthese Zeitentwicklung der Modenamplituden freie Saitenschwingung

69 Beispiel: Gezupfte Saite
h β·L Beispiel: Gezupfte Saite β = 1/3 n β = 1/10 n

70 Beispiel: Gezupfte Saite
h β·L Beispiel: Gezupfte Saite β = 1/3 β = 1/10 En ( dB ) –6 dB / Oktave –6 dB / Oktave lg(n) lg(n)

71 Bewegung der gezupften Saite:

72 L V β·L Δ b) Hammer-Anregung: Idealfall: β = 1/3 n β = 1/10 n

73 b) Hammer-Anregung: L β = 1/3 β = 1/10 lg(n) lg(n) Δ V Idealfall: β·L
0 dB / Oktave β = 1/10 0 dB / Oktave En ( dB ) lg(n) lg(n)

74 Anschlagsdynamik eines harten, spitzen Hammers:
v(t) T x xH y Bremszeit: v(t) c T t / τ = 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 Weitere Komplikationen: Hammer-Nachgiebigkeit Hammermaße Reflexionen an Einspannung, Rückwirkung auf Hammer

75 Modenspektrum stets flacher (  reicher, voller ) als beim Zupfen
Anschlag MHammer « MSaite MHammer = 0,4/β · MSaite n = 0,73 MSaite / MHammer Anregung beendet – 6 dB/Oktave Bemerkung: Fehlende Moden bei Vielfachen von , nicht nur von

76 c) Bogen-Anregung: Helmholtz-Bewegung
Periode Teil 1: Saite haftet am Bogen und wird mitgeführt Periode Teil 2: Saite löst sich und schnellt zurück Mehrfachsprünge möglich Streichgeschwindigkeit  Schwingungsamplitude Spektrum ähnlich zum Zupfen ( – 6 dB/Oktave ) Zeit Auslenkung beim Bogen Mittlere Auslenkung Ruheposition der Saite

77 (reine Materialeigenschaft, Saitenspannung nicht relevant)
2.2. Saiten und dünner Stäbe: Longitudinalschwingungen Rückstellkraft bei Dehnung: Molekulare Bindungskräfte  Elastizitätsmodul (reine Materialeigenschaft, Saitenspannung nicht relevant) dx S dw F(t) Hookesches Gesetz: Dichte ρ = μ / S E = Youngsches Modul Wellengleichung: Lösungen, Randbedingungen, ... analog zu transversalen Saitenschwingungen

78 2.3. Biegewellen von Balken und Stäben
gedehnt Querschnitt S u v Dichte ρ Neutrale Faser x z vNF gestaucht Neutrale Faser: z ( x , t ) Ruhelage: z0 ( x , t ) Auslenkung: y ( x , t ) = z ( x , t ) – z0 ( x , t ) Rücktreibende Kraft pro Länge: E = Young-Modul Wellengleichung:

79 Lösung der Wellengleichung:
Einsetzen: Dispersionsrelation: (nichtlinear) Phasengeschwindigkeit: Gruppengeschwindigkeit:

80  zwei Randbedingungen pro Endpunkt, z.B.:
frei: unterstützt / eingehängt: eingeklemmt:

81 beidseitig unterstützt bzw. eingehängt
Eigenmoden und Eigenfrequenzen: ωn in Einheiten von beidseitig unterstützt bzw. eingehängt L einseitig eigeklemmt beidseitig frei Frequenzverhältnisse nicht exakt harmonisch Knotenpositionen nicht äquidistant Klanghöhe sehr stark abhängig von Randbedingungen

82 Rückstellkraft = Spannungskraft + elastische Rückstellkraft
2.4. Transversalschwingung steifer Saiten Rückstellkraft = Spannungskraft + elastische Rückstellkraft eingeklemmte Enden n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 eingehängte Enden n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5

83 Rückstellkraft = Spannungskraft + elastische Rückstellkraft
2.4. Transversalschwingung steifer Saiten Rückstellkraft = Spannungskraft + elastische Rückstellkraft eingeklemmte / eingehängte Enden B = 0 B = 0,005 B = 0,01

84 massen-belastete Saite
Beeinflussung der Dispersionsrelation: steife Saite k ω ideale Saite Grenz-Frequenz massen-belastete Saite (z.B. Ummantelung)

85 Young-Modul E  Torsionsmodul G
2.5. Torsionsschwingungen von Saiten und Stäben Young-Modul E  Torsionsmodul G homogenes, isotropes Material: ( ν = Poisson-Zahl ) Dispersionsrelation linear: Saiten: • cT typisch mal so groß wie c • starke innere Dämpfung Abhängigkeit von cT von Querschnittsform:

86 3. Membranen, Platten und Schalen
Analogien: 1-D-System 2-D-System ideale Saite ideale Membran steife Saite steife Membran Stab Platte gekrümmter Stab Schale, Glocke Knotenpunkt Knotenlinie

87 3.1. Membranen x y z Einspannung Massendichte: Spannung: T ds = Spannkraft senkrecht zu Rand jedes Flächenelements = (konstante) Oberflächenspannung der Membran Kleine Auslenkung (  lineare Näherung ): 2-D-Wellengleichung: Koordinatenwahl  Form der Einspannung (Transversalschwingung) Rechteckmembran Kreismembran

88 Membran widersteht keiner Kraft mit Angriffspunkt
Statische Auslenkung: θ T ds F = 0 für Angriffspunkt Membran widersteht keiner Kraft mit Angriffspunkt Saite Membran

89 Schwingungsmoden von Rechteckmembranen:
x y z Lx Ly m = 1 n = 1 m = 2 n = 1 m = 1 n = 2 m = 2 n = 2 Quadratische Membran Lx = Ly Entartung ωmn = ωnm Modenüberlagerung möglich m = 3 n = 1 m = 3 n = 2

90 Schwingungsmoden von Kreismembranen:
x y z 2R m = 0 n = 1 m = 1 n = 1 ξmn = n-te Nullstelle der Besselfunktion Jm m = 2 n = 1 m = 3 n = 1 m = 0 n = 2 m = 3 n = 2

91 Frequenzfolge bei idealen Kreismembranen:

92 3.2. Dünne isotrope Platten
x y z frei / einfach unterstützt / eingespannt h Massendichte: a) Longitudinale Wellen: nicht-dispersiv; keine signifikante Schallabstrahlung „Unendliches“ Medium (rel. zu λ) „Dünne“ (rel. zu λ) Balken / Platten

93 y z x frei / einfach unterstützt / eingespannt Massendichte: h
b) Transversale Wellen: nicht-dispersiv; keine signifikante Schallabstrahlung (zweidimensionales Analogon zu Torsionsschwingungen von Stäben) „Unendliches“ Medium oder „unedlich große“, „flache“ Platten (rel. zu λ)

94 Dispersionsrelation: (nichtlinear) Phasengeschwindigkeit:
x y z frei / einfach unterstützt / eingespannt h Massendichte: c) Biege/Verformungs-Wellen: dispersiv; signifikante Schallabstrahlung (zweidimensionale Verallgemeinerung der Balken-Biegeschwingung) Wellengleichung: Dispersionsrelation: (nichtlinear) Phasengeschwindigkeit: Gruppengeschwindigkeit:

95 Beispiel: Die dünne Kreisplatte
z h R Beispiel: Die dünne Kreisplatte Hyperbolische Besselfunktionen: Im(k r) = i – m Jm(k r) eingespannt einfach unterstützt frei

96 Asymptotisches Spektrum:
z h R Asymptotisches Spektrum: Lord Rayleigh (1894): Frequenzzunahme durch Zufügen eines Kotenrings ist ungefähr identisch mit der durch Zufügen zweier Knotendiagonalen (Chladnis Gesetz) Empirischer Ansatz für Kreisplatten, -schalen, -glocken:

97 Beispiel: Die dünne Rechteckplatte
z h Lx Ly Beispiel: Die dünne Rechteckplatte ( i.a. schwieriges Problem ) (x,y) – Kopplung Einfache Unterstützung: Knotenlinien (m,n) wie Membran Andere Randbedingungen: Gekrümmte Knotenlinien durch Mischung der (m,n) und (n,m) Membranmoden für |m – n| = 2,4,6,... Freie Platte:

98 Messung an freier Aluminiumplatte
(x,y) – Kopplung bei Lx  Ly: Ringmode Modenaustausch Diagonal-Mode (X-Mode) Lx = const. Lx / Ly

99 Fundamentalmoden quadratischer Platten:
frei ( ν = 0,3 ) einfach unterstützt eingespannt ( 1 , 1 ) ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 )

100 Moden quadratischer Platten:
frei ( ν = 0,3 ) eingespannt

101 Modenspektren quadratischer Platten:
eingespannt einfach unterstützt frei ( ν = 0,3 )

102 (orthotrop, 9 elastische Parameter)
3.3. Dünne Holzplatten Deckelplatten von Geigen: Fasern entlang Plattenlänge Jahresringe senkrecht zur Platte  Länge / Breite  3 / 1 Fichtenholz (orthotrop, 9 elastische Parameter) Qualitative Eigenschaften ähnlich, ... aber E  Ex , Ey ν2  νxy νyx

103 Dritte wichtige Mode: (1,1) - Verwindungsmode
Beispiel: Freie Viola-Deckel (2,0) – (0,2) X-Mode (2,0) + (0,2) Ring-Mode Rücken Front Dritte wichtige Mode: (1,1) - Verwindungsmode Rücken Front

104 3.4. Schalen Schalendimension: a Schalendicke: h Schalenwölbung: H
Sehr komplexes Problem, aber hochrelevant: Geigen-Frontplatte / gesamter Resonanzkörper Kugelschalensegmente (Becken,...) Zylinderschalen (Zylinderglocken,...) Kirchenglocken Modenklassifizierung (Love, Rayleigh): Dehnungsmoden: Längenänderungen in erster Ordnung Linienmasse  h Federkonstante  h Biegungsmoden: Keine Längenänderungen in erster Ordnung Schalenmasse  h Federkonstante  h3 ω(h) = const. ω(h)  h2 Empirische Modenparametrisierung:

105 Beispiel: Flache sphärische Schale
Niedrigste Mode: k a = μ (abhängig von Einspannung) Spezialfall der flachen Platte ( H = 0 ): k a = μ0 Sehr starke Frequenzzunahme (d.h. Steifigkeitszunahme) mit H  gewölbter Geigendeckel benötigt keine innere Verstrebung flacher Gitarrendeckel erfordert starke innere Verstrebung

106 Schallwellen = longitudinale Druckwellen
4. Schall in Luft 4.1. Schallwellen Gesamtluftdruck: pL Akustischer Druck: Elastischer Scherungswiderstand Reibungswiderstand Eleastischer Kompressionswiderstand Schallwellen = longitudinale Druckwellen Wellengleichung: Schallgeschwindigkeit c: Kompressionsmodul K: Dichte ρ:

107 4.1.1. Schallgeschwindigkeit
Luft ist ideales Gas  pLV = N k T Luft  zweiatomig  1. Hauptsatz   Isothermer Fall ( T = const. ): Adiabatischer Fall ( δQ = 0 ): Für Musikinstrumente nur in Extremfällen interessant

108 c2 proportional zur (absoluten) Temperatur c unabhängig vom Luftdruck
Wellengleichung: c2 proportional zur (absoluten) Temperatur c unabhängig vom Luftdruck mL und somit c abhängig von Luftfeuchtigkeit Taylorentwicklung um 0°C bei 50% relativer Luftfeuchtigkeit:

109 4.1.2. Strömungsfeld Wellengleichung: Bewegungsgleichung:
Strömungsgeschwindigkeitsdichte-Feld Wellengleichung: Bewegungsgleichung: p  Potential  Spannung u  Geschwindigkeit  Strom Lösung (Superposition ebener Wellen): Folge: (spezifische akustische) Impedanz Ohmsches Gesetz

110 4.1.3. Kugelwellen Wellengleichung: Bewegungsgleichung:
Sphärisch symmetrische Quelle  Wellengleichung: Bewegungsgleichung: Lösung (Kugelwelle): auslaufend einlaufend Akustische Impedanz:

111 Empfindlichkeit des Ohrs: Kurven konstanter Lautstärke (in Phon)
Druckpegel, Lautstärke, Intensität Druckpegel: Druckpegel (dB) Frequenz (Hz) Schmerzgrenze: 120 Phon Empfindlichkeit des Ohrs: Kurven konstanter Lautstärke (in Phon) Hörschwelle: 0 Phon

112 dA Intensität an einer Fläche: Komplexe Schreibweise:
Intensitätspegel: Ebene Wellen: LI  LP

113 Ebene Welle: Kugelwelle:

114 α β α' 4.1.5. Reflexion, Brechung, Beugung
Randstrukturen  Gesetze der geometrischen Optik z1 = c1 ρ1 z2 = c2 ρ2 Ebene Wellen gegen ebene Grenzfläche α α' β Reflexionsgesetz: α = α' Brechungsgesetz: Reflexionskoeffizient Transmissionskoeffizient Amplitude: Intensität:

115 Randstrukturen  Beugung an Rändern
Frequenz Wellenlänge 20 Hz 17 m 1 kHz 34 cm 15 kHz 2,3 cm

116 4.1.6. Dämpfung Ursachen: Viskosität thermische Verluste
Molekularer Energieaustausch z.B. Wände von Musikinstrumenten Beispiel: Dämpfung in Luft (relative Luftfeuchtigkeit > 50%)  α( 10 kHz )  0,1 dB / m  relevant für große Konzertsäle

117 Starre Wand Impedanz: zW
Hohlraummoden Starre Wand Impedanz: zW An der Wand: Randbedingung: Spezialfall der festen Wand:

118 Beispiel: Quaderförmiges Auditorium mit festen Wänden
c b a : b : c = 1 : 1 : 1 a : b : c = 1 : 2 : 3 Design von Konzertsälen: Gleichmäßige Modendichte bei niedrigen Frequenzen Schlechtes Design Besseres Design

119 4.2. Schallausstrahlung Kugelstrahler: Wichtiges Modellsystem
Multipol-Quellen: Konfiguration von Punktquellen, Abstände klein gegen Wellenlänge Überlagerte Punktquellen: Beliebig ausgedehnte Konfigurationen von Punktquellen Ebene Quellen: Quellfläche in unendlicher Schallwand Unabgeschirmte Quellfläche Unendlich große Platten

120 Gutes Modellsystem für pulsierende Hohlkörper jeder Form!
Kugelstrahler Gutes Modellsystem für pulsierende Hohlkörper jeder Form! Definition: Quellstärke a Abgestrahlte Kugelwelle: Intensität:

121 (  möglichst große Abstrahlfläche günstig )
Gesamtstrahlungsleistung k a P / Fläche v(a) = const Sättigung Musikinstrumente (  möglichst große Abstrahlfläche günstig ) Punktquelle

122 Mechanische Last an schwingender Oberfläche:
X = Im ( Zm ): Reaktivität der mitschwingenden Luft R = Re ( Zm ): Dissipation durch Abstrahlung

123 4.2.2. Multipol-Quellen Quellstärke a Abgestrahlte Kugelwelle:
Monopol Quellstärke Multipol-Quellen Abgestrahlte Kugelwelle: Amplitude unabhängig von Quellgröße a  ,,Punktquelle“

124 Multipolkonfigurationen:
Punktquelle: Multipolkonfigurationen: Monopol: +Q Dipol: +Q -Q δz Quadrupol: δz +Q -Q +Q -Q δz δx zunehmend komplexere Winkelverteilung zunehmend ineffizient bei niedrigen Frequenzen

125 4.2.3. Überlagerte Punktquellen
Strahlung zweier Punktquellen bei : + Q - Q Gesamtstrahlungsleistung durch Kugelfäche mit : Komplexes Interferenzmuster P unabhängig von r

126 Strahlung zweier Punktquellen
Monopol 2Q Kohärente Überlagerung Monopol Inkohärente Überlagerung Dipol Q·d

127 Strahlung von 2N Punktquellen bei :
θ + p+ d + – p– θ

128 θ + p+ d

129 Lokale Strömungen zwischen +Q und -Q
– p– θ d d < λ / 2 völlig ineffizient! Lokale Strömungen zwischen +Q und -Q

130 4.2.4. Linienquellen (  schwingende Saite)
Fundamentalmode: Näherung  starrer dünner Zylinder mit L   φ 2a L  I, P  a4 ω3 sehr ineffizient !

131 zusätzlich Auslöschungseffekt (Kette alternierender Punktquellen)
Höhere Moden: Transversalwelle auf Saite Schallwelle +Q -Q d zusätzlich Auslöschungseffekt (Kette alternierender Punktquellen) Noch viel ineffizienter !

132 4.2.5. Ebene Quelle mit Schallwand
,,Unendliche“ Schallwand (Abschirmung vom Rückraum) Starrer ,,Kolben“ oder elastische Membran Abstrahlung zum Auditorium Effekt der Schallwand: Effiziente Abstrahlung auch bei niedrigen Frequenzen

133 Kesselpauke (Timpani)
Praktische Realisierung: (Teil-)Separation des rückwärtigen Luftraums Piano Cello Konzertgitarre Kesselpauke (Timpani) Becken Glocke Systeme ohne Schallwand: Niedrige Effizienz bei niedrigen Frequenzen Starke Anregung bei niedrigen Frequenzen ermöglicht ausgeglichenes Klangspektrum Wenig Abstrahlung  sehr langes Nachklingen

134 dS Mathematische Behandlung: Fresnel-Kirchhoffsches Beugungsintegral
Elementare Kugelwellen dS Volumenfluss (Quellstärke) Raumwinkel der Abstrahlung Relevanter Spezialfall: Fraunhofer-Beugung: r >> Quellgröße

135 Hauptabstrahlungskegel
Beispiel: Starre Kreisplatte mit Radius a (Fraunhofer-Beugung) Optisches Analogon: Fraunhofer-Beugung an Lochblende Hauptabstrahlungskegel Nebenkeule bei –18 dB  Insignifikant !

136 Akustischer Widerstand der Luft
Starre Kreisquelle in Schallwand Pulsierende Kugel X = Im ( Zm ): Reaktivität der mitschwingenden Luft R = Re ( Zm ): Dissipation durch Abstrahlung

137 Strahlung einer Kreismembran in einer Schallwand
m = 0 n = 1 Fundamentalmode Qualitativ wie starre Kreisplatte Effizienter Strahler Quantitativ unterschiedlich: u( r' )  J0( k r' ) m = 0 n = 2 m = 0 Moden: Verbleibende Netto-Monopolkomponente Schwache Strahler m = 1 n = 1 m = 2 n = 1 m = 3 n = 1 m = 3 n = 2 m > 0 Moden: Keine Monopolkomponente Völlig ineffiziente Strahler

138 4.2.6. Unabgeschirmte ebene Quellen
Unendliche Schallwand Hohe Frequenz ( ka > 4 ): fast ungeändertes Verhalten Umschlossener Rückraum Niedrige Frequenz ( ka < 4 ): Abstrahlraumwinkel 2π  4π  ½ Strahlungswiderstand  ½ Gesamtstrahlungsleistung ( 3 dB ) ¼ Intensität ( 6 dB ) Kompensation: Bassreflexwand, Fussboden, ... offene Platte Dipolquelle bei kleinen Frequenzen Starre Platte:

139 4.2.7. Strahlung von (unendlich) großen Platten
Einfachstes Beispiel: Ebene Biegewelle der Platte Luft ( Dichte ρ ) Schallgeschwindigkeit: Platte ( Dicke h, Dichte ρP ) Abstrahlungsbedingung: λ  λP(ω) bzw. k  kP(ω) bzw. c  vP(ω) Phasengeschwindigkeit:

140 Strahlungsmuster der Überschallbiegewelle ( vP  c )
(Analogon: Machscher Kegel) Abschneide- bzw. Koinzidenzfrequenz:

141 4.3. Schallwellenleiter ( Pfeifen, Flöten, Hörner)
Französ. Horn Orgel Klarinette Blockflöte Saxophon Flügelhorn Oboe Querflöte

142 4.3.1. Unendliche Zylinderrohre
2a z r φ Ruhende oder gleichmäßig strömende Luft Unendliche Zylinderrohre Perfekt steife Wand: analog zur Kreismembran kr = kmn quantisiert kz unbeschränkt (keine z-Randbedingung)

143 Charakteristische Impedanz
Wichtiger Spezialfall m = n = 0: q00 = 0, J0(0) = 1  Ebene Welle: Volumenfluss: Bemerkung: In allen anderen Moden ist U = 0 (Wellen-)Impedanz Charakteristische Impedanz Definition:

144 kmn = 0 Kritische Frequenz: ω > ωc: kmn , z reell  ungedämpfte Ausbreitung ω < ωc: kmn , z imaginär  gedämpfte Ausbreitung ( keine Wellenleitung ) q00 = 0  ebene (0,0)-Mode wird bei allen Frequenzen geleitet !

145 Single-Mode-Leitung:
5,32 5,33 3,83 Single-Mode-Leitung: J0 J1 J2 J3 J4 1,84 3,05 4,20 ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) ( 1 , 0 ) ( 0 , 0 ) ( 1 , 0 ) ( 2 , 0 ) • ( 0 , 1 ) • ( 3 , 0 ) + ( 1 , 1 ) ( 2 , 0 ) etc. Single-Mode-Leitung Ebene Welle

146 Querschnitt Flussmuster im Längsschnitt ω > ωc ω < ωc
Ebene Fundamental-Mode Querschnitt Flussmuster im Längsschnitt ω > ωc ω < ωc

147 Thermische Leitfähigkeit κ
Wandverluste in unendlichen Zylinderrohren Verluste in dünnen Randschichten an der Wand: a) Reibungsverluste b) Thermische Verluste a δV Viskosität η a δT Thermische Leitfähigkeit κ Zusammenhang:

148 ... und: k reell  k komplex:
Konsequenz: Z0 reell  Z0 komplex ... Einfluss auf Z0 wichtig für rV  10 und: k reell  k komplex: α / f [ m-1 Hz -1 ] v / c α  λ-1 für rV  10 Phasengeschwindigkeit sinkt für rV  10

149 Größenordnungen bei Zimmertemperatur ( 20 °C ):
1 10 100 1000 Frequenz [ Hz ] a = 0,1 mm a = 1 mm a = 1 cm a = 10 cm 1 10 100 1000 Frequenz [ Hz ] a = 0,1 mm a = 1 mm a = 1 cm a = 10 cm Kritischer Bereich

150 4.3.3. Endliche Zylinderrohre
ZL R Saite: Z0 L ( Abschnitt ) Reflexionskoeffizient: Eingangsimpedanz:

151 p00 U p00 U Ideal abgeschlossener Rohr: ZL = 
Ideal offenes Rohr: ZL = 0 Ideal offener Eingang: p00 U p00 U

152 Realistische offene Rohre: endlicher Außendruck, ZL  0
Schallwand Abschluss durch Schallwand (vgl ) RL , XL [ Z0 = ρc/S ] Musikinstrumente (Fundamentalmoden) Schallwand wirkt wie ein kurzer ideal offener Zylinder 

153 Realistische offene Rohre: endlicher Außendruck, ZL  0
Offener Abschluss L Musikinstrumente (Fundamentalmoden) Außenluft wirkt wie ein kurzer ideal offener Zylinder 

154 4.3.4. Impedanzkurven realistischer Zylinderrohre
Typische Situation: rV > 10 Charakteristische Impedanz  Z0 (ungeändert) Kleine Dämpfung α: Ideal abgeschlossener Rohr: ZL =  Ideal offenes Rohr: ZL = 0

155 Ideal offenes Rohr: ZL = 0
L = 1 m a = 1 cm (Anti-)Resonanzstruktur durch Wanddämpfung! L = 1 m a = 5 cm Auswaschung durch Strahlungsdämpfung! (Anti-)Resonanzen nicht ganz harmonisch (gestreckt)

156 4.3.5. Abstrahlcharakteristik offener Zylinderrohre
Richtungs-Index

157 Hornfläche = Koordinatenfläche
Schallwellen in Hörnern Französ. Horn Vereinfachung: gerade, unendlich lang Wellengleichung für Frequenz ω: Randbedingung für ideal steifes Horn: Separierbarkeit/Single-Mode-Leitung: Spezielle Koordinaten Hornfläche = Koordinatenfläche  konfokale quadratische Oberflächen (11 Varianten)

158 Beispiele: Single-Mode ebene Wellen Single-Mode Kugelwellen
Kreis/Ellipsen/Rechteck-Zylinderrohre Single-Mode ebene Wellen Konische Hörner Single-Mode Kugelwellen Hyperbolische Hörner Single-Mode Welle oblat spheroidal  zylindrisch   konisch  eben   sphärisch Glatter Zylinder-Übergang

159 Analytische Näherung:
Wellenfront x S • a(x) Wellenfront: p  const. x0(x) Lokaler Konus: x0 , θ Sphärische Näherung: x0 , θ nur schwach x-abhängig  S annähernd sphärisch Webster-Gleichung: Für kleine θ: Sphärische Näherung Ebene Näherung

160 Konstante Intensität I  p2 S  Ansatz:
Wellenfront x S • a(x) x0(x) Konstante Intensität I  p2 S  Ansatz: F(x) = Potentialbarriere = Hornfunktion RT RL Leitung oberhalb Abschneide-Frequenz:

161 4.3.7. Salmon-Hörner (  konstanter Abschneidefrequenz ) S x a(x)
Wellenfront x S • a(x) x0(x) Lösung: m = Hornkonstante Wellenleitung  k2 > m2 Hörner = kontinuierliche Impedanzwandler  effiziente Abstrahlung oberhalb ωC Wichtige Spezialfälle: T = 1: Exponentialhorn T = 1: Katenoidalhorn ( glatter Zylinderanschluss ) Konisches Horn mit Apex in x0 ( F = 0  kein Frequenzabschnitt )

162 4.3.8. Endliche konische Hörner
L = 1 m a1 = 0,5 cm a2 = 5 cm Zin / Z1 S2 S1 L L = 1 m a = 5 cm Zin / Z0 L S

163 Abhängigkeit der Resonanzfrequenzen vom Öffnungsverhältnis
( Vereinfachte Darstellung für ZL = 0 ) a1 / a2 ω1 ω2 ω3 ω4 Beidseitig offene Hörner ( Flöten, Orgel-Rohrpfeifen ) Einseitig geschlossene Hörner ( Rohrblatt- / Lippen- getriebene Blasinstrumente )

164 4.3.9. Besselhörner γ = 0: Zylinderrohr
γ = -1: konisches Horn mit Apex bei x = 0 γ > 0: stark divergente Mündung bei x = 0 ( realistische Beschreibung moderner Blasinstrumente )

165 Besselhörner: Analytische Lösung für γ > 0 (ebene-Wellen-Näherung):
Neumann-Funktion Bessel-Funktion Ideal offenes unendliches Besselhorn:

166 Besselhornfunktion bei offener Mündung:
F    Horn strahlt nicht ab ! Totalreflexion bei F(x)  k2 Ebene-Welle-Näherung Freie Abstrahlung für k2 > Fmax Tunneleffekt Teilabstrahlung für k2 < Fmax Kugelwellen-Näherung

167 Netzwerkanalyse Allgemeiner Wellenleiter  ( passiver ) elektrischer Vierpol x1 x2 S1 S2 Impedanzmatrix:

168 Beispiel: Beidseitig offenes konisches Horn
x x2 x1 Beobachtung: Z12 = Z  gilt auch allgemein Reziprozitäts-Theorem: Für beliebige (passive) Hörner gilt

169 Behandlung zusammengesetzter Hörner:
Transportmatrix: Bemerkung: Behandlung zusammengesetzter Hörner: Z(1), A(1) Z(2), A(2) U1 U2 U3 p1 p2 p3 Verkettungsregel:

170 Beispiel: Ideal offenes konisches Rohr mit Zylinder-Eingang
fmax von Zin (Trompetenmaße) Harmonisches Spektrum bei L1  L2

171 Beispiel: Horn mit Abschlussimpedanz ZL
Eingangsimpedanz:

172 Beispiel: Ideal abgeschlossenes konisches Horn
x x2 x1 Quasistatischer Grenzfall: Hohlraumform in diesem Grenzfall irrelevant  = akustische Impedanz eines Hohlraums = akustische Nachgiebigkeit  elektrische Kapazität

173 Beispiel: Ideal offenes konisches Horn
x x2 x1 Quasistatischer Grenzfall: Spezialfall offenes Zylinderrohr: S1 = S2 = S  Allgemein: = akustische Impedanz eines ideal offenen Horns = akustische Trägheit  elektrische Induktivität

174 Helmholtz-Resonator getrieben durch äußeres Schallfeld pext
Quasistatische Netzwerke: Beispiel 1 L S V Zcav Zpipe Zrad pext U Helmholtz-Resonator getrieben durch äußeres Schallfeld pext ~ Zcav Zpipe Zrad pext U pext  Wechselspannungsquelle Zrad  komplexer Widerstand Zpipe  Induktivität Zcav  Kapazität

175 Helmholtz-Resonator intern getrieben durch vibrierende Wand
Quasistatische Netzwerke: Beispiel 2 L S V Zcav Zpipe Zrad U U0 Helmholtz-Resonator intern getrieben durch vibrierende Wand Zcav Zpipe Zrad U0 U U0  Wechselstromquelle Zrad  komplexer Widerstand Zpipe  Induktivität Zcav  Kapazität