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1 V.4 Wellen in kontinuierlichen Medien x Longitudinale Wellen: Transversale Wellen: x x y z.

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Präsentation zum Thema: "1 V.4 Wellen in kontinuierlichen Medien x Longitudinale Wellen: Transversale Wellen: x x y z."—  Präsentation transkript:

1 1 V.4 Wellen in kontinuierlichen Medien x Longitudinale Wellen: Transversale Wellen: x x y z

2 2 V.4.4 Lösung der 1-dim. Wellengleichung Lösung der Wellengleichung für beliebige zweimal differenzierbare Funktion f Speziell kann z.B.: gewählt werden. Harmonische Wellen Das Argument bezeichnet man als Phase. aus Dimensionsgründen, [k] = 1/Länge

3 3 Phasengeschwindigkeit Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich ein Zustand konstanter Phase Dazu betrachte: nach links laufende Welle nach rechts laufende Welle ?

4 4 Wellenlänge und Wellenzahl der harmonischen Welle x kürzester Abstand zwischen gleichen Schwingungszuständen (Oszillatoren in Phase) Wellenlänge : bzw. k bezeichnet man als Wellenzahl Momentaufnahme bei fester Zeit t 0 u(t=t 0,x)

5 5 Kreisfrequenz der harmonischen Welle t Harmonische Schwingung am festen Ort x 0 u(t,x=x 0 ) Am festen Ort schwingt Oszillator gemäß: bzw.

6 6 Superpositionsprinzip Hat man zwei Lösungen u 1 und u 2 von so ist auch u = u 1 + u 2 wieder eine Lösung. (Folgt aus Linearität der Wellengleichung) Wichtige Anwendung: Fourierzerlegung Stehende Wellen … (mehr dazu später),

7 7 Ausbreitung einer Wellengruppe (Informationstransport) Betrachte: Überlagerung zweier harmonischen Wellen ( 1 2 ) Schwebung

8 8 Ausbreitung einer Wellengruppe x x x Zeitpunkte t 1 Zeitpunkte t 2 Zeitpunkte t 3

9 9 Gruppengeschwindigkeit Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich die Wellengruppe fort? Überlagert man unendlich viele harmonische Wellen findet man: (hier ohne Beweis) ( falls ) Die Gruppengeschwindigkeit ist für die Informationsübertragung wichtig

10 10 Gruppengeschwindigkeit Verwendet mankann man auch schreiben: Bisherige Beispiele: c ist unabhängig von der Wellenlänge, die Gruppengeschwindigkeit ist gleich der Phasengeschwindigkeit, endlich ausgedehnte Wellenpakete zerfließen nicht

11 11 Gruppengeschwindigkeit Für Wasserwellen in tiefem Wasser gilt näherungsweise: c ist von der Wellenlänge abhängig ! Wellenpakete zerfließen / Dispersion

12 12 Alternative Methode zur Lösung der Wellengleichung Produktansatz Um zu lösen, mache folgenden Ansatz: Einsetzen liefert: !

13 13 Produktansatz:

14 14 Für beliebige k ist Allgemeine Lösung, durch Überlagerung von Lösungen zu unterschiedlichem k: Noch aus den Anfangsbedingungen zu bestimmen:

15 15 V.4.5 Wellen in endlich ausgedehnten Systemen, Randbedingungen am Beispiel der schwingenden Saite Beispiel: Fest eingespannte Saite L Beispiel: Loses Ende Ring gleitet reibungsfrei auf Stab Keine Kraft längs des Stabes Ring horizontal

16 16 Zusätzlich zu den Anfangsbedingungen treten Randbedingungen hinzu! Dirichletsche Randbedingungen: Die Wellenfunktion ist auf dem Rand vorgegeben Beispiel: festes Ende von Neumannsche Randbedingungen Die Normalableitung ist auf dem Rand vorgegeben Beispiel: loses Ende Die gesuchte Lösung der Wellengleichung muß also: Wellengleichung erfüllen Anfangsbedingungen erfüllen Randbedingungen für alle Zeiten erfüllen

17 17 Grundschwingung n=1 1.Oberschwingung (n=2) 2.Oberschwingung (n=3) n-1 Knoten

18 18 Stehende Welle als Überlagerung: Verwende: nach rechts laufende Welle nach links laufende Welle Damit: Wellenberg wird als Wellental reflektiert (Phasensprung )

19 19 Reflexion am festen Ende (allgemein) Es entsteht eine am Ursprung gespiegelte Welle die nach rechts läuft Für die Gesamtlösung gilt dann: Randbedingung: R=-1, insbesondere |R| = 1 Totalreflexion

20 20 Reflexion am losen Ende Gleicher Ansatz wie zuvor: Randbedingung: liefert R=1 (Tafelrechnung) Wellenberg wird als Wellenberg reflektiert

21 21 Lösung der schwingenden Saite für konkrete Anfangsbedingungen Bsp.: gezupfte Saite a L h Auslenkung zu t=0: Anfangsgeschwindigkeit zu t=0:

22 22 Überlagerung der Eigenschwingungen n=1..1 n=1..3 n=1..5 n=1..9 n=1..99 Zeitentwicklung Matlab Illustration

23 23

24 24 Numerische Lösung der schwingenden Saite Diskretisieren von ergibt sich: mit ( Tafelrechnung) Mit:

25 25 V.4.6 Wellengleichung in mehr als einer Raumdimension Verallgemeinerung des dAlembert-Operators: Wellengleichung:

26 26 Beispiel: Transversalschwingung einer Membran Quadratische Membran am Rand eingespannt ergibt wieder diskretes Spektrum von Eigenschwingungen / Eigenfrequenzen können durch Chladnysche Klangfiguren sichtbar gemacht werden

27 27 V.4.7 Typische Wellenphänomene am Beispiel von Wasserwellen --- Huygenssches Prinzip Allgemeine Theorie der Wasserwellen kompliziert: nichtstationäre Bewegung von Flüssigkeiten Beschreibung durch Euler-Gleichung falls Flüssigkeit als inkompressibel ohne innere Reibung angenommen wird ideale Flüssigkeit Äußere Kraftdichte: Gravitation Schwerewellen Außerdem: Randbedingungen am Rand der Flüssigkeit Wellengleichung nimmt komplizierte Form an

28 28 Näherungsweise findet man: Tiefes Wasser (h Wassertiefe) seichtes Wasser Kapillarwellen: Rechnung: siehe z.B. Lehrbuch der Theor. Physik, Walter Weizel

29 29 Wasserwellen können näherungsweise als 2-dimensional angenommen werden. Für harmonische Punktstörungen findet man dann als Näherungslösung der Wellengleichung für große r. Huygenssche Elementarwelle

30 30 Huygenssches Prinzip: Jeder Punkt einer Wellenfront wirkt als punktförmige Störung, die Elementarwellen auslöst. Die Einhüllende der Elementarwellen ergibt die zeitliche Entwicklung der ursprünglichen Wellenfront

31 31 Ebene Welle als Überlagerung von Kreiswellen Kreiswelle als Überlagerung von Kreiswellen Einfache Anwendung des Huygensschen Prinzips

32 32 A B Reflexion mit Huygensschem Prinzip

33 33 Reflexion an ebener Wand ebene Wand Ein Aus ebene Welle αα Einfallswinkel Ausfallswinkel

34 34 A B Brechung mit Huygensschem Prinzip

35 35 Brechung an Grenzflächen α β Medium 1: c 1 Medium 2: c 2 Brechungsgesetz Kürzester Weg zwischen P1 und P2

36 36 Beugung am Spalt Ausbreitung in den geometrischen Schatten Wichtig für Hindernisse mit Abmessungen vgl. Festumzüge: was hört man als erstes ?

37 37 Beugungsmuster bei Streuung am Spalt Ebene Welle λ d α Beugungsmuster im Unendlichen α I 2· 0. Ordnung 1. Ordnung 2. Ordnung d α λ/2 d/2

38 38 Poissonscher Fleck (1818)

39 39 V.4.8 Schallwellen Ausbreitung von Störungen in Gasen, Flüssigkeiten und Festkörpern Demo: Klingel unter Vakuumglocke SW 2.12 Unterscheidung nach Frequenzbereichen: Hörbarer Bereich 16 – Hz 20 kHz – 10 MHz Ultraschall 10 MHz – Hyperschall Demo: Tongenerator SW 2.20 Schall welle ?

40 40 Woher weiß man, dass Schall sich als Welle verhält ? Falls Schall Welleneigenschaft besitzt, müssen typische Wellenphänomene beobachtbar sein z.B.:Beugung, Interferenz,… Beispiel:Stehende Welle in einem Rohr geschlossenes Ende Lautsprecher Pulver Gas / 2 Schallbauch Schallknoten Kundtsches Rohr SW 2.10 !

41 41 Alternatives Experiment: Rubenssches Flammrohr Gas gefülltes Rohr Löcher Flammen unterschiedlich hoch nach Einschalten des Lautsprechers Was schwingt? Druckschwankungen als Folge einer stehenden Welle SW 2.11

42 42 Schallwelle in Luft Fläche A dx p(x) p(x+dx) v(x)v(x+dx) Newtonsche Bewegungsgleichung: reicht noch nicht aus, man braucht noch Zustandsgleichung ( p), vgl. Diskussion Navier-Stokes Gleichung longitudinale Druckwelle

43 43 Schall in Festkörpern Elastische Longitudinalwelle Elastische Rückstellkräfte Wellen z t Unendlicher Stab mit Dichte: ρ Elastizitätsmodul: E z Schallgeschwindigkeit z z t z Elastische Transversalwelle Unendlicher Stab mit Dichte: ρ Torsionsmodul: G Schallgeschwindigkeit

44 44 Doppler-Effekt (C. Doppler ) Wie ändert sich die gehörte Frequenz falls Beobachter oder Quelle bewegt ist a) Bewegte Quelle ruhende Quelle bewegte Quelle ?

45 45 Doppler-Effekt b) Bewegter Empfänger / Beobachter ruhende Quelle Beobachter Quelle

46 46 Machscher Kegel (E. Mach 1836 – 1916) Betrachte nochmal bewegte Quelle: Ergebnis divergiert für Es bildet sich eine gemeinsame Wellenfront aus: Wellenfront mit großer Amplitude (Kopf-,Stoß-,Schockwelle) starke Verdichtung der Luft Schallmauer

47 47 Machscher Kegel Was passiert bei ? M bezeichnet man als Machzahl

48 48 Überschallknall Cherenkovstrahlung geladener Teilchen mit Überlichtgeschwindigkeit Machscher Kegel - Anwendungen


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