Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang

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Gitterebenen (Netzebenen) und Millersche Indizes Beschreibung einer Ebene im Punktgitter: Schnittpunkte in Einheiten der Basisvektoren m1, m2, m3 (Bsp: 3, 1, 2) bilde Kehrwerte: 1/m1, 1/m2, 1/m3 (Bsp.: 1/3, 1/1,1/2) Multiplikation mit kleinster ganzen Zahl p, so dass teilerfremde ganze Zahlen entstehen h = p/m1, k = p/m2, l = p/m3 (Bsp.: 6/3, 6/1, 6/2) (hkl) Millersche Indizes, beschreiben Lage dieser und aller dazu äquivalenter Ebenen (Ebenenschar) Normalenvektor n = [hkl], steht senkrecht auf Ebenenschar 3.) Strukturbestimmung – Grundlagen der Beugungstheorie Lokale Verfahren (STM, AFM, Elektronenmikroskopie,…) Beugungsverfahren (nutzen Periodizität) Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 24

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Beugungsverfahren Strahlung  = (E) Energie E de Broglie Photonen  = hc/E 1keV – 100 keV 10 – 0.1 Å Neutronen  = h/(2mE)1/2 0.01 – 1 eV 3 – 0.3 Å Elektronen 10 eV – 1 keV 4 – 0.4 Å Kriterien für Wahl der Quelle: geeignete Wellenlänge, insbesondere  < Gitterparameter! Wechselwirkung mit der Materie (z.B. stark für Elektronen, schwach für Photonen) 3.1) Beugungstheorie Beobachter P B Quelle Probe Q ebene Wellen Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 25

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Annahmen: Eben einfallende Welle Kohärente Streuung (einfallende Welle rege Materie an allen Punkten P zur Emission von Kugelwellen an; es besteht feste Phasenbeziehung zwischen Primärstrahlung und angeregten Kugelwellen 3) Einfachstreuung Amplitude der einfallenden Strahlung am Ort P zur Zeit t mit () Streubeitrag der Kugelwelle des Ortes r zur Amplitude bei B () Streudichte, enthält gesuchte Information über Gitterstruktur Amplitude der auslaufenden Kugelwelle am Ort B; A  Abstand-1 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 26

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Berücksichtigt man, dass und () mit () und () ergibt sich: Gesamte Streuamplitude durch Integration über Probe: Messgröße: Streuintensität I elastische Streuung k0 = k K k0 k mit dem „Streuvektor“ Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 27

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Beachte: Streuintensität  Fourier-Transformierten der Streudichte bzgl. Streuvektor2 vgl. Optik: I   Fourier-Transformierten des beugenden Objektes2 3.2) Periodische Strukturen und reziprokes Gitter Wenn (r) periodisch, kann Funktion in Fourier-Reihe entwickelt werden für gerade Funktion in 1D: Atompositionen Periodizität: 1 = a = 2/k1 (x) x a Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 28

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Erweiterung auf periodische Strukturen in 3D G muß so gewählt werden, dass gilt (r + rn) = (r) mit beliebiger Gittervektor Forderung ist äquivalent zu: mit ganzer Zahl m und für alle n1, n2, n3 denn damit gilt: Zerlege G in eine (zunächst noch nicht festgelegte) Basis: g1, g2, g3: linear unabhängig mit für Spezialfall n2 = n3 = 0 findet man: und Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 29

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Aus analogen Betrachtungen der anderen Spezialfälle ergibt sich: = 2, i = j = 0, i j Bemerkungen Basisvektoren gi spannen das reziproke Gitter auf Gitterpunkte G = hg1 + kg2 +lg3 werden durch Zahlentripel (hkl) festgelegt dabei sind (hkl) die Millerschen Indizes 3) Konstruktionsvorschrift für die gi‘s : g1 steht senkrecht auf der von a2 und a3 aufgespannten Ebene g2, g3 entsprechend mit |g1a1| = |g1||a1|cos(g1, a1) = 2  |g1| = 2 |g1|-1|a1|-1cos(g1, a1)-1 Bedingungen werden erfüllt durch: Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 30

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Es gelten folgende Aussagen: Der reziproke Gittervektor steht senkrecht auf der mit (hkl) bezeichneten Netzebenenschar 2) dhkl Ghkl (hkl) 3.3) Die Streubedingung bei periodischen Strukturen mit und ()  Erinnerung: Integral in () ≡ Fourier-Darstellung der -Funktion, d.h. = endlich, nur für 0, sonst Beugungsreflexe nur dann, wenn gilt: („Laue-Bedingung“) Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 31

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3.4) Laue-Bedingung und Ewald-Kugel 2D-Projektion des reziproken Gitters (Erinnerung: jeder Punkt repräsentiert eine Netzebenenschar) Konstruktion der Ewald-Kugel (10) (11) (00) (21) (01) (02) (22) (12) (20) zeichne k0 mit Spitze auf (000) weisend in rez. Gitter zeichne Kreis mit Radius |k|=|k0| um Ursprung von k0 an Stellen, wo Kreis Punkte des rez. Gitters trifft, gilt K = k - k0 = G(hkl)  es entsteht Beugungsreflex I(hkl) (im Beispiel I(12)) k K k0 bei gegebener fester Wellenlänge des einfallenden Lichtes und gegebener Orientierung des Kristalls (und damit auch des rez. Gitters) wird i.Allg. die Beugungsbedingung nicht erfüllt sein  keine Beugungsreflexe Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 32

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Techniken zur Erfüllung der Beugungsbedingung Laue-Methode verwende kontinuierliches Spektrum k0  k  k1, d.h. 2/1  2/  2/0 (10) (11) (00) (21) (01) (02) (22) (12) (20) alle rez. Gitterpunkte im schraffierten Bereich erfüllen Laue-Bdeingung k0 k1 2) Drehkristall-Methode Kristall (und rez. Gitter) rotiert langsam k0 3) Pulver-Verfahren (Debye-Scherrer-Verfahren Pulverprobe k0 Pulverprobe, feinkristallin mit statistisch verteilter Orientierung der Kristallite Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 33

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3.5) Braggsche Deutung der Beugungsbedingung Umformung ergibt: k0 k  dhkl ½ Gangunterschied: dhklsin schwach reflektierende Netzebenen (hkl) Intensität der gebeugten Strahlung nur in Richtungen, wo konstruktive Interferenz auftritt, d.h. ein Gangunterschied vorliegt von: n: Ordnung der Reflexe d.h., Wellen verhalten sich so, als würden sie an den Netzebenen reflektiert Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 34

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3.6) Die Brillouinschen Zonen (BZ) 1. BZ hat fundamentale Bedeutung für Beschreibung der elektronischen Eigenschaften elementare Umformung von  () alle Vektoren k0, die () erfüllen, liegen auf den Mittelsenkrechten der rez. Gittervektoren ausgehend vom Ursprung (000) (01) Betrachte 2D-Projektion des rez. Raumes (11) g2 eingeschlossenes Volumen: Wigner-Seitz-Zelle im reziproken Raum ≡ 1. Brillouin-Zone (10) g1 (10) (00) (11) (01) Laue-Bedingung ist erfüllt für alle k Vektoren, die auf dem Rand der 1. BZ enden Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 35

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