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Beweise zum Satz 27 Prof. Dr. W. Conen 15. November 2004.

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Präsentation zum Thema: "Beweise zum Satz 27 Prof. Dr. W. Conen 15. November 2004."—  Präsentation transkript:

1 Beweise zum Satz 27 Prof. Dr. W. Conen 15. November 2004

2 Satz 27: Verkettung zur Identität (a) Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) f: A ! B ist injektiv (ii) Es existiert eine Funktion g:B ! A mit g ± f = id A (b) Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) f: A ! B ist surjektiv (ii) Es existiert eine Funktion g:B ! A mit f ± g = id B

3 Satz 27: Verkettung zur Identität (a) Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) f: A ! B ist injektiv (ii) Es existiert eine Funktion g: B ! A mit g ± f = id A Diese Aussage wollen wir zeigen, d.h wir müssen ZWEI Richtungen zeigen, (i) ) (ii) und (ii) ) (i) Wir beginnen mit (i) ) (ii) Also nehmen wir zunächst an, dass wir eine Funktion f von A nach B haben, die injektiv ist. Eine Funktion f ist injektiv, wenn keines der von f getroffenen Elemente mehrmals getroffen wird, formal: Es gibt keine y in {y | (x,y) 2 f} mit x 1, x 2, x 1 x 2, (x 1,y) 2 f und (x 2,y) 2 f Alternativ (unsere Definition!): für alle x 1, x 2, y gilt: aus (x 1,y) 2 f und (x 2,y) 2 f folgt x 1 = x 2 NICHT INJEKTIV!

4 Satz 27: Verkettung zur Identität (a) Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) f: A ! B ist injektiv (ii) Es existiert eine Funktion g: B ! A mit g ± f = id A (i) ) (ii), Annahme f: A ! B ist injektiv Nach Def. 24 existiert die Umkehrfunktion zu f, f -1. Achtung: Die Umkehrfunktion ist selbst injektiv (sonst hätte f keine Funktion sein können, denn dann wären zwei Pfeile von einem x 2 A ausgegangen!) Sei nun x 2 A beliebig, aber fest gewählt Es gilt: f(x) = y 2 B. Nach Def. 24 ist zu jedem Paar (a,b) 2 f das gespiegelte Paar (b,a) 2 f -1, also in f -1. (1) Nach Def. 25 gilt für die Verkettung der Funktionen f -1 ± f = {(a,c) | a 2 A, (f(a),c) 2 f -1 }. Wg. (1) gilt c = a, und damit f -1 ± f = id A Ist also f -1 unser gesuchtes g?

5 Satz 27: Verkettung zur Identität (a) Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) f: A ! B ist injektiv (ii) Es existiert eine Funktion g: B ! A mit g ± f = id A (i) ) (ii), Annahme f: A ! B ist injektiv Ist f -1 unser gesuchtes g? A B f f -1 a = f -1 (f(a))f(a)

6 Satz 27: Verkettung zur Identität (a) Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) f: A ! B ist injektiv (ii) Es existiert eine Funktion g: B ! A mit g ± f = id A Ist f -1 unser gesuchtes g? NICHT UNBEDINGT A B f f -1 a = f -1 (f(a))f(a) rng(f)

7 Satz 27: Verkettung zur Identität f trifft möglicherweise nicht alle Elemente von B! Wähle nun ein beliebiges a auf A und definiere nun g: B ! A wie folgt: g|rng(f) = f -1 g(b) = a für alle b aus B – rng(f) (der rein-grüne Bereich) Dann gilt g ± f = id A, denn hierfür wird nur g|rng(f) verwendet! A B f g a = f -1 (f(a))f(a) rng(f)

8 Satz 27: Verkettung zur Identität (a) Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) f: A ! B ist injektiv (ii) Es existiert eine Funktion g: B ! A mit g ± f = id A (ii) ) (i), Annahme: Es existiert eine Funktion g: B ! A mit g ± f = id A Zu zeigen ist, dass f injektiv ist. Angenommen, f wäre nicht injektiv. Dann gibt es ein b 2 B und a 1,a 2 2 A mit a 1 a 2 und f(a 1 ) = f(a 2 ) = b. Sei nun g(b) = a. Dann gilt (g ± f)(a 1 ) = (g ± f)(a 2 ) = a... und wg. a 1 a 2 kann dann nicht g ± f = id A gelten, im Widerspruch zur Voraussetzung. Das geht auch direkt mit unserer Definition: für alle x 1, x 2, y gilt: aus (x 1,y) 2 f und (x 2,y) 2 f folgt x 1 = x 2 Sei f(a 1 ) = f(a 2 ) = b. Es gilt nach Voraussetzung g(b) = g(f(a 1 )) = id A (a 1 ) = a 1 bzw. g(b) = g(f(a 2 )) = id A (a 2 ) = a 2, also a 1 = a 2 (sonst wäre g keine Funktion!)

9 Satz 27: Verkettung zur Identität (b) Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) f: A ! B ist surjektiv (ii) Es existiert eine Funktion g: B ! A mit f ± g = id B (i) ) (ii): Sei f: A ! B surjektiv. Wir müssen nun wieder ein konkretes g suchen, das die gesuchte Eigenschaft ergibt: Ziel ist, zu jedem Element b 2 B mit g einen Funktionswert g(b) zu liefern, der von f wieder auf b abgebildet wird, d.h. f(g(b)) = b. Da f surjektiv ist, wird jedes Element in B getroffen – aber es kann mehrmals getroffen werden Bei der Umkehrung verwenden wir einfach nur einen der Pfeile, die zu b führen! A B b f

10 Satz 27: Verkettung zur Identität (b) Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) f: A ! B ist surjektiv (ii) Es existiert eine Funktion g: B ! A mit f ± g = id B (i) ) (ii): Sei f: A ! B surjektiv. Bei der Umkehrung verwenden wir einfach nur einen der Pfeile, die zu b führen! g: B ! A wird definiert durch g(b) = ein a 2 A mit f(a) =b Ein solches a existiert in jedem Fall, den rng(f) = B Es gilt also f(g(b)) = b für alle b 2 B, also f ± g = id B A B b f

11 Satz 27: Verkettung zur Identität (b) Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) f: A ! B ist surjektiv (ii) Es existiert eine Funktion g: B ! A mit f ± g = id B (ii) ) (i): Es existiert eine Funktion g: B ! A mit f ± g = id B Sei b 2 B beliebig gewählt. (f ± g)(b) = b nach Voraussetzung... und (f ± g)(b) = f(g(b)) nach Def. ±... also b 2 rng(f). Da b beliebig aus B gewählt war, liegt jedes b im Range von f und damit rng(f) = B, also f surjektiv nach Definition Surjektivität


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