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Chaos: 1/26 Dynamik komplexer Systeme Deterministisches Chaos.

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Präsentation zum Thema: "Chaos: 1/26 Dynamik komplexer Systeme Deterministisches Chaos."—  Präsentation transkript:

1 Chaos: 1/26 Dynamik komplexer Systeme Deterministisches Chaos

2 Chaos: 2/26 Dynamische Systeme Der Systemzustand x(t) kann durch einen oder mehrere Parameter beschrieben werden. –Phasenraum: Raum der Zustandsparameter Der zukünftige Systemzustand hängt allein vom jetzigen Systemzustand ab. –kontinuierlich: Differentialgleichungen in t d/dt x(t) = F(x(t))d/dt x(t) = k x(t) lim t 0 (x(t+ t) x(t)) / t = F(x(t)) –diskret: Iterationsgleichungen in t x(t+ t) x(t) = F(x(t)) · t x(t+1) = G(x(t))x(t+1) = c x(t) x x · xtxt x t+1 t x t x Gleichungs- diagramm Zeitverlaufs- diagramm

3 Chaos: 3/26 Phasendiagramme Der Systemzustand x(t) kann durch einen oder mehrere Parameter beschrieben werden. –Phasenraum: Raum der Zustandsparameter - –kontinuierlich: d/dt x(t) = F(x(t)) )) –diskret: t x(t+1) = G(x(t)) x x · xtxt x t+1 t x t x Gleichungs- diagramm Zeitverlaufs- diagramm Phasen- diagramm x x

4 Chaos: 4/26 Phasendiagramme Der Systemzustand x(t) kann durch einen oder mehrere Parameter beschrieben werden. –Phasenraum: Raum der Zustandsparameter - –kontinuierlich: d/dt x(t) = F(x(t)) )) x x · t x Gleichungs- diagramm Zeitverlaufs- diagramm zweidimensionales Phasen- diagramm x2x2 x1x1 z. B. Pendel oder Feder mit Auslenkung a Phasen- diagramm x

5 Chaos: 5/26 Lineare Systeme Wenn x(t) eine mögliche Abfolge von Systemzuständen ist, dann ist auch x(t) eine mögliche Abfolge. - –kontinuierlich: Differentialgleichungen in t d/dt x(t) = F(x(t))d/dt x(t) = k x(t) lim t 0 (x(t+ t) x(t)) / t = F(x(t)) –diskret: Iterationsgleichungen in t x(t+ t) x(t) = F(x(t)) · t x(t+1) = G(x(t))x(t+1) = c x(t) x x · xtxt x t+1 t x t x Gleichungs- diagramm Zeitverlaufs- diagramm

6 Chaos: 6/26 Lineare Systeme verschieben Wenn ein lineares System nicht ursprungslinear ist, kann man es verschieben: Man definiert eine neue Variable u(t) = x(t) x S, wobei F(x S ) = 0 bzw. G(x S ) = x. Wenn u(t) eine mögliche Abfolge von Systemzuständen ist, dann ist auch u(t) eine mögliche Abfolge. kontinuierlich: diskret: x x · xtxt x t+1 u u · utut u t+1

7 Chaos: 7/26 Iterieren im Gleichungsdiagramm Steigung > 1 Systemzustand entfernt sich exponentiell vom Schnittpunkt x S. xtxt x t+1 x1x1 x0x0 xsxs x0x0 t x xSxS

8 Chaos: 8/26 Iterieren im Gleichungsdiagramm Steigung 0 xtxt x t+1 x0x0 xsxs Systemzustand nähert sich exponentiell an den Schnittpunkt x S. t x xSxS

9 Chaos: 9/26 Abhängigkeit von der Steigung x(t+1) = G(x(t)) –Steigung von G bei x S > 1:x entfernt sich exponentiell von x S. –Steigung > 0 und < 1:x nähert sich exponentiell an x S. t x xSxS t x xSxS Steigung

10 Chaos: 10/26 Linear versus nichtlinear Viele reale Systeme sind –lokal linear –global nichtlinear 20 Heuschrecken erzeugen im nächsten Jahr eine doppelt so starke Population wie 10 Heuschrecken Heuschrecken...

11 Chaos: 11/26 Die Nichtlinearität linear:Polynom erster Ordnung,a + b·x –Geraden, mit positiver (b>0) oder negativer (b<0) Steigung nichtlinear:Polynom zweiter Ordnung,a + b·x + c·x² –Parabeln, nach oben offen (c>0) oder nach unten offen (c<0) –Eine nach unten offene Parabel schneidet die x-Achse zweimal. Eine Parabel mit den Schnittstellen 0 und 1 kann man auch wie folgt schreiben: r · x · (1 x)

12 Chaos: 12/26 Demographisches Modell (Pierre-François Verhulst, 1837) –Fortpflanzung:k 1 · x –Aushungern:k 2 · (1 x)(Maximalgröße der Population: 1) –Proportionalität:r = k 1 · k 2 x t+1 = r · x t · (1 x t ) logistische Gleichung 01 r = 0 r = 1 r = 3 r = 2 r = 4 xtxt x t+1 0 1

13 Chaos: 13/26 Abhängigkeit von der Steigung x(t+1) = G(x(t)) –Steigung von G bei x S > 1:x entfernt sich exponentiell von x S. –Steigung > 0 und < 1:x nähert sich exponentiell an x S. t x xSxS t x xSxS Steigung 01 r = 0 r = 1 r = 3 r = 2 r = 4 xtxt x t x t+1 = r · x t · (1 x t )

14 Chaos: 14/26 Iterieren im Gleichungsdiagramm Steigung 1 xtxt x t+1 x0x0 xsxs Systemzustand nähert sich exponentiell oszillierend an den Schnittpunkt x S. t x xSxS 01 r = 0 r = 1 r = 3 r = 2 r = 4 xtxt x t x t+1 = r · x t · (1 x t )

15 Chaos: 15/26 Iterieren im Gleichungsdiagramm Steigung < 1 xtxt x t+1 x0x0 xsxs Systemzustand entfernt sich exponentiell oszillierend vom Schnittpunkt x S. t x xSxS 01 r = 0 r = 1 r = 3 r = 2 r = 4 xtxt x t x t+1 = r · x t · (1 x t )

16 Chaos: 16/26 Abhängigkeit von der Steigung x(t+1) = G(x(t)) –Steigung von G bei x S > 1:x entfernt sich exponentiell von x S. –Steigung > 0 und < 1:x nähert sich exponentiell an x S. –Steigung aus > 1 und < 0:x nähert sich exponentiell oszillierend. –Steigung < 1:x entfernt sich exponentiell oszillierend. t x xSxS t x xSxS t x xSxS t x xSxS Steigung 01 r = 0 r = 1 r = 3 r = 2 r = 4 xtxt x t x t+1 = r · x t · (1 x t )

17 Chaos: 17/26 Phasen- diagramm x r Das Bifurkationsdiagramm Bifurkation = qualitative Zustandsänderung asymptotisches Phasendiagramm als Funktion von r langfristige Entwicklung der Population x t x xSxS t x xSxS t x xSxS t x xSxS Steigung 01 r = 0 r = 1 r = 3 r = 2 r = 4 xtxt x t x t+1 = r · x t · (1 x t )

18 Chaos: 18/26 Das Bifurkationsdiagramm Bifurkation = qualitative Zustandsänderung asymptotisches Phasendiagramm als Funktion von r langfristige Entwicklung der Population x t x xSxS t x xSxS t x xSxS t x xSxS Steigung 01 r = 0 r = 1 r = 3 r = 2 r = 4 xtxt x t x t+1 = r · x t · (1 x t )

19 Chaos: 19/26 Das Bifurkationsdiagramm t x xSxS t x xSxS t x xSxS t x xSxS Steigung 01 r = 0 r = 1 r = 3 r = 2 r = 4 xtxt x t x t+1 = r · x t · (1 x t )

20 Chaos: 20/26 Das Bifurkationsdiagramm t x xSxS t x xSxS t x xSxS t x xSxS Steigung 01 r = 0 r = 1 r = 3 r = 2 r = 4 xtxt x t x t+1 = r · x t · (1 x t ) Attraktor Bifurkation

21 Chaos: 21/26 Die Feigenbaumkonstanten Der Abstand in r von aufeinander folgenden Bifurkationen nimmt asymptotisch ab im Verhältnis 1 : Die Größe von aufeinander folgenden Gabelungen in x nimmt asymptotisch ab im Verhältnis 1 : M. J. Feigenbaum, Quantitative universality for a class of nonlinear transformations, J. Stat. Phys. 21, 669 (1978)

22 Chaos: 22/26 zwei Zeitverläufe Fixpunkte: –0.75: instabil –0.00: stabil – : letztendlich stabil –0.50 hat zwei Vorläufer Menge aller letztendlich stabilen Fixpunkte: fraktal a= ; b=1/3; for i=1:50; a(i+1)=a(i)*(1-a(i))*4; b(i+1)=b(i)*(1-b(i))*4; end 01 r = 4 xtxt x t x t+1 = r · x t · (1 x t )

23 Chaos: 23/26 Pendel und Doppelpendel Das einfache Pendel ist –deterministisch, –nonlinear (es gibt eine lineare Idealisierung), –nicht chaotisch (langfristig vorhersagbar) Das Doppelpendel ist –deterministisch –nonlinear –chaotisch

24 Chaos: 24/26 Zwei- und Dreikörperproblem Das Zweikörperproblem (zwei Massen bewegen sich in ihrer gegenseitigen Gravitation) ist analytisch lösbar. –deterministisch, nonlinear, –nicht chaotisch (langfristig vorhersagbar) Das Dreikörperproblem kann bis auf Spezialfälle nicht analytisch gelöst werden. –deterministisch, nonlinear, chaotisch –eingeschränktes Dreikörperproblem: dritte Masse verschwindend klein Demo: J002E3

25 Chaos: 25/26 Billard Rechteckiger Tisch, keine Reibung, eine Kugel: –linearer Anstieg der Änderung mehrere Kugeln: zu kompliziert. konvexe Reflektoren an den Banden: –exponentieller Anstieg der Änderung –Chaos mehrere Kugeln in gerader Reihe –Radius R, Abstand (Rand zu Rand) D: ein winziger Winkelfehler vergrößert sich mit jedem Stoß in etwa um D/R. DR Billard: Einfluß der Gravitation eines Zuschauers D = 60mm, R = 30mm D/R = 2, Mensch 60 kg 6 m entfernt: a = m/s 2 v=1m/s, t=.06s, x = ½ a t² = 1,8·10 13 m, nach 37 Stößen x 30 mm (R). N 2 1bar 300 K: Gravitation Elektron (10 30 kg) in 14·10 9 LJ D = 7·10 8 m, R = 5·10 11 m D/R = 1400 a = 8·10 93 m/s 2, t = 1.4·10 10 s, x = 8· m, nach 32 Stößen x 5·10 11 m (R).

26 Chaos: 26/26 Deterministisches Chaos Voraussetzungen (notwendig, nicht hinreichend) –Deterministisch –Nichtlinear Kennzeichen –Aperiodisch –Empfindliche Abhängigkeit von den Startbedingungen –Abhängigkeit von Kontrollparameter Bifurkationen –meist: Periodenverdoppelungen als Weg ins Chaos Attraktoren seltsame Attraktoren


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