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13.5.2009 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 24 Gitterebenen (Netzebenen) und Millersche Indizes Beschreibung einer Ebene im Punktgitter: Schnittpunkte in.

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1 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 24 Gitterebenen (Netzebenen) und Millersche Indizes Beschreibung einer Ebene im Punktgitter: Schnittpunkte in Einheiten der Basisvektoren m 1, m 2, m 3 (Bsp: 3, 1, 2) bilde Kehrwerte: 1/m 1, 1/m 2, 1/m 3 (Bsp.: 1/3, 1/1,1/2) Multiplikation mit kleinster ganzen Zahl p, so dass teilerfremde ganze Zahlen entstehen h = p/m 1, k = p/m 2, l = p/m 3 (Bsp.: 6/3, 6/1, 6/2)  (hkl) Millersche Indizes, beschreiben Lage dieser und aller dazu äquivalenter Ebenen (Ebenenschar) Normalenvektor n = [hkl], steht senkrecht auf Ebenenschar 3.) Strukturbestimmung – Grundlagen der Beugungstheorie Lokale Verfahren (STM, AFM, Elektronenmikroskopie,…) Beugungsverfahren (nutzen Periodizität)

2 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 25 Beugungsverfahren Strahlung = (E) Energie E de Broglie Photonen = h  c/E 1keV – 100 keV10 – 0.1 Å Neutronen = h/(2mE) 1/ – 1 eV3 – 0.3 Å Elektronen = h/(2mE) 1/2 10 eV – 1 keV4 – 0.4 Å Kriterien für Wahl der Quelle: - geeignete Wellenlänge, insbesondere < Gitterparameter! - Wechselwirkung mit der Materie (z.B. stark für Elektronen, schwach für Photonen) Quelle Q B Beobachter P Probe ebene Wellen 3.1) Beugungstheorie

3 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 26 Annahmen: 1)Eben einfallende Welle 2)Kohärente Streuung (einfallende Welle rege Materie an allen Punkten P zur Emission von Kugelwellen an; es besteht feste Phasenbeziehung zwischen Primärstrahlung und angeregten Kugelwellen 3)Einfachstreuung Amplitude der einfallenden Strahlung am Ort P zur Zeit t Streubeitrag der Kugelwelle des Ortes r zur Amplitude bei B Streudichte, enthält gesuchte Information über Gitterstruktur Amplitude der auslaufenden Kugelwelle am Ort B; A  Abstand -1 ()() mit (  )

4 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 27 Berücksichtigt man, dass und Gesamte Streuamplitude durch Integration über Probe: Messgröße: Streuintensität I mit dem „Streuvektor“ K k0k0 k (  ) mit (  ) und (  ) ergibt sich: elastische Streuung  k 0  =  k 

5 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 28 Beachte: Streuintensität   Fourier-Transformierten der Streudichte bzgl. Streuvektor  2 vgl. Optik: I   Fourier-Transformierten des beugenden Objektes  2 3.2) Periodische Strukturen und reziprokes Gitter Wenn  (r) periodisch, kann Funktion in Fourier-Reihe entwickelt werden für gerade Funktion in 1D: a x  (x) Periodizität: 1 = a = 2  /k 1 Atompositionen

6 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 29 Erweiterung auf periodische Strukturen in 3D G muß so gewählt werden, dass gilt  (r + r n ) =  (r) Forderung ist äquivalent zu: mit ganzer Zahl m und für alle n 1, n 2, n 3 denn damit gilt: Zerlege G in eine (zunächst noch nicht festgelegte) Basis: mitbeliebiger Gittervektor g 1, g 2, g 3 : linear unabhängig mit für Spezialfall n 2 = n 3 = 0 findet man: und

7 = 2 , i = j = 0, i  j Aus analogen Betrachtungen der anderen Spezialfälle ergibt sich: Bemerkungen 1)Basisvektoren g i spannen das reziproke Gitter auf 2)Gitterpunkte G = hg 1 + kg 2 +lg 3 werden durch Zahlentripel (hkl) festgelegt dabei sind (hkl) die Millerschen Indizes 3)Konstruktionsvorschrift für die g i ‘s : g 1 steht senkrecht auf der von a 2 und a 3 aufgespannten Ebene g 2, g 3 entsprechend mit |g 1  a 1 | = |g 1 ||a 1 |cos(  g 1, a 1 ) = 2   |g 1 | = 2  |g 1 | -1 |a 1 | -1 cos(  g 1, a 1 ) -1 Bedingungen werden erfüllt durch: Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 30

8 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 31 Es gelten folgende Aussagen: 1)Der reziproke Gittervektor steht senkrecht auf der mit (hkl) bezeichneten Netzebenenschar 2) 3.3) Die Streubedingung bei periodischen Strukturen mit und ()()  Erinnerung: Integral in (  ) ≡ Fourier-Darstellung der  -Funktion, d.h. = endlich, nur für 0, sonst Beugungsreflexe nur dann, wenn gilt: („Laue-Bedingung“) d hkl G hkl (hkl)

9 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang ) Laue-Bedingung und Ewald-Kugel 2D-Projektion des reziproken Gitters (Erinnerung: jeder Punkt repräsentiert eine Netzebenenschar) (10) (11) (00) (21)(01) (02)(22)(12) (20) - zeichne k 0 mit Spitze auf (000) weisend in rez. Gitter - zeichne Kreis mit Radius |k|=|k 0 | um Ursprung von k 0 - an Stellen, wo Kreis Punkte des rez. Gitters trifft, gilt K = k - k 0 = G (hkl)  es entsteht Beugungsreflex I (hkl) (im Beispiel I (12) ) bei gegebener fester Wellenlänge des einfallenden Lichtes und gegebener Orientierung des Kristalls (und damit auch des rez. Gitters) wird i.Allg. die Beugungsbedingung nicht erfüllt sein  keine Beugungsreflexe Konstruktion der Ewald-Kugel k0k0 k K

10 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang 33 Techniken zur Erfüllung der Beugungsbedingung 1)Laue-Methodeverwende kontinuierliches Spektrum k 0  k  k 1, d.h. 2  / 1  2  /  2  / 0 (10) (11) (00) (21)(01) (02)(22)(12) (20) alle rez. Gitterpunkte im schraffierten Bereich erfüllen Laue-Bdeingung 3) Pulver-Verfahren (Debye-Scherrer-Verfahren 2) Drehkristall-Methode k0k0 Kristall (und rez. Gitter) rotiert langsam k0k0 Pulverprobe, feinkristallin mit statistisch verteilter Orientierung der Kristallite k0k0 k1k1 Pulverprobe

11 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang ) Braggsche Deutung der Beugungsbedingung Umformung ergibt:    d hkl ½ Gangunterschied: d hkl  sin  Intensität der gebeugten Strahlung nur in Richtungen, wo konstruktive Interferenz auftritt, d.h. ein Gangunterschied vorliegt von: n: Ordnung der Reflexe d.h., Wellen verhalten sich so, als würden sie an den Netzebenen reflektiert schwach reflektierende Netzebenen (hkl) k0k0 k

12 Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang ) Die Brillouinschen Zonen (BZ) 1. BZ hat fundamentale Bedeutung für Beschreibung der elektronischen Eigenschaften elementare Umformung von alle Vektoren k 0, die (  ) erfüllen, liegen auf den Mittelsenkrechten der rez. Gittervektoren ausgehend vom Ursprung (000) Betrachte 2D-Projektion des rez. Raumes (01) (10) (00) g1g1 g2g2 (10) (11) (01) Laue-Bedingung ist erfüllt für alle k Vektoren, die auf dem Rand der 1. BZ enden eingeschlossenes Volumen: Wigner-Seitz-Zelle im reziproken Raum ≡ 1. Brillouin-Zone  ()() (11)

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