Longitudinale Wellen:

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1 Longitudinale Wellen:
x y z V.4 Wellen in kontinuierlichen Medien Longitudinale Wellen: x Transversale Wellen: x

2 V.4.4 Lösung der 1-dim. Wellengleichung
 Lösung der Wellengleichung für beliebige zweimal differenzierbare Funktion f Speziell kann z.B.: gewählt werden. “Harmonische Wellen” aus Dimensionsgründen, [k] = 1/Länge Das Argument bezeichnet man als Phase.

3 ? Phasengeschwindigkeit Dazu betrachte: nach links laufende Welle
Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich ein Zustand konstanter Phase Dazu betrachte: nach links laufende Welle nach rechts laufende Welle

4 k bezeichnet man als Wellenzahl
Wellenlänge und Wellenzahl der harmonischen Welle u(t=t0,x) Momentaufnahme bei fester Zeit t0 x l Wellenlänge l: kürzester Abstand zwischen gleichen Schwingungszuständen (Oszillatoren in Phase) bzw. k bezeichnet man als Wellenzahl

5 Kreisfrequenz der harmonischen Welle
u(t,x=x0) Harmonische Schwingung am festen Ort x0 t T Am festen Ort schwingt Oszillator gemäß: bzw.

6 Superpositionsprinzip
Hat man zwei Lösungen u1 und u2 von , so ist auch u = u1 + u2 wieder eine Lösung. (Folgt aus Linearität der Wellengleichung) Wichtige Anwendung: Fourierzerlegung Stehende Wellen … (mehr dazu später)

7 Ausbreitung einer Wellengruppe (Informationstransport)
Betrachte: Überlagerung zweier harmonischen Wellen (l1 ≈ l2) “Schwebung”

8 Ausbreitung einer Wellengruppe
Zeitpunkte t1 x Zeitpunkte t2 x Zeitpunkte t3 x

9 Gruppengeschwindigkeit
Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich die Wellengruppe fort? Überlagert man unendlich viele harmonische Wellen findet man: ( falls ) (hier ohne Beweis) Die Gruppengeschwindigkeit ist für die Informationsübertragung wichtig

10 Gruppengeschwindigkeit
Verwendet man kann man auch schreiben: Bisherige Beispiele:  c ist unabhängig von der Wellenlänge, die Gruppengeschwindigkeit ist gleich der Phasengeschwindigkeit, endlich ausgedehnte Wellenpakete zerfließen nicht

11 Gruppengeschwindigkeit
Für Wasserwellen in tiefem Wasser gilt näherungsweise: c ist von der Wellenlänge abhängig ! Wellenpakete zerfließen / Dispersion

12 zu lösen, mache folgenden Ansatz:
Alternative Methode zur Lösung der Wellengleichung Produktansatz Um zu lösen, mache folgenden Ansatz: Einsetzen liefert: !

13 Produktansatz:

14 Noch aus den Anfangsbedingungen zu bestimmen:
Für beliebige k ist Allgemeine Lösung, durch Überlagerung von Lösungen zu unterschiedlichem k: Noch aus den Anfangsbedingungen zu bestimmen:

15 V.4.5 Wellen in endlich ausgedehnten Systemen, Randbedingungen am Beispiel der schwingenden Saite
Beispiel: Fest eingespannte Saite L Beispiel: Loses Ende Ring gleitet reibungsfrei auf Stab Keine Kraft längs des Stabes  Ring horizontal

16 Zusätzlich zu den Anfangsbedingungen treten Randbedingungen hinzu!
“Dirichletsche Randbedingungen”: Die Wellenfunktion ist auf dem Rand vorgegeben Beispiel: festes Ende “von Neumannsche Randbedingungen” Die Normalableitung ist auf dem Rand vorgegeben Beispiel: loses Ende Die gesuchte Lösung der Wellengleichung muß also: Wellengleichung erfüllen Anfangsbedingungen erfüllen Randbedingungen für alle Zeiten erfüllen

17 Grundschwingung n=1 1.Oberschwingung (n=2) 2.Oberschwingung (n=3)  n-1 Knoten

18 Stehende Welle als Überlagerung:
Verwende: Damit: nach rechts laufende Welle nach links laufende Welle Wellenberg wird als Wellental reflektiert (“Phasensprung p”)

19 Reflexion am festen Ende (allgemein)
Es entsteht eine am Ursprung gespiegelte Welle die nach rechts läuft Für die Gesamtlösung gilt dann: Randbedingung:  R=-1, insbesondere |R| = 1 “Totalreflexion”

20 Reflexion am losen Ende
Gleicher Ansatz wie zuvor: Randbedingung: liefert R=1 (Tafelrechnung) Wellenberg wird als Wellenberg reflektiert

21 Lösung der schwingenden Saite für konkrete Anfangsbedingungen
Bsp.: gezupfte Saite h a L Auslenkung zu t=0: Anfangsgeschwindigkeit zu t=0:

22 Zeitentwicklung  Matlab Illustration
Überlagerung der Eigenschwingungen n=1..1 n=1..3 n=1..5 n=1..9 n=1..99 Zeitentwicklung  Matlab Illustration

23

24 Numerische Lösung der schwingenden Saite
Diskretisieren von Mit: ergibt sich: mit ( Tafelrechnung)

25 Verallgemeinerung des d’Alembert-Operators:
V.4.6 Wellengleichung in mehr als einer Raumdimension Verallgemeinerung des d’Alembert-Operators: Wellengleichung:

26 Beispiel: Transversalschwingung einer Membran
Quadratische Membran am Rand eingespannt ergibt wieder diskretes Spektrum von Eigenschwingungen / Eigenfrequenzen  können durch Chladnysche Klangfiguren sichtbar gemacht werden

27 V.4.7 Typische Wellenphänomene am Beispiel von Wasserwellen --- Huygenssches Prinzip
Allgemeine Theorie der Wasserwellen kompliziert:  nichtstationäre Bewegung von Flüssigkeiten Beschreibung durch Euler-Gleichung falls Flüssigkeit als inkompressibel ohne innere Reibung “ideale Flüssigkeit” angenommen wird Äußere Kraftdichte: Gravitation  “Schwerewellen” Außerdem: Randbedingungen am Rand der Flüssigkeit  Wellengleichung nimmt komplizierte Form an

28 Näherungsweise findet man:
(h Wassertiefe) “Tiefes Wasser” “seichtes Wasser” Kapillarwellen: Rechnung: siehe z.B. Lehrbuch der Theor. Physik, Walter Weizel

29 Wasserwellen können näherungsweise als 2-dimensional angenommen
werden. Für harmonische Punktstörungen findet man dann als Näherungslösung der Wellengleichung für große r. “Huygenssche Elementarwelle”

30 Huygenssches Prinzip:
“Jeder Punkt einer Wellenfront wirkt als punktförmige Störung, die Elementarwellen auslöst. Die Einhüllende der Elementarwellen ergibt die zeitliche Entwicklung der ursprünglichen Wellenfront”

31 Einfache Anwendung des Huygensschen Prinzips
Ebene Welle als Überlagerung von Kreiswellen Kreiswelle als Überlagerung von Kreiswellen

32 Reflexion mit Huygensschem Prinzip
a A B b

33 Einfallswinkel  Ausfallswinkel
Reflexion an ebener Wand ebene Welle Ein Aus α α ebene Wand Einfallswinkel  Ausfallswinkel

34 Brechung mit Huygensschem Prinzip
a A B

35 α β Medium 1: c1 Medium 2: c2 Brechung an Grenzflächen Brechungsgesetz
Kürzester Weg zwischen P1 und P2

36 Beugung am Spalt  Ausbreitung in den “geometrischen Schatten”
Wichtig für Hindernisse mit Abmessungen vgl. Festumzüge: was hört man als erstes ?

37 Beugungsmuster im Unendlichen
Beugungsmuster bei Streuung am Spalt Beugungsmuster im Unendlichen α I 2· 0. Ordnung 1. Ordnung 2. Ordnung Ebene Welle λ d α d α λ/2 d/2 

38 Poissonscher Fleck (1818)

39 V.4.8 Schallwellen  Ausbreitung von Störungen in Gasen, Flüssigkeiten und Festkörpern Demo: Klingel unter Vakuumglocke SW 2.12 Unterscheidung nach Frequenzbereichen: Hörbarer Bereich 16 – Hz 20 kHz – 10 MHz Ultraschall 10 MHz – Hyperschall Demo: Tongenerator SW 2.20 Schallwelle ?

40 ! Woher weiß man, dass Schall sich als Welle verhält ?
Falls Schall Welleneigenschaft besitzt, müssen typische Wellenphänomene beobachtbar sein z.B.: Beugung, Interferenz,… Beispiel: Stehende Welle in einem Rohr Lautsprecher geschlossenes Ende Gas / 2 Pulver Kundt’sches Rohr SW 2.10 Schallbauch Schallknoten

41 Alternatives Experiment: Rubens’sches Flammrohr
Was schwingt? Löcher SW 2.11 Gas gefülltes Rohr  Flammen unterschiedlich hoch nach Einschalten des Lautsprechers  Druckschwankungen als Folge einer stehenden Welle

42 Schallwelle in Luft longitudinale Druckwelle v(x) v(x+dx) p(x) p(x+dx)
Fläche A dx Newtonsche Bewegungsgleichung:  reicht noch nicht aus, man braucht noch “Zustandsgleichung” (r  p), vgl. Diskussion Navier-Stokes Gleichung

43 z z Schall in Festkörpern zt zt Elastische Longitudinalwelle
Elastische Rückstellkräfte  Wellen Elastische Longitudinalwelle z zt Elastische Transversalwelle Unendlicher Stab mit Dichte: ρ Torsionsmodul: G Schallgeschwindigkeit zt z Unendlicher Stab mit Dichte: ρ Elastizitätsmodul: E Schallgeschwindigkeit

44 ? Doppler-Effekt (C. Doppler 1803-1853)
Wie ändert sich die gehörte Frequenz falls Beobachter oder Quelle bewegt ist a) Bewegte Quelle bewegte Quelle ruhende Quelle

45 b) Bewegter Empfänger / Beobachter
Doppler-Effekt b) Bewegter Empfänger / Beobachter Beobachter Quelle ruhende Quelle

46 Machscher Kegel (E. Mach 1836 – 1916)
Betrachte nochmal bewegte Quelle:  Ergebnis divergiert für Es bildet sich eine gemeinsame Wellenfront aus:  Wellenfront mit großer Amplitude (Kopf-,Stoß-,Schockwelle)  starke Verdichtung der Luft “Schallmauer”

47 M bezeichnet man als Machzahl
Machscher Kegel ? Was passiert bei a M bezeichnet man als Machzahl

48 Machscher Kegel - Anwendungen
Überschallknall Cherenkovstrahlung geladener Teilchen mit Überlichtgeschwindigkeit