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Gedämpfte harmonische Schwingungen. F R = -b ds dt b = Dämpfungskonstante.

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Präsentation zum Thema: "Gedämpfte harmonische Schwingungen. F R = -b ds dt b = Dämpfungskonstante."—  Präsentation transkript:

1 Gedämpfte harmonische Schwingungen

2 F R = -b ds dt b = Dämpfungskonstante

3 Gedämpfte harmonische Schwingungen F R = -b ds dt = v b = Dämpfungskonstante

4 Gedämpfte harmonische Schwingungen F R = -b ds dt = v b = Dämpfungskonstante F = -Ds - b ds dt

5 Gedämpfte harmonische Schwingungen F R = -b ds dt = v b = Dämpfungskonstante F = -Ds - b ds dt D m = 0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung

6 Gedämpfte harmonische Schwingungen F R = -b ds dt = v b = Dämpfungskonstante F = -Ds - b ds dt D m = 0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung = = Abklingkonstante b 2m

7 Gedämpfte harmonische Schwingungen F R = -b ds dt = v b = Dämpfungskonstante F = -Ds - b ds dt D m = 0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung = = Abklingkonstante b 2m d2sd2s dt s = 0 ds dt

8 Gedämpfte harmonische Schwingungen F R = -b ds dt = v b = Dämpfungskonstante F = -Ds - b ds dt D m = 0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung = = Abklingkonstante b 2m d2sd2s dt s = 0 ds dt s(t) = e - t s cos( d t- ) ^

9 Gedämpfte harmonische Schwingungen F R = -b ds dt = v b = Dämpfungskonstante F = -Ds - b ds dt D m = 0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung = = Abklingkonstante b 2m d2sd2s dt s = 0 ds dt s(t) = e - t s cos( d t- ) ^ exponentiell abnehmende Amplitude

10 Gedämpfte harmonische Schwingungen F R = -b ds dt = v b = Dämpfungskonstante F = -Ds - b ds dt D m = 0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung = = Abklingkonstante b 2m d2sd2s dt s = 0 ds dt s(t) = e - t s cos( d t- ) ^ mit d = Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung

11 Gedämpfte harmonische Schwingungen F R = -b ds dt = v b = Dämpfungskonstante F = -Ds - b ds dt D m = 0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung = = Abklingkonstante b 2m d2sd2s dt s = 0 ds dt s(t) = e - t s cos( d t- ) ^ 0 2 e - t s cos d t ^ mit d =

12 Gedämpfte harmonische Schwingungen F R = -b ds dt = v b = Dämpfungskonstante F = -Ds - b ds dt D m = 0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung = = Abklingkonstante b 2m d2sd2s dt s = 0 ds dt s(t) = e - t s cos( d t- ) ^ 0 2 e - t s cos d t ^ -2 2 e - t s cos d t - 2 d e - t s sin d t ^ ^ mit d =

13 Gedämpfte harmonische Schwingungen F R = -b ds dt = v b = Dämpfungskonstante F = -Ds - b ds dt D m = 0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung = = Abklingkonstante b 2m d2sd2s dt s = 0 ds dt s(t) = e - t s cos( d t- ) ^ 0 2 e - t s cos d t ^ -2 2 e - t s cos d t - 2 d e - t s sin d t ^ ^ 2 e - t s cos d t + d e - t s sin d t + ^ ^ mit d =

14 Gedämpfte harmonische Schwingungen F R = -b ds dt = v b = Dämpfungskonstante F = -Ds - b ds dt D m = 0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung = = Abklingkonstante b 2m d2sd2s dt s = 0 ds dt s(t) = e - t s cos( d t- ) ^ 0 2 e - t s cos d t ^ -2 2 e - t s cos d t - 2 d e - t s sin d t ^ ^ 2 e - t s cos d t + d e - t s sin d t + d e - t s sin d t - d 2 e - t s cos d t ^ ^ ^^ mit d =

15 Gedämpfte harmonische Schwingungen F R = -b ds dt = v b = Dämpfungskonstante F = -Ds - b ds dt D m = 0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung = = Abklingkonstante b 2m d2sd2s dt s = 0 ds dt s(t) = e - t s cos( d t- ) ^ 0 2 e - t s cos d t ^ -2 2 e - t s cos d t - 2 d e - t s sin d t ^ ^ 2 e - t s cos d t + d e - t s sin d t + d e - t s sin d t - d 2 e - t s cos d t ^ ^ ^^ mit d =

16 Gedämpfte harmonische Schwingungen F R = -b ds dt = v b = Dämpfungskonstante F = -Ds - b ds dt D m = 0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung = = Abklingkonstante b 2m d2sd2s dt s = 0 ds dt s(t) = e - t s cos( d t- ) ^ 0 2 e - t s cos d t ^ -2 2 e - t s cos d t ^ 2 e - t s cos d t - d 2 e - t s cos d t ^ ^ mit d =

17 Gedämpfte harmonische Schwingungen F R = -b ds dt = v b = Dämpfungskonstante F = -Ds - b ds dt D m = 0 = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung = = Abklingkonstante b 2m d2sd2s dt s = 0 ds dt s(t) = e - t s cos( d t- ) ^ d 2 mit d =

18 < 0 : schwache Dämpfung d reell s(t) = e - t s cos d t ^ mit d =

19 < 0 : schwache Dämpfung d reell = 0 : aperiodischer Grenzfall d = 0 s(t) = e - t s cos d t ^ mit d =

20 < 0 : schwache Dämpfung d reell = 0 : aperiodischer Grenzfall d = 0 > 0 : starke Dämpfung d imaginär s(t) = e - t s cos d t ^ mit d =

21 < 0 : schwache Dämpfung d reell d < 0 s(t) = e - t s cos d t ^ mit d =

22 < 0 : schwache Dämpfung d reell d < 0 s(t) = e - t s cos d t ^ mit d = Die Schwingungsdauer T d wird größer als im ungedämpften Fall.

23 < 0 : schwache Dämpfung d reell d < 0 ^ mit d = Die Schwingungsdauer T d wird größer als im ungedämpften Fall. s(t) = e - t s cos d t

24 < 0 : schwache Dämpfung d reell d < 0 s(t) = e - t s cos d t ^ mit d = s t Die Schwingungsdauer T d wird größer als im ungedämpften Fall.

25 < 0 : schwache Dämpfung d reell d < 0 ^ mit d = Die Schwingungsdauer T d wird größer als im ungedämpften Fall. Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e - t t s s(t) = e - t s cos d t

26 < 0 : schwache Dämpfung d reell d < 0 s(t) = e - t s cos d t ^ mit d = Für jeden Zeitpunkt (T d + t ) ist die momentane Auslenkung s(T d + t ) um den Faktor e - T d kleiner als eine Periodendauer T d = 2 / d zuvor. t s Die Schwingungsdauer T d wird größer als im ungedämpften Fall. Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e - t

27 < 0 : schwache Dämpfung d reell d < 0 s(t) = e - t s cos d t ^ mit d = = T d : logarithmisches Dekrement t s Für jeden Zeitpunkt (T d + t ) ist die momentane Auslenkung s(T d + t ) um den Faktor e - T d kleiner als eine Periodendauer T d = 2 / d zuvor. Die Schwingungsdauer T d wird größer als im ungedämpften Fall. Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e - t

28 < 0 : schwache Dämpfung d reell d < 0 = T d : logarithmisches Dekrement Aus der Messung des logarithmischen Dekrementes und der Schwingungsdauer T d lassen sich bei bekannter Masse die Parameter D und b des Systems bestimmen. t s Für jeden Zeitpunkt (T d + t ) ist die momentane Auslenkung s(T d + t ) um den Faktor e - T d kleiner als eine Periodendauer T d = 2 / d zuvor. Die Schwingungsdauer T d wird größer als im ungedämpften Fall. Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e - t

29 < 0 : schwache Dämpfung d reell d < 0 = T d : logarithmisches Dekrement Aus der Messung des logarithmischen Dekrementes und der Schwingungsdauer T d lassen sich bei bekannter Masse die Parameter D und b des Systems bestimmen. t s Für jeden Zeitpunkt (T d + t ) ist die momentane Auslenkung s(T d + t ) um den Faktor e - T d kleiner als eine Periodendauer T d = 2 / d zuvor. b = 2m = 2m /T d Die Schwingungsdauer T d wird größer als im ungedämpften Fall. Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e - t

30 < 0 : schwache Dämpfung d reell d < 0 = T d : logarithmisches Dekrement Aus der Messung des logarithmischen Dekrementes und der Schwingungsdauer T d lassen sich bei bekannter Masse die Parameter D und b des Systems bestimmen. t s Für jeden Zeitpunkt (T d + t ) ist die momentane Auslenkung s(T d + t ) um den Faktor e - T d kleiner als eine Periodendauer T d = 2 / d zuvor. b = 2m = 2m /T d 0 = d = D/m Die Schwingungsdauer T d wird größer als im ungedämpften Fall. Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e - t

31 < 0 : schwache Dämpfung d reell d < 0 = T d : logarithmisches Dekrement Aus der Messung des logarithmischen Dekrementes und der Schwingungsdauer T d lassen sich bei bekannter Masse die Parameter D und b des Systems bestimmen. t s Für jeden Zeitpunkt (T d + t ) ist die momentane Auslenkung s(T d + t ) um den Faktor e - T d kleiner als eine Periodendauer T d = 2 / d zuvor. b = 2m = 2m /T d 0 = d = D/m D = m Td2Td2 Die Schwingungsdauer T d wird größer als im ungedämpften Fall. Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e - t

32 = 0 : aperiodischer Grenzfall d = 0

33 einfachste Lösung s(t) = e - t s ^

34 = 0 : aperiodischer Grenzfall d = 0 einfachste Lösung s(t) = e - t s ^ Anwendung: Vermeidung von Schwingungen

35 = 0 : aperiodischer Grenzfall d = 0 einfachste Lösung s(t) = e - t s ^ Anwendung: Vermeidung von Schwingungen > 0 : starke Dämpfung (Kriechfall) d imaginär Wie beim aperiodischen Grenzfall fehlt auch bei der starken Dämpfung das wesentliche Kennzeichen einer Schwingung, nämlich die Reproduktion des vorhergehenden Zustands.

36 = 0 : aperiodischer Grenzfall d = 0 einfachste Lösung s(t) = e - t s ^ Anwendung: Vermeidung von Schwingungen > 0 : starke Dämpfung (Kriechfall) d imaginär Wie beim aperiodischen Grenzfall fehlt auch bei der starken Dämpfung das wesentliche Kennzeichen einer Schwingung, nämlich die Reproduktion des vorhergehenden Zustands. Wegen der formalen Analogie zur schwach gedämpften Schwingung spricht man jedoch auch hier von einer (stark) gedämpften Schwingung.

37 [2.20] Ein gedämpft schwingendes Federpendel mit der Federkonstante D = 1 N/m erreicht nacheinander die Amplituden 1,000 Skalenteile; 0,368 Skt; 0,135 Skt; ? Skt. Die Schwingungsdauer T d beträgt 1,00 s. Wie groß ist die Dämpfungskonstante b?

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