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13.5.2009 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 24 Gitterebenen (Netzebenen) und Millersche Indizes Beschreibung einer Ebene im Punktgitter: Schnittpunkte in.

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1 13.5.2009 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 24 Gitterebenen (Netzebenen) und Millersche Indizes Beschreibung einer Ebene im Punktgitter: Schnittpunkte in Einheiten der Basisvektoren m 1, m 2, m 3 (Bsp: 3, 1, 2) bilde Kehrwerte: 1/m 1, 1/m 2, 1/m 3 (Bsp.: 1/3, 1/1,1/2) Multiplikation mit kleinster ganzen Zahl p, so dass teilerfremde ganze Zahlen entstehen h = p/m 1, k = p/m 2, l = p/m 3 (Bsp.: 6/3, 6/1, 6/2)  (hkl) Millersche Indizes, beschreiben Lage dieser und aller dazu äquivalenter Ebenen (Ebenenschar) Normalenvektor n = [hkl], steht senkrecht auf Ebenenschar 3.) Strukturbestimmung – Grundlagen der Beugungstheorie Lokale Verfahren (STM, AFM, Elektronenmikroskopie,…) Beugungsverfahren (nutzen Periodizität)

2 13.5.2009 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 25 Beugungsverfahren Strahlung = (E) Energie E de Broglie Photonen = h  c/E 1keV – 100 keV10 – 0.1 Å Neutronen = h/(2mE) 1/2 0.01 – 1 eV3 – 0.3 Å Elektronen = h/(2mE) 1/2 10 eV – 1 keV4 – 0.4 Å Kriterien für Wahl der Quelle: - geeignete Wellenlänge, insbesondere < Gitterparameter! - Wechselwirkung mit der Materie (z.B. stark für Elektronen, schwach für Photonen) Quelle Q B Beobachter P Probe ebene Wellen 3.1) Beugungstheorie

3 13.5.2009 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 26 Annahmen: 1)Eben einfallende Welle 2)Kohärente Streuung (einfallende Welle rege Materie an allen Punkten P zur Emission von Kugelwellen an; es besteht feste Phasenbeziehung zwischen Primärstrahlung und angeregten Kugelwellen 3)Einfachstreuung Amplitude der einfallenden Strahlung am Ort P zur Zeit t Streubeitrag der Kugelwelle des Ortes r zur Amplitude bei B Streudichte, enthält gesuchte Information über Gitterstruktur Amplitude der auslaufenden Kugelwelle am Ort B; A  Abstand -1 ()() mit (  )

4 13.5.2009 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 27 Berücksichtigt man, dass und Gesamte Streuamplitude durch Integration über Probe: Messgröße: Streuintensität I mit dem „Streuvektor“ K k0k0 k (  ) mit (  ) und (  ) ergibt sich: elastische Streuung  k 0  =  k 

5 13.5.2009 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 28 Beachte: Streuintensität   Fourier-Transformierten der Streudichte bzgl. Streuvektor  2 vgl. Optik: I   Fourier-Transformierten des beugenden Objektes  2 3.2) Periodische Strukturen und reziprokes Gitter Wenn  (r) periodisch, kann Funktion in Fourier-Reihe entwickelt werden für gerade Funktion in 1D: a x  (x) Periodizität: 1 = a = 2  /k 1 Atompositionen

6 13.5.2009 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 29 Erweiterung auf periodische Strukturen in 3D G muß so gewählt werden, dass gilt  (r + r n ) =  (r) Forderung ist äquivalent zu: mit ganzer Zahl m und für alle n 1, n 2, n 3 denn damit gilt: Zerlege G in eine (zunächst noch nicht festgelegte) Basis: mitbeliebiger Gittervektor g 1, g 2, g 3 : linear unabhängig mit für Spezialfall n 2 = n 3 = 0 findet man: und

7 = 2 , i = j = 0, i  j Aus analogen Betrachtungen der anderen Spezialfälle ergibt sich: Bemerkungen 1)Basisvektoren g i spannen das reziproke Gitter auf 2)Gitterpunkte G = hg 1 + kg 2 +lg 3 werden durch Zahlentripel (hkl) festgelegt dabei sind (hkl) die Millerschen Indizes 3)Konstruktionsvorschrift für die g i ‘s : g 1 steht senkrecht auf der von a 2 und a 3 aufgespannten Ebene g 2, g 3 entsprechend mit |g 1  a 1 | = |g 1 ||a 1 |cos(  g 1, a 1 ) = 2   |g 1 | = 2  |g 1 | -1 |a 1 | -1 cos(  g 1, a 1 ) -1 Bedingungen werden erfüllt durch: 13.5.2009 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 30

8 20.5.2009 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 31 Es gelten folgende Aussagen: 1)Der reziproke Gittervektor steht senkrecht auf der mit (hkl) bezeichneten Netzebenenschar 2) 3.3) Die Streubedingung bei periodischen Strukturen mit und ()()  Erinnerung: Integral in (  ) ≡ Fourier-Darstellung der  -Funktion, d.h. = endlich, nur für 0, sonst Beugungsreflexe nur dann, wenn gilt: („Laue-Bedingung“) d hkl G hkl (hkl)

9 20.5.2009 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 32 3.4) Laue-Bedingung und Ewald-Kugel 2D-Projektion des reziproken Gitters (Erinnerung: jeder Punkt repräsentiert eine Netzebenenschar) (10) (11) (00) (21)(01) (02)(22)(12) (20) - zeichne k 0 mit Spitze auf (000) weisend in rez. Gitter - zeichne Kreis mit Radius |k|=|k 0 | um Ursprung von k 0 - an Stellen, wo Kreis Punkte des rez. Gitters trifft, gilt K = k - k 0 = G (hkl)  es entsteht Beugungsreflex I (hkl) (im Beispiel I (12) ) bei gegebener fester Wellenlänge des einfallenden Lichtes und gegebener Orientierung des Kristalls (und damit auch des rez. Gitters) wird i.Allg. die Beugungsbedingung nicht erfüllt sein  keine Beugungsreflexe Konstruktion der Ewald-Kugel k0k0 k K

10 20.5.2009 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 33 Techniken zur Erfüllung der Beugungsbedingung 1)Laue-Methodeverwende kontinuierliches Spektrum k 0  k  k 1, d.h. 2  / 1  2  /  2  / 0 (10) (11) (00) (21)(01) (02)(22)(12) (20) alle rez. Gitterpunkte im schraffierten Bereich erfüllen Laue-Bdeingung 3) Pulver-Verfahren (Debye-Scherrer-Verfahren 2) Drehkristall-Methode k0k0 Kristall (und rez. Gitter) rotiert langsam k0k0 Pulverprobe, feinkristallin mit statistisch verteilter Orientierung der Kristallite k0k0 k1k1 Pulverprobe

11 20.5.2009 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 34 3.5) Braggsche Deutung der Beugungsbedingung Umformung ergibt:    d hkl ½ Gangunterschied: d hkl  sin  Intensität der gebeugten Strahlung nur in Richtungen, wo konstruktive Interferenz auftritt, d.h. ein Gangunterschied vorliegt von: n: Ordnung der Reflexe d.h., Wellen verhalten sich so, als würden sie an den Netzebenen reflektiert schwach reflektierende Netzebenen (hkl) k0k0 k

12 20.5.2009 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 35 3.6) Die Brillouinschen Zonen (BZ) 1. BZ hat fundamentale Bedeutung für Beschreibung der elektronischen Eigenschaften elementare Umformung von alle Vektoren k 0, die (  ) erfüllen, liegen auf den Mittelsenkrechten der rez. Gittervektoren ausgehend vom Ursprung (000) Betrachte 2D-Projektion des rez. Raumes (01) (10) (00) g1g1 g2g2 (10) (11) (01) Laue-Bedingung ist erfüllt für alle k Vektoren, die auf dem Rand der 1. BZ enden eingeschlossenes Volumen: Wigner-Seitz-Zelle im reziproken Raum ≡ 1. Brillouin-Zone  ()() (11)

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