Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

1. Elektromagnetische Wellen 1.1. Schwingkreise 1.1.1. Freie Schwingung Maschenregel R C L I Q D γ m x Mechanisches Analogon: Übersetzung: Mechanik Elektrodynamik.

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "1. Elektromagnetische Wellen 1.1. Schwingkreise 1.1.1. Freie Schwingung Maschenregel R C L I Q D γ m x Mechanisches Analogon: Übersetzung: Mechanik Elektrodynamik."—  Präsentation transkript:

1 1. Elektromagnetische Wellen 1.1. Schwingkreise Freie Schwingung Maschenregel R C L I Q D γ m x Mechanisches Analogon: Übersetzung: Mechanik Elektrodynamik x Q m L R D C 1 Elektrodynamik

2 R C L I Q Lösung übersetzt aus Mechanik: Schwingfall: Aperiodischer Grenzfall:Kriechfall:

3 Erzwungene Schwingung ( Übersetzung aus Mechanik) Serienschwingkreis: U(t) R C L Q I Resonanzfrequenz: Z R minimal Bandbreite: D γ m x F(t)

4 Parallelschwingkreis: Bandbreite: m xmxm D F(t) γ x U(t) QCQC I R C L ILIL Kleine Dämpfung Resonanzfrequenz: maximal

5 Gekoppelte Schwingkreise ( gekoppelte mechanische Schwinger ) Induktive Kopplung: R1R1 C1C1 L1L1 I1I1 Q1Q1 R2R2 C2C2 L2L2 I2I2 Q2Q2 L 12 Lösungsweg: Transformation auf Normalkoordinaten Beispiel: L 1 L 2 L C 1 C 2 C R 1 R 2 R Normalkoordinaten: Eigenfrequenzen: Normalmoden ( Schwingfall ):

6 Analoges Verfahren R1R1 C1C1 L1L1 R2R2 C2C2 L2L2 CkCk Kapazitive Kopplung: Galvanische Kopplung: R1R1 C1C1 L1L1 R2R2 C2C2 L2L2 RkRk

7 Lade- Widerstand Puffer- Kondensator npn-Transistor als elektronischer Schalter Schwingkreis Erzeugung ungedämpfter Schwingungen Beispiel: Meißner-Schaltung LC R1R1 C1C1 LC R1R1 C1C1 sperrt Schwingphase 1 autarker Schwingkreis

8 Lade- Widerstand Puffer- Kondensator npn-Transistor als elektronischer Schalter Schwingkreis LC R1R1 C1C1 LC R1R1 C1C1 leitet Schwingphase 2 Nachladung Beispiel: Meißner-Schaltung Erzeugung ungedämpfter Schwingungen

9 1.2. Elektromagnetische Wellen auf Leitern Die Telegraphengleichung viele gekoppelte Schwinger Kontinuumsübergang Wellen Beispiele:, Leitermantel x I ( x, t )I ( x, t ) I ( x, t )I ( x, t ) Doppelleitung ( Flachbandkabel, Twisted Pair ) Koaxialkabel ( Koax-Kabel ) Voraussetzung: d c T bzw. c d d. h. lokal gelten weiterhin die Gesetze der Quasistatik! dx Ersatzschaltbild: x dR dL dC d d Beispiel: d mm 30 GHz

10 dC Maschenregel: für dx Also: Am Ort x zur Zeit t: dx x dR dL dC x dR dL

11 Knotenregel: Also: Am Ort x zur Zeit t: dx x dR dL dC x dR dL

12 Folgerung: Telegraphengleichung Wellengleichung mit Dämpfung

13 Wellengleichung Spezialfall: ideale Leiter Phasengeschwindigkeit Lösung: ( Tafelrechnung, Handout ) Dispersionsrelation Wellenwiderstand (Impedanz) A k -Amplitude zu harmonischem Anteil (k), Laufrichtung x B k -Amplitude zu harmonischem Anteil (k), Laufrichtung x

14 Flachbandkabel d r 2 r2 r Koaxialkabel 2 a2 a 2 b2 b Vakuum-WellenwiderstandVakuum-LichtgeschwindigkeitBrechungsindex Signalkabel

15 Bemerkung:Die Phasengeschwindigkeit hängt nicht von k ab. Alle harmonischen Komponenten laufen gleich schnell im Kabel. Pulsformen bleiben erhalten. Es gibt keine Dispersion. Phasengeschwindigkeit: Bemerkung: Reales Kabel,. Die harmonischen Komponenten werden k-abhängig absorbiert. Pulsformen bleiben nicht erhalten; Pulse zerfließen. Es gibt Dispersion.

16 Behandlung von Übergängen zwischen Kabeln (exemplarisch): 0 x Puls Harmonische Komponenten für x 0: einlaufend: reflektiert: Reflexionskoeffizient Harmonische Komponenten für x 0: transmittiert: Transmissionskoeffizient

17 Stetigkeit von U und I bei x 0 (Grund: am Übergang endlich) offenes Ende: kurzgeschlossenes Ende: perfekte Anpassung: aber I x x 0:

18 1.3. Elektromagnetische Wellen im Vakuum Hertzscher Dipol Übergang: offener Schwingkreis erfüllen den ganzen Raum Quasistatik versagt Eigendynamik der Felder wird wichtig Abstrahlung elektromagnetischer Wellen

19 Antenne (Sender / Empfänger) Dämpfung: 1)Ohmscher Widerstand der Antenne 2)Abstrahlung elektro- magnetischer Wellen Sender mit induktiver Energieeinspeisung: Ungedämpfter Oszillator 0 Energie L 12 L 0 Resonanzfrequenz ?

20 Wechselstromleitung in Antenne (Dämpfung vernachlässigt): Telegraphengleichung & Randbedingungen Tafelrechnung mit m z 0 ZWZW L Kontinuitätsgleichung Tafelrechnung Linienladungsdichte Tafelrechnung schwingender Dipol Hertzscher Dipol

21 Anschauliches mikroskopisches Modell: feste Ionenrümpfe (Gesamtladung Q) frei bewegliche Elektronen (Gesamtladung Q) L Dipolnäherung Bewegung der Ladungsschwerpunkte d0d0 d 0 ist sehr viel kleiner als L

22 Abstrahlung elektromagn. Wellen vom Hertzschen Dipol ( Theorie VL) wechselseitige Anregung Dynamik des Stromflusses (Quasistatik) Nahfelder: E- und B-Feld 90 phasenverschoben Eigendynamik der Felder Fernfelder: E- und B-Feld phasengleich dominant für r » d 0

23 Zeitentwicklung des E-Feldes

24

25 E- und B-Fernfelder

26 Qualitative Eigenschaften der Fernfelder: z 0 -Feld konzentrisch um Dipolachse (max. in Äquatorialebene) mittlere Energiestromdichte mittlere abgestrahlte Leistung Abstrahlcharakteristik (max. in Äquatorialebene) z Abstrahlung 4 senkrecht zur Dipolachse

27 Strahlung in großem Abstand von der Sendeantenne, r » d : Krümmung der Phasenflächen zu vernachlässigen Ebene Wellen, Polarisation Strahlung senkrecht zur Antenne (x-Richtung): z x y

28 Abstrahlung einer beschleunigten Ladung Interpretation q Momentaufnahme eines Hertzschen Dipols q Antenne Ladungsschwerpunkt der freien Ladungsträger Beschleunigte Ladungen strahlen (in ihrem Ruhesystem) e.m.-Wellen aus (Dipolstrahlung mit Beschleunigungsrichtung als Dipolachse) q v 0 q v c q v c

29 Anwendung: Röntgenstrahlung e Vakuumröhre Glühkathode Anode Röntgenstrahlen (X-Rays) zur Patientin Kern im Anodenmaterial p p n n n n n p p p p p n n n p p n p n n p e,,Bremsstrahlung Anwendung: Synchrotronstrahlung ( Beispiel: BESSY II ) Elektronen-Synchrotron Radius typisch 100 m e Synchrotronstrahlung Strahlung ist… intensiv & eng gebündelt kurz gepulst breitbandig (bis X-Rays) polarisiert

30 Beispiel: Himmelsblau Streuung von Sonnenlicht an N- und O-Atomen der Atmosphäre Elektronenhülle eines Atoms Schwingung des Ladungsschwerpunkts Hertzscher Dipol Strahlungsintensität des Hertzschen Dipols Blau wird viel stärker gestreut als Rot blauer Himmel Streuung azimutal symmetrisch Keine Streuung entlang der Dipolachse keine Streuung entlang des E-Vektors des einfallenden Strahls Polfilter-Anwendung in Fotografie: Abdunklung vom Himmelsblau, dramatische Stimmung Veränderung des Farbkontrasts von Sonne weiß unpolarisiert rötlich unpolarisiert bläulich voll polarisiert

31 Das elektromagnetische Spektrum Charakterisierung: Frequenz Wellenlänge Photonenergie (Photon: Feldquant des e.m.-Feldes) Plancksches Wirkungsquantum h Js 400 nm 700 nm Violett Rot Ultralangwelle: 1 Hz km Ultralangwelle: 1 Hz km kosmische Gammastrahlung: E eV 100 TeV m kosmische Gammastrahlung: E eV 100 TeV m

32 1.4. Analogie: Mechanische Systeme Erinnerung: Wellengleichungen N 3: abstrakte Räume in Feldtheorie... (x 1,x 2,,x N,t) N: Dimension eines elastischen kontinuierlichen Mediums N 2: Membran, Platte, Glocke,... (x,y,t) N 3: Festkörper, Flüssigkeitsvol., Gasvol.,... (x,y,z,t) x,t N 1: Stab, Saite,... x x,t Longitudinalwelle Transversalwelle Linearer Elastizitätsbereich (Hookesches Gesetz) Wellengleichung (isotropes Medium) c Phasengeschwindigkeit

33 Herleitung der Wellengleichung aus dem Hamiltonschen Prinzip: k j :mikroskopische Federkonstanten für den Auslenkungstyp Isotrope elastische Materialkonst. z.B.Elastizitätsmodul, Torsionsmodul, Kompressionsmodul k1k1 k2k2 Auslenkung dm Massendichte: Kin. Energie: Pot. Energie:

34 Definition: Lagrange-Funktion: mit mit Lagrangedichte: kontinuierliche dynamische Variablen gleichberechtigte Parameter k1k1 k2k2 Auslenkung dm Massendichte:

35 Wirkung: Hamiltonsches Prinzip: Euler-Lagrange-Gleichungen: Wellengleichung Unser Beispiel:

36 Wellengleichung im isotropen Medium Allgemeine Lösung (vgl. Physik I): mit Dispersionsrelation Spezielle Lösungsklassen: harmonische Wellen: Kugelwellen: N 3 N 2

37 Schwingende Saite Kleine Auslenkung Auslenkung L L L V = S L Vergleich mit liefert: z 0L SS Ruhelage (z,t) Spannung S (Kraft auf die Einspannung) Saite: Masse m, Länge L ideal flexibel (keine Steifigkeit) Phasengeschwindigkeit Actio Reactio S Kraft zwischen benachbarten Saitensegmenten

38 Lösung der Wellengl.: Zerlegung in Superposition ebener Wellen Randbedingungen: Allgemeine Lösung: mit Eigenschwingungen z 0L SS Ruhelage (z,t) Spannung S (Kraft auf die Einspannung) Saite: Masse m, Länge L ideal flexibel (keine Steifigkeit)

39 Eigenschwingungen: Allgemeine Lösung: mit Grundfrequenz Eigenschwingungen n 1 Grundschwingung n 2 1. Oberschwingung n 3 2. Oberschwingung 1 Bauch 0 Knoten 2 Bäuche 1 Knoten 3 Bäuche 2 Knoten

40 Anwendung: Saiteninstrumente a)Zupf-Anregung (Gitarre, Cembalo, Harfe, ) Anfangszustand: Fourier- Entwicklung A n,,Frequenzspektrum Anschauliche Fourierentwicklung für Zupfen bei L : groß klein Kein reiches Frequenzspektrum ungünstiger Zupfpunkt

41 Asymmetrisch gezupfte Saite: β = 1/3 n β = 1/10 n L h β·L

42 Bewegung der gezupften Saite:

43 Periode Teil 1: Saite haftet am Bogen und wird mitgeführt Periode Teil 2: Saite löst sich und schnellt zurück Ruheposition der Saite Mittlere Auslenkung Zeit Auslenkung beim Bogen Streichgeschwindigkeit Schwingungsamplitude Spektrum ähnlich zum Zupfen b)Streich-Anregung (Geige, Cello, ) Helmholtz-Bewegung

44 β = 1/3 n β = 1/10 n Idealfall: L V β·L Δ c)Hammer-Anregung (Klavier, ): Flacheres (d.h. reicheres) Frequenzspektrum als beim Zupfen

45 Cello Konzertgitarre Problem für Musikerzeugung mit Saiten: Saiten sind schwache Schallstrahler langer, aber sehr leiser Klang Ausweg: mechanische Kopplung ( z.B. Steg ) an andere Schwinger (Platten, Lufthohlräume Helmoltz-Resonator, die effektiv Energie abstrahlen

46 Schwingende Membran Kleine Auslenkung Auslenkung A A A V = S A Vergleich mit liefert: Membran: Masse m, Fläche A ideal flexibel (keine Steifigkeit) Phasengeschwindigkeit Spannung: S S ds Spannkraft senkrecht auf Rand ds jedes Flächenelements x y Einspannung

47 x y Wellengleichung … günstig für Rechteckmembrangünstig für Kreismembran … in kartesischen Koordinaten (x, y) … in Polarkoordinaten (r, ) Errechnung der Eigenmoden durch Faktorisierungsansatz ( Tafel) : Zusätzlich: Randbedingung durch Einspannung: Besselfunktionen

48 Fall 1: Rechteckmembranen: x y LxLx LyLy Lösung der Wellengleichung: Superposition ebener Wellen Randbedingungen: Eigenfrequenzen Allgemeine Lösung: Eigenschwingungen

49 n = 1 m = 1n = 2 m = 1 n = 1 m = 2n = 2 m = 2 n = 3 m = 1n = 3 m = 2 n Bäuche in x-Richtung m Bäuche in y-Richtung n 1 Knotenlinien in x-Richtung m 1 Knotenlinien in y-Richtung Saite: n n 1 harmonischer Klang Membran: nicht-harmonisches Spektrum Eine schwingende Membran erzeugt keinen Klang Chladni-Muster Eigenfrequenzen Allgemeine Lösung: Eigenschwingungen

50 Fall 2: Kreismembranen:2R x y r Randbedingung: Bezeichnung: pn n-te Nullstelle der p-ten Besselfunktion J p (n ), p 0 Lösung der Wellengleichung: Superposition von Kreiswellen Allgemeine Lösung: Eigenschwingungen Eigenfrequenzen:

51 p = 0 n = 1p = 1 n = 1 p = 2 n = 1p = 3 n = 1 p = 0 n = 2 p = 3 n = 2 n Bäuche in r-Richtung 2p Bäuche in -Richtung n 1 Knotenkreislinien p Knotendurchmesserlinien unharmonische Nullstellenfolge kein harmonischer Klang Chladni-Muster

52 Bemerkung: Transversal schwingende (dünne) Stäbe und Platten Ähnlich zu Saiten und Membranen Unterschied (1): Nichtlinearer Dispersionsrelation c c( ) Unterschied (2): Enden bzw. Rand frei / unterstützt / eingespannt Beispiel: Stab frei: unterstützt / eingehängt: eingeklemmt: Chladni-Muster nur qualitativ wie bei Saite / Membran

53 1.5. Elektromagnetische Hohlleiter und Resonatoren Hohlleiter Literatur: K. Wille,,,Physik der Teilchenbeschleuniger und Synchrotronstrahlungsquellen, Teubner Hochfrequenzsysteme zur Teilchenbeschleunigung Mikrowellentransport Lichtleiter, Optoelektronik z Ausbreitungs- richtung ( k z ) total reflektierende Wand ( z.B. idealer Leiter ) Wellengleichung: Zusätzlich: Zeitseparation: Einsetzen mit

54 Separation für E z in : Bemerkung:Randbedingung ( reflektierende Wand ) stehende Wellen Ausbreitung in z-Richtung: Benennung:k c heißt Grenzwellenzahl ( für die betrachtete Mode ), heißt Grenzwellenlänge z Ausbreitungs- richtung ( k z ) total reflektierende Wand ( z.B. idealer Leiter )

55 Fall 1: exponentiell gedämpft bzw. unphysikalisch keine Ausbreitung Fall 2: Wellenausbreitung in z-Richtung Ausbreitung in z-Richtung:

56 Dispersionsrelation: Phasengeschwindigkeit: Gruppengeschwindigkeit: Ausbreitung in z-Richtung: Fall 2: Wellenausbreitung in z-Richtung

57 Beispiel: Rechteckhohlleiter kartesische Koordinaten günstig z x y a > b b Moden Produkte ebener Wellen (vgl. Membran) Zusätzlich (Maxwellgleichungen): Einzig mögliche Amplituden-Phasen-Kombination: mit:

58 ( n,m 0 ) Zusätzlich Randbedingungen: E-Vektor am Rand Wand

59 Zwei Moden-Klassen: Transversal elektrisch: TE nm Transversal magnetisch: TM nm TE 10 TE 01 TE 20 TE 11 TE 02 TE 30 TM 11 TM 21 TM 12 TM 31 TM 22

60 Beispiel: TE 10 -Mode ( Fundamentalmode) x y z a > b b x a EyEy BxBx BzBz y x a b EyEy BxBx y z EyEy BzBz b x z a

61 Bemerkung: Wahl der Frequenz derart, dass gilt: Folge: Nur die TE 10 -Mode wird geleitet Mono-Moden-Leiter

62 Bemerkung: Zylindrische Hohlleiter Zylinderkoordinaten z x y R TE Moden:TE 11 TE 21 TE 01 TE 31 TE 41 TE 12 TE 51 TM Moden:TM 01 TM 11 TM 21 TM 02 TM 31 TM 12 TM 41 Fundamentalmode p=0, n=1 für Teilchenbeschleuniger rz p 0, 1, n 1, 2, pn Nullstellen von

63 Beispiel: Hochfrequenzstrukturen zur Beschleunigung von geladenen Teilchen TE 10 (Rechteckiger Querschnitt) Reflexionsfreier Absorber HF-Quelle (Klystron) Teilchenpaket (e, e, p, ) Zylindrische,,Disk-Loaded-Structure Phasengeschwindigkeit der e.m.-Welle Teilchengeschwindigkeit TE 10 TM 01 -Mode E-Feld beschleunigend bei richtiger Phasenlage des Teilchenpakets Rechteckiger Wellenleiter Wanderwellen-Beschleunigungskavität

64 Hohlraumresonator (Hohlleiter mit ideal leitenden,,Deckeln) Deckel zusätzliche Randbedingung in z stehende Wellen Hohlleiter ohne Deckel: Zusätzlich Randbedingungen: E-Vektor an Deckeln Wand (q 0 ) Resonanzwellenlängen R : Resonanzfrequenzen: R R c Sehr kleine ohmsche Verluste in Wänden Hohlraumresonator Schwingkreis extrem hoher Güte z x y L Deckel

65 z x y a b L Beispiel: Rechteckresonator ohne Deckel Hohlleiter Resonator-Schwingungsmoden TE nmq : TM nmq : (TE 001 : Fundamentalmode)

66 Beispiel: Hochfrequenzstrukturen zur Beschleunigung von geladenen Teilchen Zylindrische,,Disk-Loaded-Structure Phasengeschwindigkeit der e.m.-Welle Teilchengeschwindigkeit HF-Quelle (Klystron) Stehende-Wellen-Beschleunigungskavität TM 01q r z Teilchenpaket (e, e, p, ) E-Feld beschleunigend bei richtiger Phasenlage des Teilchenpakets Rechteckiger Wellenleiter TE 10


Herunterladen ppt "1. Elektromagnetische Wellen 1.1. Schwingkreise 1.1.1. Freie Schwingung Maschenregel R C L I Q D γ m x Mechanisches Analogon: Übersetzung: Mechanik Elektrodynamik."

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen