5. Periodische Vorgänge in Raum und Zeit

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1 5. Periodische Vorgänge in Raum und Zeit
Periodendauer T [s] Periodenlänge l [m] Wellenlänge Frequenz Wellenzahl bezogen auf Einheitskreis Beschreibung durch Umlauf auf dem Kreis (natürliche periodische Bewegung) Winkel j als Funktion von der Zeit: Kreisfrequenz periodische Größe A: harmonische Bewegung harmonische Schwingung Beliebige Funktion j(t) mit der Periode T entspricht einer Überlagerung von vielen Zeitabläufen, die eine gemeinsame Grundperiode (n,T) haben. n und mögliche Vielfache n· Harmonische von n Zeit von j = 0…2p...4p...6p...8p immer gleich T Sekunden Fourieranalyse

2 5.1 Schwingungen FF = - D(x-x0) x0 x FS = mg
einfaches mechanisches Modell Newton-Axiom Beschleunigung Federkraft FF = - D(x-x0) x0 durch FS bestimmt wähle x-Achse so daß x0=0 x Geschwindigkeit und Beschleunigung berechnen: Wegfunktion nach Beobachtung geraten: FS = mg Gleichung über Kraft ist erfüllt, wenn Prüfung dieses Zusammenhanges durch Experiment: Gültigkeit des Hookschen Gesetzes Bestimmung von D bzw. Materialeigenschaft Vergleiche auch Pendel als weiteres Modell

3 Schwingung ist periodische Umwandlung von kinetischer in potentielle Energie
Maxima  gleich  Energiesatz Reibungsverluste  Dämpfung (häufig genannt Relaxation), gedämpfte Schwingung Schwinger einmal angestoßen Zerfallsfunktion der Amplitude Dämpfungskonstane neue mittlere Kreisfrequenz Dämpfung kann so groß sein, daß die Schwingung gar nicht mehr erkannt wird! Aperiodischer Grenzfall wichtig für Regelungsvorgänge

4 Erzwungene Schwingungen
periodisch von außen einwirkende Kraft  Frequenz w periodische Bewegung mit w und nicht mit Eigenfrequenz w0 des physikalischen Systems Modell mit Federpendel, das mit der Hand periodisch angestoßen wird. Simulation Resonanz  Amplitudenüberhöhung, wenn w0 = 5 Hz folgt der Bewegung folgt der Bewegung nicht Resonanz Bedeutung der Resonanz: Filter periodischer Vorgänge empfindliche Diagnose Bildung von Tonlauten „Resonanzkatastrophe“ Stimmgabel + Resonanzkörper

5 Gekoppelte Pendel Schwingungen in Molekülen
Kopplung zwischen benachbarten Atomen oder Molekülen Kopplung zwischen Regelprozessen Modell zwischen zwei Pendeln Koppel- gewicht 1 2 Pendel 1 anstoßen Pendel 2 beginnt zu schwingen und übernimmt Energie von 1 Periodische Wechsel der Energie  Wechselfrequenz W Anstoß beider Pendel: gleichsinnig und gegensinnig Schwingungsform stabil! Schwingungsmoden oder Eigenschwingungen wsym wantisym Summe beider Moden sym. antis. in Ruhe Differenz W Simulation:

6 Pendelkette mit vielen Gliedern Saite
Modentypen Pendelkette mit vielen Gliedern Saite longitudinal transversal

7 5.2 Wellen Amplitude Ausbreitungsgeschwindigkeit:

8 Wellentypen Typ nach Auslenkung Typ nach Ausbreitung
transversale Wellen  “Auslenkung” senkrecht zur Ausbreitung Beispiele: Seilwellen, Wasserwellen, Licht longitudinale Wellen  “Auslenkung” parallel zur Ausbreitung Beispiele: Federwellen, Schall Typ nach Auslenkung Typ nach Ausbreitung Kugelwellen  Quelle der Welle ist ein “Punkt”, und die Welle breitet sich von dort gleichmäßig in alle Raumrichtungen aus; Wellenfronten sind Kugeln oder Kreise (bei Ausbreitung in nur zwei Dimensionen) Beispiele: Wasserwelle, Lichtwelle von punktförmigen Lichtquelle aus Ebene Wellen  Wellenfronten (eine Fläche gleicher Auslenkung) sind Ebenen oder gerade Linien Beispiel: Ausschnitt aus einer Kugelwelle Pulswelle durch Hörsaal

9 Wellenzentrum Wasserwelle 2 Steine  2 Kreiswellen

10 Interferenz: Konstruktion mit Kreiswellen
Simulation

11 Addition von Wellenausbreitungen
Beispiel: zwei punktförmige Lichtquellen Interferenz von Wellen ausgehend von zwei Wellenzentren Beobachtungspunkt Wellenberge von links von rechts Gangunterschied l Minimum Interferenzmaxima: m = 0, 1, 2, 3, Ordnung der Interferenz Wo bleibt die Energie der Auslöschung? Interferenzminima:

12 Beispiel für Kugelwellen: Licht
Hörsaalwand mit hellen Interferenzkreisen wachsende Ordnungszahl m Lichtquelle a Glimmer Dicke etwa 40µm L1 nullte Ordnung L2 Gangunterschied am Punkt P: Blendschirm Maxima, wenn:

13 Wellenausbreitung an der Wasseroberfläche
Beugung am Hindernis 10 cm Beugung und Interferenz großes Hindernis großer Spalt

14 Elementarwellen Huygenssches Prinzip Öffnung klein gegen l
Jeder von einer Welle getroffene Punkt ist selbst wieder Ausgangspunkt einer Elementarwelle. Das beobachtete Wellenbild ist die Summe aller Elementarwellen  Interferenz und Beugung

15 Beugung und Interferenz
Spalt Hindernis Wellenlänge kleiner als geometrisches Objekt Wie sieht das Beugungs- und Interferenzbild eines Objektes aus, das viel kleiner als die Wellenlänge ist?

16 Wellenbild zur Brechung
Was ist unvollständig an diesem Bild? halbe Kreiswellen  reflektierter Strahl Strahlbegrenzung Intesitätsverteilung Ebene Wellenfront aus dicht liegenden Kugelwellen konstruieren! Laufzeiten für Wellenfronten Brechungsgesetz von Snellius Breite auf der Grenzfläche